СопроматВариан2. Задача Расчет стержня

• Название: Задача Расчет стержня
• Дата: 15.06.2021
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: СопроматВариан2.docx
• Тип: Задача; #217550
• страница: 1 из 4

Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи: Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из 3-х участков длиной и площадью , находится под действием собственного веса и силы , приложенной на координате . Материал стержня – ст. 3.

Требуется: Построить эпюры продольных сил , нормальных напряжений и перемещений .

Дано: =1,1 м, =1,0 м, =0,6 м, =40 см² , =20 см², =30 см², =70 кН, , опора внизу.

Указания: Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки . Ось , направление силы и нумерацию участков вести от опоры.

Решение: Вычертим схему стержня в соответствии с исходными данными из табл. 1.1 и указаниями к задаче (см. рис. 1.1). Расчет начнем со свободного конца стержня, т.е. с III-го участка. На силовом участке рассекаем стержень и, отбрасывая часть стержня, содержащую опору, составляем уравнения .

Участок III:

, , ,

где .

Получаем

при , ;

при

= ,



= ;



= .

Аналогично производим расчет на участках II и I. Далее определяем перемещения сечений стержня:

, , ,.

Результаты расчетов сведены в таблицу, а эпюры представлены на рис. 1.1.

Участок	Границы участка	Продольная сила N, кН	Нормальное напряжение , Мпа	Перемещение , мм
III	начало	0	0	0,2693
	конец	69,86	34,93	0,2694
II	начало	69,86	34,93	0,2694
	конец	69,70	34,89	0,0954
I	начало	69,70	17,43	0,0954
	конец	69,36	17,34	0

Рис. 1.1.

Задача 1.2. Расчет статически-неопределимого стержня
Условие задачи: Стержень, жестко закрепленный одним концом (A), состоящий из 2-х участков длиной и площадью , находится под действием приложенной на границе участков силы и разности температур . На расстоянии от свободного конца стержня расположена вторая опора (B). Материал участков стержня различен.

Требуется: Построить эпюры продольных сил , нормальных напряжений и перемещений .

Дано: =0,7 м, =1,3 м, =40 см² , =30 см², =40 кН, опора вверху, сталь-латунь, =0,35 мм,. =32°С

Указания: Предварительно определите, будут ли деформации стержня от действия силы и разности температур превышать значение зазора , т.е. будет ли стержень статически неопределим. Собственным весом стержня пренебречь. Ось , направление силы и нумерацию участков вести от опоры.

Решение: Вычертим схему стержня в соответствии с исходными данными из табл. 1.1 и 1.2 и указаниями к задаче (см. рис. 1.2).

_{Определим деформацию стержня от действия силы}

и разности температур



=

Т.о. деформация стержня от действия силы и разности температур составляет 1,101 мм, что превышает значение зазора , следовательно, стержень упирается во вторую опору и в результате возникает реакция .

Т.к. стержень становится статически неопределимым, уравнений статики недостаточно для нахождения его опорных реакций. Составим дополнительное уравнение, а именно уравнение деформации стержня.

,

где

=

Решая дополнительное уравнение, получим .

Теперь система статически определена, начнем расчет аналогично предыдущей задаче.

Участок II:

,

,



=

Аналогично производим расчет на I участке.

Далее определяем перемещения сечений стержня:

, , .


Рис. 1.2

Результаты расчетов сведены в таблицу, а эпюры представлены на рис. 1.2. Обратите внимание, что .

Участок	Продольная сила N, кН	Нормальное напряжение , МПа	Перемещение , мм
I	-104,2	-26,05	0,19
II	-144,2	-48,1	0,35

Задача 1.3. Расчет статически-неопределимой

шарнирно-стержневой системы
Условие задачи: Горизонтально расположенный абсолютно жесткий брус, с приложенной к нему силой , опирается на шарнирно-неподвижную опору О и стержни AB и CD, концы которых шарнирно закреплены.

Требуется: Определить из условия прочности стержней AB и CD допустимую силу .

Дано: а=0,9 м, b=0,5 м, c=0,6 м, d =1,5 м, f=1,3 м, = 45°, =10 см² , =20 см² , = 100 МПа, = 210 МПа.

Указання: Модули упругости стержней считайте одинаковыми, т.е. . При составлении расчетной схемы координаты шарниров откладывайте в соответствии с направлениями осей : положительные значения – в положительном направлении осей, т.е. вверх и вправо, а отрицательные – наоборот, т.е. вниз и влево. Углы откладывайте к горизонтали.

Решение: Составим уравнение статики для стержневой системы

. (1.3.1)

Уравнения статики не составляем, поскольку они содержат не интересующие нас реакции в опоре О.

Неизвестных усилий в стержневой системе больше, чем уравнений статики, на единицу, следовательно, система один раз статически неопределима. Составим одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней, которое получим из плана перемещений (см. рис. 1.3.2). В результате деформации стержней от действия силы абсолютно жесткий стержень повернется на некоторый угол, и шарниры займут новое положение .


Рис. 1.3.1

Рис. 1.3.2

Из подобия треугольников выразим ,

где

Получаем ,

где ,

.

Тогда .

Отсюда .

Подставив в полученное уравнение числовые значения, получим

. (1.3.2)

Получены уравнения (1.3.1) и (1.3.2) для раскрытия статической неопределимости системы. Составим уравнения расчета стержней 1 и 2 на прочность:

(1.3.3)

Определим силу , при которой будет соблюдено и условие статики по уравнениям (1.3.1, 1.3.2), и условие прочности (1.3.3).

Пусть ,

тогда из уравнения (1.3.2) .

Но это противоречит условию (1.3.3).

Примем ,

Тогда , что согласуется с условием (1.3.3).

Подставляя полученные значения в уравнение (1.3.1), найдем .

Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи: К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной , приложено четыре сосредоточенных момента .

Требуется Построить эпюру крутящих моментов , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений , построить эпюру углов закручивания вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Дано: =1,1 м, =0,6 м, =0,9 м, =0,4 м, = -4,5 , = -2,6 , =4,7 , = -2,0 .

Указання: Вычертим схему вала в соответствии с табл. 2.1. и рис. 2.1. Знаки моментов в таблице означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (смотри навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине. Участки нумеруем от опоры.

Допускаемое касательное напряжение для стали примем равным 100 МПа.

Решение: Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке, начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону от сечения.



Подберем сечение вала из расчета на прочности при кручении по полярному моменту сопротивления сечения:



Так как для круглого сечения , то .

Подставим в уравнение по абсолютному значению из эпюры крутящих моментов и получим



Принимаем .

Определим угол закручивания каждого участка вала по формуле

,

где – модуль упругости 2-го рода, Па;

- полярный момент инерции сечения (для круглого сечения ), .

- жесткость сечения при кручении, .

Для данного вала

Произведя расчет, получим , ,

, .

Определим углы закручивания сечений вала, начиная от опоры, где :



Определим максимальное касательное напряжение на каждом участке по формуле .

Произведя расчет, получим

По результатам расчетов строим эпюры , представленные на рис. 2.1.

Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле

Рис. 2.1.

Задача 2.2. Расчет статически-неопределимого вала
Условие задачи: На статически-неопределимый вал, жестко закрепленный с обоих концов, действует момент М, расположенный на координате .

Требуется: Определить опорные реакции, подобрать поперечные размеры вала из расчета на прочность, построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания.

Дано: =0,8 м, =0,9 м, =1,1 м, , = 1,0 , = 1,5 , =0,5 .

Указания:. Вычертите схему вала в соответствии с исходными данными из табл. 2.2. Начало координат расположите на левом конце вала.

Решение: Данный вал является статически-неопределимым, так как опорных реакций у него больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, для раскрытия статической неопределимости следует составить одно дополнительное уравнение перемещений, а именно, уравнение угла закручивания вала:

,

где .

Так как по условию задачи

Тогда, решая уравнение, получим .

Статическая неопределимость раскрыта. Крутящие моменты на каждом силовом участке найдем методом сечений:

, ,

.

Подбор сечения произведем по уравнению расчета на прочность при кручении: , где .

Потенциально опасными в нашем случае являются I и III участки.

Сделаем расчеты на прочность для этих участков:

на I участке ;

на III участке .

Принимаем , что не противоречит условиям прочности для всех участков.

Определим максимальные напряжения и углы закручивания на I участке:

,

.

Аналогично произведем расчет на остальных участках:

,

.

По полученным значениям строим эпюры, представленные на рис.2.2.

Рис. 2.2
Задача 3.1. Расчет заклепочного соединения
Условие задачи: К пластинам толщиной h, имеющим заклепочное соединение, приложены растягивающие усилия F (см. рис. 3.1).

Требуется: Определить допускаемое количество заклепок из условия прочности на срез и смятие.

Дано: =1,6 м, =4 м, =9 кН, =110МПа, =330МПа.


Рис. 3.1.
Указания:. Считать, что усилия между заклепками распределены равномерно, отверстия для заклепок продавлены, прочностные характеристики материала пластин выше, чем заклепок.

Решение: Определим количество заклепок из уравнения расчета на прочность при сдвиге (срезе):

,

где - суммарная площадь среза заклепок.

, где n – число заклепок.

Откуда .

Определим количество заклепок из уравнения расчета на прочность при смятии:

,

где - суммарная площадь смятия заклепок.

.

Откуда

Окончательно принимаем n=7 заклепок.