Спромат задачи. Сопромат задачи. Исходные данные для расчетов

Название	Исходные данные для расчетов
Анкор	Спромат задачи
Дата	14.06.2022
Размер	343.7 Kb.
Формат файла
Имя файла	Сопромат задачи.docx
Тип	Документы #591925

Исходные данные для расчетов.

№

схемы

А₁

А₂

ℓ₁

ℓ₂

ℓ₃

F₁

F₂

m₁

m₂

№

двутавра

ГОСТ 8239-89

№

швеллера

ГОСТ 8240-89

Уголок

ГОСТ

8509-86

см²

кН

кНм

VIII

1,5

2,7

6,1

100

180

0,60

125×125×8

Задача 1. РАСЧЕТ СТУПЕНЧАТОГО БРУСА НА РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ
(Тема: «Центральное растяжение-сжатие».

Раздел: «Статически определимые системы».)
Для ступенчатого стального бруса круглого поперечного сечения, (рис. 1), выполненного из стали марки Ст. 3, имеющей предел текучести s_Т, модуль Юнга E, требуется:

1) построить по длине бруса эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений поперечных сечений d;

2) вычислить коэффициент запаса прочности бруса n.
Принять: а = 0,1ℓ₁; в = 0,1ℓ₂; с = 0,1ℓ₃.

Определим продольные силы на участках стержня, начиная с верхнего

N₁ = + 100 = 100кН

N₂ = + 100 = 100кН

N₃ = + 100 - 180 = -80кН

Напряжения равны продольной силе, деленной на площадь

σ₁ = 100000/3400=29.41 МПа

σ₂ = 100000/7000=14.29 МПа

σ₃ = -80000/7000=-11.43 МПа

Удлинения участков определяем по закону Гука, учитывая продольную силу N, кН, длину l, м, площадь А, мм² и модуль упругости материала E, МПа

Δl = N×l/E×A

Δl₁ = 100000 × 0.61 / (200000 × 3400) = 8.971E-5м

Δl₂ = 100000 × 0.27 / (200000 × 7000) = 1.929E-5м

Δl₃ = -80000 × 0.15 / (200000 × 7000) = -8.57E-6м

Удлинение всего стержня равно сумме удлинений его участков

Δl = + 8.971E-5 + 1.929E-5 - 8.57E-6 = 0.0001 м

Коэффициент запаса прочности n=160/29.41=5.44

Задача 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
(Тема: «Геометрические характеристики плоских сечений».)

Задано поперечное сечение, состоящее из двух профилей, имеющих вид швеллера, двутавра или равнополочного уголка (рис. 3),

Требуется:

1) определить положение центра тяжести поперечного сечения;

2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных осей (x_C и y_C), проходящих через центр тяжести;

3) определить положение главных центральных осей u и v;

4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечение и указать на нем все размеры в числах и все оси.
При расчете все необходимые данные следует брать из таблиц сортамента.

Площадь сечения

Суммарную площадь фигуры вычислим по формуле:

A = A₁ + A₂ + A₃

где: A₁ - площадь швеллера №1, A₂ - площадь швеллера №2, A₃ - площадь уголка №3.

A₁ = 26.71 (см²) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97 = 26.71 (см²) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8239-89

A₂ = 26.71 (см²) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97 = 26.71 (см²) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8239-89

A₃ = 19.69 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-86 = 19.69 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-86

Получим, A = 26.71 + 26.71 + 19.69 = 73.11 (см²)

Статические моменты

Обозначим начало координат в самой левой нижней точке сечения. Тогда статический момент сложной фигуры относительно оси Ox равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.

S_x = S_x⁽¹⁾ + S_x⁽²⁾ + S_x⁽³⁾

где S_x⁽¹⁾ - статический момент швеллера №1 отн. оси Ox; S_x⁽²⁾ - статический момент швеллера №2 отн. оси Ox; S_x⁽³⁾ - статический момент уголка №3 отн. оси Ox.

S_x⁽¹⁾ = A₁ × y_c⁽¹⁾ = 26.71 × 11 = 293.81 (см³)
S_x⁽²⁾ = A₂ × y_c⁽²⁾ = 26.71 × 11 = 293.81 (см³)
S_x⁽³⁾ = A₃ × y_c⁽³⁾ = 19.69 × 25.36 = 499.338 (см³)

где y_c⁽¹⁾ - расстояние от центра тяжести швеллера №1 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽²⁾ - расстояние от центра тяжести швеллера №2 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽³⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №3 до оси Ox (по оси Oy).

Получим, S_x = 293.81 + 293.81 + 499.338 = 1086.958 (см³)

Статический момент сложной фигуры относительно оси Oy равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.

S_y = S_y⁽¹⁾ + S_y⁽²⁾ + S_y⁽³⁾

где S_y⁽¹⁾ - статический момент швеллера №1 отн. оси Oy; S_y⁽²⁾ - статический момент швеллера №2 отн. оси Oy; S_y⁽³⁾ - статический момент уголка №3 отн. оси Oy.

S_y⁽¹⁾ = A₁ × x_c⁽¹⁾ = 26.71 × 14.97 = 399.849 (см³)
S_y⁽²⁾ = A₂ × x_c⁽²⁾ = 26.71 × 9.98 = 266.566 (см³)
S_y⁽³⁾ = A₃ × x_c⁽³⁾ = 19.69 × 9.14 = 179.967 (см³)

где x_c⁽¹⁾ - расстояние от центра тяжести швеллера №1 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽²⁾ - расстояние от центра тяжести швеллера №2 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽³⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №3 до оси Oy (по оси Ox).

Получим, S_y = 399.849 + 266.566 + 179.967 = 846.381 (см³)

Центр тяжести

Зная площадь сечения и его статические моменты можно определить координаты центра тяжести по следующим формулам:

x_c = S_y/A = 846.381 / 73.11 = 11.58 (см)
y_c = S_x/A = 1086.958 / 73.11 = 14.87 (см)

Значения координат получены относительно выбранного начала координат O. На схеме центр тяжести обозначен точкой С.

Моменты инерции

Моменты инерции будем вычислять относительно центральных осей фигуры (центра тяжести).

I_xс = I_xс⁽¹⁾ + I_xс⁽²⁾ + I_xс⁽³⁾

где: I_xc⁽¹⁾ - осевой центральный момент инерции швеллера №1 отн. оси X_c; I_xc⁽²⁾ - осевой центральный момент инерции швеллера №2 отн. оси X_c; I_xc⁽³⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №3 отн. оси X_c.
Вычислим осевой центральный момент инерции швеллера №1 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽¹⁾ = I'_x⁽¹⁾ + y₁² × A₁

где: I'_x⁽¹⁾ - осевой момент инерции швеллера №1 относительно собственного центра тяжести, y₁ - расстояние от центра тяжести швеллера №1 до оси Xc (по оси Yc);
I'_x⁽¹⁾ = 2117.9 (см⁴) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97

I_xc⁽¹⁾ = 2117.9 + (14.867 - 11)² × 26.71 = 2517.404 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции швеллера №2 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽²⁾ = I'_x⁽²⁾ + y₂² × A₂

где: I'_x⁽²⁾ - осевой момент инерции швеллера №2 относительно собственного центра тяжести, y₂ - расстояние от центра тяжести швеллера №2 до оси Xc (по оси Yc);

I'_x⁽²⁾ = I_x⁽²⁾ × cos²(α) + I_y⁽²⁾ × sin²(α) - I_xy⁽²⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽²⁾ = 2117.9 (см⁴), I_y⁽²⁾ = 177.92 (см⁴), I_xy⁽²⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97
I'_x⁽²⁾ = 2117.9 × cos²(-180) + 177.92 × sin²(-180) - 0 × sin(2 × -180) = 2117.9 (см⁴)

I_xc⁽²⁾ = 2117.9 + (14.867 - 11)² × 26.71 = 2517.404 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №3 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽³⁾ = I'_x⁽³⁾ + y₃² × A₃

где: I'_x⁽³⁾ - осевой момент инерции уголка №3 относительно собственного центра тяжести, y₃ - расстояние от центра тяжести уголка №3 до оси Xc (по оси Yc).

I'_x⁽³⁾ = I_x⁽³⁾ × cos²(α) + I_y⁽³⁾ × sin²(α) - I_xy⁽³⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽³⁾ = 294.36 (см⁴), I_y⁽³⁾ = 294.36 (см⁴), I_xy⁽³⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
I'_x⁽³⁾ = 294.36 × cos²(90) + 294.36 × sin²(90) - 0 × sin(2 × 90) = 294.36 (см⁴)

I_xc⁽³⁾ = 294.36 + (25.36 - 14.867)² × 19.69 = 2462.108 (см⁴)

Получим, I_xc = 2517.404 + 2517.404 + 2462.108 = 7496.915 (см⁴)

I_yс = I_yс⁽¹⁾ + I_yс⁽²⁾ + I_yс⁽³⁾

где: I_yc⁽¹⁾ - осевой центральный момент инерции швеллера №1 отн. оси Y_c; I_yc⁽²⁾ - осевой центральный момент инерции швеллера №2 отн. оси Y_c; I_yc⁽³⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №3 отн. оси Y_c.

Вычислим осевой центральный момент инерции швеллера №1 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽¹⁾ = I'_y⁽¹⁾ + x₁² × A₁

где: I'_y⁽¹⁾ - осевой момент инерции швеллера №1 относительно собственного центра тяжести, x₁ - расстояние от центра тяжести швеллера №1 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽¹⁾ = 177.92 (см⁴) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97

I_yc⁽¹⁾ = 177.92 + (14.97 - 11.577)² × 26.71 = 485.451 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции швеллера №2 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽²⁾ = I'_y⁽²⁾ + x₂² × A₂

где: I'_y⁽²⁾ - осевой момент инерции швеллера №2 относительно собственного центра тяжести, x₂ - расстояние от центра тяжести швеллера №2 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽²⁾ = I_x⁽²⁾ × sin²(α) + I_y⁽²⁾ × cos²(α) + I_xy⁽²⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽²⁾ = 2117.9 (см⁴), I_y⁽²⁾ = 177.92 (см⁴), I_xy⁽²⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Швеллеры с параллельными гранями полок по ГОСТ 8240-97
I'_y⁽²⁾ = 2117.9 × sin²(-180) + 177.92 × cos²(-180) + 0 × sin(2 × -180) = 177.92 (см⁴)

I_yc⁽²⁾ = 177.92 + (11.577 - 9.98)² × 26.71 = 246.026 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №3 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽³⁾ = I'_y⁽³⁾ + x₃² × A₃

где: I'_y⁽³⁾ - осевой момент инерции уголка №3 относительно собственного центра тяжести, x₃ - расстояние от центра тяжести уголка №3 до оси Yc (по оси Xc).

I'_y⁽³⁾ = I_x⁽³⁾ × sin²(α) + I_y⁽³⁾ × cos²(α) + I_xy⁽³⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽³⁾ = 294.36 (см⁴), I_y⁽³⁾ = 294.36 (см⁴), I_xy⁽³⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
I'_y⁽³⁾ = 294.36 × sin²(90) + 294.36 × cos²(90) + 0 × sin(2 × 90) = 294.36 (см⁴)

I_yc⁽³⁾ = 294.36 + (11.577 - 9.14)² × 19.69 = 411.281 (см⁴)

Получим, I_yc = 485.451 + 246.026 + 411.281 = 1142.757 (см⁴)

Моменты сопротивления

Осевым моментом сопротивления площади сечения относительно главной центральной оси называется отношение момента инерции площади относительно этой же оси к расстоянию до наиболее удаленной точки от этой оси.

W_xс = I_xс/y_max = 7496.915/14.867 = 504.251 (см³)

W_yс = I_yс/x_max = 1142.757/11.577 = 98.711 (см³)
Задача 4. РАСЧЕТ ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ

Стальной вал, закручивается двумя моментами m₁ и m₂ (рис. 4). Два участка вала имеют форму поперечного сечения в виде кругов диаметрами d₁ и d₂, а третий участок вала полый - имеет форму поперечного сечения в виде кольца с заданным отношением внутреннего диаметра d к наружному D.

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов М_К;

2) из условия прочности по допускаемым касательным напряжениям [τ] определить размеры поперечных сечений участков вала и округлить их до ближайшей большей величины в мм;

3) построить эпюру углов поворота α.
Принять: а = 0,1ℓ₃.

Моменты инерции сечений вала

J_k1 = π×d⁴×(1-α⁴)/32 = π×15⁴×(1-0.6⁴)/32 = 4324 см⁴

J_k2 = π×d⁴/32 = π×27⁴/32 = 52150 см⁴

J_k3 = π×d⁴/32 = π×61⁴/32 = 1359000 см⁴

Моменты сопротивления сечений вала

W_k1 = π×d³×(1-α⁴)/16 = π×15³×(1-0.6⁴)/16 = 577 см³

W_k2 = π×d³/16 = π×27³/16 = 3863 см³

W_k3 = π×d³/16 = π×61³/16 = 44550 см³

Моменты на участках вала определяем, используя метод сечений

- первый участок

M₁ = -17000 = -17000Нм

- второй участок

M₂ = -17000 = -17000Нм

- третий участок

M₃ = -17000 -23000 = -40000Нм

Угол закручивания на одном участке определяется по формуле

ϕ=M∗l/G∗Jk

- первый участок

φ₁ = -17000×1.22 / 78000×10⁶×4324×10^-8 = -0.006149 рад

- второй участок

φ₂ = -17000×0.305 / 78000×10⁶×52150×10^-8 = -0.0001275 рад

- третий участок

φ₃ = -40000×0.61 / 78000×10⁶×1359000×10^-8 = -2.302E-5 рад

По полученным данным строим эпюры. Эпюру углов закручивания строим, начиная с правого закрепленного конца вала.

Задача 5.РАСЧЕТ ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ БАЛКИ НА ИЗГИБ

(Тема: «Изгиб».)
Стальная балка, изображена на рис. 5.

Требуется:

1) построить эпюры поперечной силы Q_У и изгибающего момента М_Х;

2) подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям поперечные сечения в виде круга, квадрата, двутавра и двух швеллеров;

3) сравнить принятые сечения балок по экономичности.

Стенки двутавра и двух швеллеров параллельны действующей нагрузке.

Принять: F = F₁ ; m = m₁.

Рис.1 — Расчетная схема балки
Определение опорных реакций

1) Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:

2) Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:

Так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.

3) Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

4) Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

5) Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

Построение эпюр

1) Рассмотрим первый участок 0 ≤ x₁ < 1.5

Продольная сила N:

Значения N на краях участка:

Поперечная сила Q:

Значения Q на краях участка:

Изгибающий момент M:

Значения M на краях участка:

2) Рассмотрим второй участок 1.5 ≤ x₂ < 3.4

Продольная сила N:

Значения N на краях участка:

Поперечная сила Q:

Значения Q на краях участка:

Изгибающий момент M:

Значения M на краях участка:

3) Рассмотрим третий участок 3.4 ≤ x₃ < 6.1

Продольная сила N:

Значения N на краях участка:

Поперечная сила Q:

Значения Q на краях участка:

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения: x = 1.96.

Изгибающий момент M:

Значения M на краях участка:

Локальный экстремум в точке x = 1.96:

Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб

Прямоугольное

Круглое сечение:

Швеллер:

– не проходит сечение

Швеллер:

не проходит сечение.

Задача 6. РАСЧЕТ БАЛКИ-КОНСОЛИ НА ИЗГИБ

(Тема: «Изгиб».)
Стальная балка, изображена на рис.

Требуется:

1) построить эпюры поперечной силы Q_У и изгибающего момента М_Х;

2) подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям сложное поперечное сечение, изображенное справа от схемы балки.

Принять: F = F₁; m = m₁.

Рис.1 — Расчетная схема балки
Определение опорных реакций

Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

1) На балку наложена связь в точке A (справа) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (H_A, R_A, M_A).

2) Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки:

3) Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

Так как момент отрицателен, на расчетной схеме направим его в противоположную сторону.

4) Выполним проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки: