Факультет химии, 201920 уч год Математический анализ. 1 семестр
 Скачать 302.74 Kb.
|
|
Факультет химии, 2019/20 уч. год Математический анализ. 1 семестр. Список теорем и утверждений (для подготовки к экзамену) Н. Е. Сахарова, И. В. Щуров, Д. А. Дагаев 1 Множества. Знать определения и (или) приводить примеры: множества, мощность множества, отоб- ражения множеств, счетные и несчетные множества, равномощные множества, континуум. На- туральные, рациональные, вещественные числа, десятичные дроби. Плотное множество. Теорема 1.1. Множество вещественных чисел имеет мощность континуум. Лемма 1.1. Множество рациональных чисел Q плотно в пространстве вещественных чисел R. 2 Комбинаторика и индукция. Знать определения и (или) приводить примеры: Метод математической индукции, числа сочетаний, бином Ньютона, треугольник Паскаля, неравенство Бернулли. Утверждение 2.1. (Бином Ньютона). (a + b) n = n X k=0 n k a n−k b k = n 0 a n + n 1 a n−1 b + · · · + n k a n−k b k + · · · + n n b n , где n k = n! k!(n−k)! = C k n – биномиальные коэффициенты, n – неотрицательное целое число. Утверждение 2.2. (Неравенство Бернулли.) если x ≥ −1, то (1 + x) n ≥ 1 + nx для всех n ∈ N. 3 Предел последовательности-1. Знать определения и (или) приводить примеры: утверждения с кванторами (как записать и прочитать). Последовательности, их свойства (монотонность, ограниченность). Определение предела. Примеры последовательностей, не имеющих пределов. Свойства пределов. Если предел существует, последовательность ограничена. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционе- рах. Предел суммы. Предел произведения. Предел 1/a n Лемма 3.1. (Арифметика пределов). 1. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует. lim n→∞ (x n + y n ) = lim n→∞ x n + lim n→∞ y n 1 2. Константу можно выносить из-под знака предела. ∀k ∈ R : lim n→∞ kx n = k lim n→∞ x n 3. Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пре- делов, если каждый из них существует. lim n→∞ (x n · y n ) = lim n→∞ x n · lim n→∞ y n 4. Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой. lim n→∞ x n y n = lim n→∞ x n lim n→∞ y n Утверждение 3.1. (Последовательности и неравенства.) 1. Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превы- шает этого числа. ∃N ∈ N ∀n > N : x n 6 a ⇒ lim n→∞ x n 6 a 2. Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй. ∃N ∈ N ∀n > N : x n 6 y n ⇒ lim n→∞ x n 6 lim n→∞ y n 3. Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения). ∃N ∈ N ∀n > N : x n 6 z n 6 y n ⇒ lim n→∞ x n 6 lim n→∞ z n 6 lim n→∞ y n Утверждение 3.2. (Другие свойства). 1. Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел. lim n→∞ x n = a ∧ lim n→∞ x n = b ⇒ a = b 2. Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу. lim n→∞ x = x 3. Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последователь- ности не влияет на ее предел. 4. Если предел существует, последовательность ограничена. 2 4 Предел последовательности-2. Знать определения и (или) приводить примеры: точная верхняя и точная нижняя грань. Подпоследовательности. Предельные точки. Теорема Больцано–Вейерштрасса (у любой огра- ниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность). Теорема 4.1. (Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей после- довательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности)). Любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убываю- щая) последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней (или нижней) грани. Теорема 4.2. (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последователь- ности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 5 Предел функции. Знать определения и (или) приводить примеры: функции, графики функций и их преоб- разования (сдвиги, растяжения). Обратная функция и ее график. Определение предела функ- ции в точке (по Коши). Определение предела функции по Гейне. Односторонние пределы. Пре- дел при x стремящемся к бесконечности (плюс бесконечности, минус бесконечности). Бесконеч- ные пределы. Замечательные пределы. Утверждение 5.1. • Первый замечательный предел: lim x→0 sin x x = 1. • Второй замечательный предел: lim x→∞ 1 + 1 x x = e. 6 Асимтоты. Непрерывность функции. Знать определения и (или) приводить примеры: Вертикальные, горизонтальные, наклон- ные асимптоты. Непрерывность. Точки разрыва. Непрерывность композиции двух функций. Теорема о промежуточном значении. Утверждение 6.1. (Свойства непрерывных функций). 1. Функция, непрерывная в точке a, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки. 2. Если функции f и g непрерывны в точке a, то функции f + g и f · g тоже непрерывны в точке a. 3. Если функции f и g непрерывны в точке a и при этом g(a) 6= 0, то функция f /g тоже непрерывна в точке a. 3 4. Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке b = f (a), то их композиция h = g ◦ f непрерывна в точке a. 5. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограни- чена и достигает на нем свои максимальное и минимальное значения. Теорема 6.1. (Предел композиции непрерывных функций). Если функция f : X → Y имеет в точке a предел lim x→a f (x) = b, а функция g : f (X) ⊂ Y → Z непрерывна в точке b, то в точке a существует предел композиции функций g ◦ f : X → Z и выполнено равенство: lim x→a g(f (x)) = g(lim x→a f (x)) = g(b). Теорема 6.2. (Теорема о промежуточном значении). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и f (a) · f (b) < 0, то существует точка ξ ∈ (a, b), в которой f (ξ) = 0. 7 Производная. Знать определения и (или) приводить примеры: производная. Геометрический смысл производной, касательная. Вычисление производных. Производная суммы, произведения, ком- позиции функций. Производная обратной функции. Теорема 7.1. (Производная обратной функции). Для дифференцируемой функции с про- изводной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине произ- водной данной функции, то есть f −1 0 (a) = 1 f 0 (f −1 (a)) 8 Экстремум. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагран- жа Знать определения и (или) приводить примеры: необходимое условие экстремума. Тео- рема Ролля. Теорема Лагранжа. Если производная всюду положительна, функция строго воз- растает. Теорема 8.1. Теорема Ролля (теорема о нуле производной). Если вещественная функ- ция, непрерывная на отрезке [a, b] и дифференцируемая на интервале (a, b), принимает на кон- цах отрезка [a, b] одинаковые значения, то на интервале (a, b) найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Теорема 8.2. Теорема Коши (о среднем значении). Пусть даны две функции f (x) и g(x) такие, что: 1. f (x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a, b]; 2. производные f 0 (x) и g 0 (x) определены и конечны на интервале (a, b); 3. производная g 0 (x) не обращается в нуль на интервале (a, b) (значит, по теореме Ролля, g(a) 6= g(b)). 4 Тогда существует ξ ∈ (a, b), для которой верно: f (b) − f (a) g(b) − g(a) = f 0 (ξ) g 0 (ξ) Теорема 8.3. Теорема Лагранжа (о среднем значении). Если функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b), то найдется такая точка c ∈ (a; b), что f (b) − f (a) b − a = f 0 (c). 9 Старшие производные. Знать определения и (или) приводить примеры: старшие производные. Выпуклость. Точ- ки перегиба. Достаточное условие экстремума. 10 Правило Лопиталя. О-о символика. Знать определения и (или) приводить примеры: правило Лопиталя (неопределенность 0/0 и ∞/∞). o-малые и О-большие. Теорема 10.1. (Теорема Лопиталя). Если f (x), g(x) – действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности U точки a, где a– действительное число или один из символов +∞, −∞, ∞, причем 1. lim x→a f (x) = lim x→a g(x) = 0 или ∞ 2. g 0 (x) 6= 0 в U 3. существует lim x→a f 0 (x) g 0 (x) ; тогда существует lim x→a f (x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0 (x) . Пределы также могут быть односторонними. 11 Числовые ряды. Знать определения и (или) приводить примеры: числовые ряды. Геометрическая про- грессия и гармонический ряд. Признаки сходимости, расходимость гармонического ряда. Зна- копеременные ряды, абсолютная и условная сходимость, достаточные условия сходимости. Лемма 11.1. Ряд a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n + . . . может сходиться лишь в том случае, когда член a n (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю: lim n→∞ a n = 0. Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным Ҹ у гармониче- ского ряда, например, общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится. 5 Лемма 11.2. (Признак Лейбница – признак сходимости знакочередующегося ряда). Пусть дан знакочередующийся ряд S = ∞ X n=1 (−1) n−1 b n , b n ≥ 0, для которого выполняются следующие условия: • b n ≥ b n+1 , начиная с некоторого номера n ≥ N • lim n→∞ b n = 0. Тогда такой ряд сходится. Лемма 11.3. (Признак д’Аламбера). Если существует предел ρ = lim n→∞ a n+1 a n , то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 – расходится. Замечание 1. Если ρ = 1, то признак д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Лемма 11.4. (Радикальный признак Коши). Если существует предел ρ = lim n→∞ n √ a n , то рассматриваемый ряд сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 – расходится. Замечание 2. Если ρ = 1, то радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Лемма 11.5. (Интегральный признак сходимости). Пусть для функции f (x) выполня- ется: • ∀x : f (x) > 0 (функция принимает неотрицательные значения) • ∀x 1 ∀x 2 : f (x 1 ) > f (x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 (функция монотонно убывает) • ∀n ∈ N : f(n) = a n (соответствие функции члену ряда) Тогда ряд P ∞ n=1 a n и несобственный интеграл ∞ R 1 f (x) dx сходятся или расходятся одновременно. 6 |