Мат. анализ. часть1. Элементы теории множеств. Последовательности
 Скачать 281.35 Kb.
|
|
Глава 1. Элементы теории множеств. Последовательности. Лекция 1. Элементы теории множеств. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Бином Ньютона. Множество - одно из основных понятий математики. Опр.1.1. Множество – совокупность объектов, собранных по какому-либо признаку, который называется характеристическим свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Числовыми множествами называются множества, элементами которых являются числа. Приняты следующие обозначения:  элемент  принадлежит множеству  ;  элемент  не принадлежит множеству ; множество состоит из элементов  .Опр.1.2. Два множества и  называются равными  , если они состоят из одних и тех же элементов. Множество называется подмножеством множества  , если все элементы множества являются одновременно и элементами множества .Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым  . Пересечением множеств и называется множество  , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как , так и , т.е.  .Объединением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному их данных множеств, т.е.  .Разностью множеств и называется множество , состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е.  .В представленных записях операций со множествами нами использованы так называемые «кванторы» - логические символы, с помощью которых удобно записывать многие математические понятия:  «и»; «или»; квантор общности, означает «для любого», «для каждого»; квантор существования, вместо слов «существует», «имеется»; «не существует»; «единственный»; «следует»; «равносильно», «тогда и только тогда».Числа, используемые для счета предметов или объектов, называются натуральными  . Если к натуральным числам присоединить им противоположные и ноль, то мы получим множество целых чисел  . Множество всех дробных чисел получило название рациональных чисел  . Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби. Множество бесконечных непериодических десятичных дробей получило название иррациональных чисел, например  и т.д. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел  .Опр.1.3. Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета, называется числовой осью. Между числовой осью и множеством действительных чисел существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой и наоборот, каждой точке на прямой ставится в соответствие единственное действительное число. Опр.1.4. Интервалом называется множество всех точек (чисел), заключенных между двумя какими-нибудь точками (числами), называемыми концами интервала. Если вместе с множеством точек интервала рассматривать и его концы, то интервал называется замкнутым  или  . Если концы интервала не рассматривать, то интервал называется открытым  или  . Если один конец присоединяется к интервалу, а другой – нет, то получаем полуоткрытый интервал  или  . Кроме конечных интервалов, существуют бесконечные интервалы, например  ;  ;  и т.д.Опр.1.5. Абсолютной величиной (модулем)  числа  называется число, равное самому себе, если положительно или равно нулю, и ему противоположное, если отрицательно: Отметим некоторые свойства модуля:
Опр.1.6. Открытый интервал  длины  с центром в точке называется  окрестностью точки . Иначе множество действительных чисел  , удовлетворяющих неравенству  называется окрестностью точки .Опр.1.7. Точка называется предельной точкой множества  , если в любой окрестностью точки находятся точки из , отличные от . Изолированной точкой множества называется такая точка этого множества, что в достаточно малой ее окрестности нет точек из , отличных от . Внутренней точкой множества называется такая точка этого множества, что существует некоторая окрестность точки , целиком содержащаяся в множестве . Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым. Точка называется граничной точкой множества , если любая ее окрестность содержит точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества.Опр.1.8. Множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число  , что  для любого  . В этом случае число называется верхней (нижней) гранью множества . Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным, в противном случае – неограниченным.Опр.1.9. Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью множества и обозначается  . Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью множества и обозначается  . Если множество не ограничено сверху, то  ; если не ограничено снизу, то  .Теорема1.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Бином Ньютона.   §2. Числовые последовательности
Опр.2.1: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность х1, х2, … хn, …  Числа хn (n=1,2, …) называют элементами или членами последовательности, а число хn – общим или n-ым членом данной последовательности.Последовательности можно задавать формулой общего члена хn. Пример:  ;  Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде множества точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности Если дана последовательность  и из некоторого подмножества ее членов образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в данной последовательности, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается  , причем nk < .Арифметические операции над числовыми последовательностями вводят следующим образом. Опр.2.2: Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей  называются последовательности  , члены которых образованы соответственно по следующим правилам:  Произведением последовательности  на число с называются последовательности  .Опр.2.3: Последовательность  называется ограниченной сверху (снизу), если числовое множество с элементами х1, х2, … хn, … ограничено сверху (снизу). Последовательность, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной.
Опр.2.4: Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство  .Опр.2.5: Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого положительного числа  (сколь бы малым его не взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше N выполняется неравенство  Теорема 2.1: (связь между б.б. и б.м. последовательностями): Если последовательность -б.б. и все ее члены отличны от 0 (хn≠0), то последовательность  - б.м.; и обратно, если - б.м. последовательность, (an≠0), то последовательность = - б.б.Свойства б.м. последовательностей: Теорема 2.2: Алгебраическая сумма любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность. Теорема 2.3: Произведение любого конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность. Замечание: Частное б.м. последовательностей может не быть б.м. последовательностью и может не иметь смысла. Теорема 2.4: Произведение ограниченной последовательности на б.м. есть последовательность б.м. Следствие: Произведение б.м. последовательности на число есть последовательность б.м. §3. Сходящиеся последовательности
Опр.3.1: Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ∀ε>0(сколь бы малым его не взяли) существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство  .  Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Замечание 1: Из определения -ε a-ε Эти неравенства означают, что элемент хn находится в ε-окрестности числа а. Поэтому опр. предела последовательности примет вид: число а является пределом последовательности , если ∀ε>0 ∃ N, начиная с которого все члены последовательности принадлежат ε-окрестности точки а.Таким образом, геометрический смысл предела последовательности: сходится к числу а, если вне любой ε-окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.Замечание 2: Пусть сходится и имеет своим пределом число а. Тогда последовательность  будет б.м., т.к. ∀ε>0 ∃ N n≥N  . След-но, любой элемент хn сходящейся к числу а последовательности можно представить в виде:  где аn – элемент б.м. последовательности .Обратно: если , где -б.м. последовательность, то  Если - б.м. последовательность, то  , т.е. всякая б.м. последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.Замечание 3: Если последовательность - б.б., то предел ее равен ∞, т.е.  , причем если, начиная с некоторого номера n, последовательность сохраняет определенный знак, то говорят, что 
Лемма 3.1: Если все элементы б.м. последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0. Теорема 3.1: Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Теорема 3.2: Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Следствие: если из последовательности можно выделить две подпоследовательности  , сходящиеся к а и b, a≠b, то последовательность не имеет предела.Теорема 3.3: Сходящаяся последовательность ограничена. Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Теорема 3.4: Сумма, произведение и частное двух сходящихся последовательностей и  , пределы которых равны  , есть сходящаяся последовательность, пределы которых соответственно равны:
Лемма 3.2: Если последовательность имеет предел а>0 (<0), то, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство  , т.е. члены последовательности сохраняют знак а.Следствие: Если и aТеорема 3.5 (о сохранении знака): Пусть  Если, начиная с какого-то номера N,  то и a≥b.Теорема 3.6 (предел промежуточной последовательности): Пусть для последовательностей  выполнены неравенства  и  Тогда  4. Монотонные последовательности. Число e Опр.3.2. Последовательность {  } называется возрастающей, если хn < xn+1 для любого n; неубывающей, если xn ≤ xn+1 для любого n; убывающей, если xn > xn+1 для любого n; невозврастающей, если xn ≥ xn+1 для любого n.Все такие последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными. Монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны: неубывающая ограничена снизу (xn ≥ xn+1 для любого n); невозрастающая ограничена сверху (xn ≤ Xn+1 для любого n). Оказывается, если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Теорема3.6 (о сходимости монотонной, ограниченной последовательности): Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной. Число е: Его обозначают e =  2, 718281, число иррациональное (число Эйлера).5. Теорема о вложенных отрезках. Опр.3.3. Пусть дана последовательность отрезков [a1, b1], [a2, b2], … , [an, bn], … таких, что любой последующий содержится в предыдущем [a1, b1]  [a2, b2]  [an, bn]; т.е. an an+1 bn+1 bn для любого n, и пусть . Будем называть эту последовательность последовательностью вложенных отрезков.Теорема3.7(о вложенных отрезках): Для любой последовательности вложенных отрезков существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности. Замечание: теорема неверна, если вместо отрезков рассматривать интервалы. |
.
.
; 
.
.
, 
.
, 
.
, 
.
.