Фильтрация в частотной и во временной области. Фильтрация в частотной и во временной области. Свертка
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Фильтрация в частотной и во временной области. Свертка Суть фильтрации сводится к разделению полезного сигнала и помехи, либо к подавлению, ослаблению помехи.  Для этого используются различные преобразования, которые помогают разделить полезный сигнал и помеху (преобразование Фурье, преобразование Радона и т.д.) Основой фильтрации является интеграл свертки. Он же описывает связь сейсмической трассы между импульсом и коэффициентами отражений  Предположим, что имеется две пары преобразованиями Фурье x  (t)  X ( ) и x (t) X ( ). Если перемножить оба комплексных спектра, то получим новый спектр X( ), т.е.  .Спрашивается, как выразить функцию x(t), являющуюся парой преобразования спектра  , через временные функции x (t) и x (t). Искомую функцию можно описать выражением такого типа Выражения такого типа называются интегралами Дюамеля или интегралами свертки. Кратко свертка функций записывается так  Чтобы понять физическую сторону свертки, возьмем две временные функции  и   ) в одинаковой системе координат времени . Запись вида  может трактоваться как функция  , запаздывающая от начала координат  на величину t, т. е. она сдвигается по оси времен вправо от начального момента времени. Тогда функция  представляет собой смещенную по оси времен на величину t и обращенную во времени (перевернутую задом наперед) функцию x (t). Переворот функции происходит таким образом, что на месте остается и совпадает само с собой начальное значение функции  , а поворот функции и осуществляется вокруг этой начальной точки. Далее, в соответствии со структурой интеграла, значения функций и перемножаются и полученные парные произведения значений функций интегрируются (суммируются). Можно записать формулу и для свертки спектров. Так, если задана некоторая функция  , то комплексный спектр этой функции  определится из выражения  . Здесь  некоторый интервал по частоте, с который проводится свертка спектров. Фильтрация в частотной области соответствует умножению спектра сигнала (трассы) на спектр фильтра, что равно свертке сигнала (трассы) с импульсной характеристикой этого фильтра во времени. Ортогональные вектора и функции. Тригонометрический ряд Фурье Гильбертово пространство представляет своего рода вариант Евклидова пространства при бесконечной размерности. Векторы x, y евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. (х,у) = 0 В Гильбертовом пространстве векторы заменены функциями. Функции ϕ x)( и ψ (x) , определенные и интегрируемые на отрезке , называются ортогональными на этом отрезке, если  Система функций  , определенных на отрезке и интегрируемых на нем вместе с их квадратами, называется ортогональной на отрезке [a,b] , если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т.е. Замечание. Предполагается, что среди функций нет функции, тождественно равной нулю. Скалярное произведение, проекции, норма в Гильбертовом пространстве:  На участке (-π; π) синусы и косинусы с одинаковой частотой «n» ортогональны друг другу при  .  На участке (-π; π) синусы и косинусы с частотами «n» и «к» ортогональны друг другу при . На участке (-π; π) синусы с частотами «n» и «к» ортогональны друг другу при  . На участке (-π; π) косинусы с частотами «n» и «к» ортогональны друг другу при . На участке (-π; π) синусы и косинусы с частотами «n» образуют ортогональную систему функций при . Когда количество гармоник стремится к бесконечнолсти, система стремится к полной.     Тригонометрический ряд Фурье  Если функция g(t) четная, то все коэффициенты  Если функция g(t) нечетная, то все коэффициенты  |