Глава 12. Функциональные ряды 12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Пусть последовательность функций, каждая из которых определена на некотором подмножестве . В этом случае говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Например:
,
.
Аналогично, если задан ряд , каждый член которого является функцией, определенной на множестве , то говорят, что на множестве задан функциональный ряд. Например, , .
Определение 1. Функциональная последовательность называется схдящейся на множестве к функции , если последовательность сходится к , т.е. такое, что выполняется для .
Обозначается . Эта сходимость называется монотонной, т.е. сходимостью в каждой точке множества.
Определение 2. Функциональный ряд называется сходящимся намножестве к функции , если последовательность его частных сумм сходится к функции на множестве , которое называется областью сходимости ряда.
, .
Функция называется суммой функционального ряда.
Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории функциональных рядов – нахождение области сходимости функционального ряда.
Пример 1. Найти область сходимости следующих рядов:
а) ; б) ; в)
Решение. а) – бесконечная геометрическая про- грессия. На множестве X=(-1,1) ряд сходится, причем .
б) По признаку Даламбера ряд сходится для . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно для .
в) По признаку Коши = Откуда следует, что х>4. Областью сходимости является множество X=(4,+).
Кроме поточечной сходимости , есть также другой тип сходисти, которая называется равномерной сходимостью на множестве.
Определение 3. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве к функции , если такое, что и выполняется . Обозначается .
Определение 4. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к функции , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на к .
Сравним между собой оба типа сходимости. Пусть ряд сходит- ся для . Это означает, что каждому будет соответствовать свой числовой ряд, для сходимости которого , определенное в каждой точке. В общем случае значение будет меняться от точки к точке, т.е. . При равномерной сходимости требуется, чтобы для выбранного число не зависело от и было одним и тем же для .
Отсюда следует важный вывод: если последовательность (ряд) равномер но сходится на , то последовательность (ряд) просто сходятся на . Обратное утверждение неверно.
Пример 2. Проверить сходимость последовательности , .
Решение. Понятно, что , т.е. последовательность сходится. Однако эта сходимость будет неравномерной. Действительно, возьмем . Найдется ли такое, что для и выполняется неравенство ? Выполнение этого неравенства для всех точек невозможно, так как при х близких к 1 , потому что . Таким образом, последовательность сходится, но неравномерно.
Пример 3. Рассмотрим ряд . Он сходится на . Покажем, что он сходится неравномерно.
Решение. Последовательность частичных сумм сходится к при . Поэтому для такое, что для . Однако для это невозможно, так как при функция принимает любое, как угодно большое значение. Ряд сходится, но неравномерно.
Теорема 1. (критерий Коши). а) Для того, чтобы последовательность равномерно сходилась на множестве необходимо и достаточно, чтобы для таких, что для и выполнялось
; (1)
б) Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для таких, что для и выполнялось , или, если обозначить , то
, (2)
Доказательство выполним для последовательностей.
Необходимость. Пусть равномерно сходится к на . Зададим , тогда , что и .
Возьмем , тогда для имеем
, т.е. выполняется (1).
Достаточность. Пусть выполняется условие теоремы а), т.е. для такие, что для и выполняется . Это означает, что для числовая последовательность фундаментальная, а, следовательно, она сходится. Положим . Перейдем к пределу в неравенстве при . Тогда получим, что для выполняется неравенство , т.е. сходится равномерно к на , при .
Пример 4. Исследовать сходимость ряда на интервале .
Решение. Неравенство , , показывает, что последовательность сходится к нулю равномерно на , но в тоже время для любого значения ряд расходится.
Теорема 2. (Признак Вейерштрасса). Пусть для и выполняются неравенства и числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве .
Так как числовой ряд сходится, то для него выполняется критерий Коши, т.е. , что выполняется для
Возьмем и , тогда для имеем
, ,
т.е. выполняется критерий Коши (2). Ряд сходится равномерно и абсолютно по признаку сравнения. ■
Замечание. Ряд в теореме 2 называется мажорантой для ряда , а саму теорему 2 часто называют мажорантным признаком сходимости.
Пример 5. Доказать сходимость ряда .
Решение. Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. по признаку сравнения . Поэтому исходный ряд абсолютно и равномерно сходится .
Пример 6. Исследовать сходимость ряда на отрезке .
Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке , второе в точке . Следовательно, для всех имеем, что , и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на .
Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие. Непосредственно из определения вытекает необходимый и достаточный признак равномерной сходимости, которым удобно пользоваться на практике.
Теорема 3. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась на множестве к предельной функции необходимо и достаточно, чтобы
, (3)
где , .
Необходимость. Пусть при . Так как по определению неравенство выполняется для и при , то при таких будет справедливо . Отсюда следует, что при .
Достаточность. Пусть при . Это означает, что для при достаточно больших будет выполняться , тогда тем более для всех и будет выполняться . А это означает равномерную сходимость.
Теперь, пользуясь этой теоремой и определением равномерно сходящегося функционального ряда, можно сформулировать необходимое и достаточное условия равномерной сходимости ряда: для того, чтобы функциональный ряд сходился к на необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась к нулю, т.е. .
Пример 7. Исследовать сходимость .
Решение. Ранее было показано, что сходимость есть, но она неравномерная. Это же самое получается более просто по теореме 3:
.
При этом не стремится к 0 при , поэтому сходимость неравномерная.
Пример 8. Сходится ли равномерно последовательность , .
Решение. Сначала проверим существование предельной функции .
при , .
Таким образом, . Рассмотрим
,
где .
Найдем , т.е. наибольшее значение на . Вычислим значения на концах интервала
и
и в критических точках. Продифференцируем :
.
при , откуда.
При этом берем только . Тогда . Поэтому при . Следовательно, при на . Последовательность равномерно сходится на .
Пример 9. Проверить сходимость ряда , .
Решение. Прежде всего, отметим, что в указанном промежутке ряд сходится по признаку сравнения, так как он знакоположительный, и существует сходящийся ряд для , так что выполняется условие .
Рассмотрим остаток и найдем его сумму. Так как , то т-я частичная сумма остатка будет
, при .
Т.е. . Тогда при . Таким образом, на ряд сходится неравномерно. На любом промежутке , где сходимость равномерная, т.к.
при .
Пример 10. Исследовать на равномерную сходимость ряд на .
Решение. Так как , , то оценка не дает сходящегося мажорантного ряда. Найдем . Поскольку , то , следовательно, , и в силу признака Вейерштрасса ряд сходится равномерно на .
11.2. Функциональные свойства
предельной функции и суммы ряда
Теорема 4.(о перестановочности предельного перехода и суммирования).
а) Пусть выполняются условия:
1) последовательность равномерно сходится к функции на множестве ;
2) – предельная точка множества ;
3) существуют пределы .
Тогда последовательность сходится и
. (4)
б) Пусть выполняются условия:
1) ряд равномерно сходится к на ;
2) – предельная точка множества ;
3) существуют пределы .
Тогда ряд – сходится, причем
. (5)
Доказательство выполним только для последовательности. Покажем, что последовательность сходится. Т.к. сходится равномерно на , то в силу критерия Коши (теорема 1) для такие, что и выполняется . Переходя к пределу в неравенстве при , так как , получим , т.е. последовательность фундаментальная, а это означает, что она сходится.
Докажем справедливость формулы (4). Возьмем . В силу равномерной сходимости для такое, что и выполняется
. (6)
Так как , то для выполняется
. (7)
Возьмем . Для этого N справедливы неравенства (6) и (7). Так как , то , что выполнится
при . (8)
Тогда будем иметь из (6) – (8):
,
т.е.
Замечание. Поскольку , , то (4) можно записать
.
Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании , порядок взятия предела можно изменять.
Аналогично для функциональных рядов имеем
.
Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве и существуют пределы , то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.
Теорема 5. (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).
а) Пусть последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится к на , тогда ее предел также непрерывная на [a, b] функция.
б) Пусть все члены ряда непрерывные на функции, а сам ряд сходится равномерно на , тогда его сумма также непрерывна на
Доказательство для рядов. Пусть . Надо доказать, что непрерывна для . Возьмем и найдем предел в этой точке. Используя предыдущую теорему, получим
.
Аналогично для последовательности.
Если последовательность непрерывных функций (ряд) сходится неравномерно, то ее предел (сумма ряда) может быть разрывной функцией.
Пример 11. на отрезке.
Решение. Члены ряда непрерывны на и .
,
т.е. получили, что – разрывная в точках .
Теорема 6. (о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов).
а) Пусть задана последовательность , удовлетворяющая следующим условиям:
1) дифференцируема на для ;
2) последовательность сходится при некотором ;
3) последовательность равномерно сходится на .
Тогда последовательность равномерно сходится на отрезке к некоторой функции и (), причем
, . (9)
б) Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:
1) для дифференцируема на ;
2) ряд сходится при некотором ;
3) ряд сходится равномерно на .
Тогда ряд сходится равномерно на к некоторой функции , т.е. , и причем
.
Доказательство приведем для последовательности. Покажем, что и сходится равномерно на . Используем критерий Коши. Пусть и . Из очевидного тождества
для
получим следующее неравенство
, .
Возьмем произвольное . Т.к. последовательность сходится равномерно на , то , что при всех и для выполнится
.
Так как сходится, то , что для выполняется
.
Тогда получаем
для и , следовательно, в силу критерия Коши, последовательность равномерно сходится на к .
Докажем равенство (9). Пусть – произвольная точка . Рассмотрим последовательность определенную на множестве и докажем, что она сходится равномерно. Рассмотрим . Применим к формулу Лагранжа или
.
Тогда
,
т.к. последовательность сходится равномерно.
Таким образом, для , что выполняется для и в силу равномерной сходимости . Откуда следует, что последовательность сходится равномерно на , причем
.
.
.
Поэтому , и по определению производной выполняется .
Тогда по теореме 1 последовательность сходится, причем . Так как произвольная точка , то теорема доказана. <
Таким образом, при выполнении условий теоремы операции предельного перехода и дифференцирования, а также суммирование и дифференцирование перестановочны.
Отметим, что если в теореме отбросить условие равномерной сходимости на , то теорема неверна.
Теорема 7. (об интегрировании функциональных последовательностей и рядов).
а) Пусть последовательность равномерно сходится к некоторой функции на отрезке , причем каждая имеет первообразную на . Тогда
.
б) Пусть ряд равномерно сходится на отрезке , причем каждая из функций имеет первообразную на . Тогда ряд сходится равномерно на , причем
, (9)
т.е. ряд можно почленно интегрировать.
‰ Докажем теорему для последовательностей. Положим ,. Тогда причем
1) – дифференцируемая функция ;
2) последовательность – сходится;
3) последовательность сходится равномерно на .
Следовательно, последовательность по предыдущей теореме сходится равномерно на к некоторой функции причем
.
Отсюда следует, что
.
Таким образом, при на .
Подставляя , получаем, что . <
Пример 12. Рассмотрим ряд . Он равномерно сходится на , по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:
.
Так как любое число из (0, 1), то представление справедливо . Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.
11.3. Степенные ряды
Определение 5. Функциональный ряд вида
, (10)
где последовательность вещественных чисел, называется степенным рядом, а – коэффициентами степенного ряда.
Сразу отметим, что (10) сходится всегда в точке . Рассмотрим верхний предел .
Обозначим . Будем считать, что если , то , а если , то .
Теорема 8. (Коши-Адамара). Степенной ряд абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих условию . Если конечное число, то он расходится .
‰ Пусть – конечный, и выполняется неравенство , тогда
.
Выберем число такое, что
.
Из определения верхнего предела следует, что неравенство может не выполниться лишь для конечного числа номеров . Поэтому существует такой номер , что выполняется
,
или
, при . (11)
По признаку сравнения из (11) следует абсолютная сходимость ряда (10). Так как ряд сходится, как геометрическая прогрессия , то ряд тоже сходится, по признаку Вейерштарсса.
Пусть теперь , тогда и получаем . Выберем число , такое, чтобы
. (12)
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность сходящаяся к . Тогда из определения предела и неравенства (12) следует, что существует такой номер , что при выполняется . Откуда
и, следовательно, при , т.е. нарушено необходимое условие сходимости ряда. ■
Итак, если предел конечен, то степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .
(13)
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Формула (13) называется формулой Коши - Адамара.
Из теоремы следует, что при ряд сходится только в одной точке . При ряд сходится в интервале , а при ряд сходится для . Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал. В граничных точках и ряд может и сходится и расходится, поэтому требуется дополнительное исследование. Формулу (13) используют для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. Для определения интервала сходимости на практике часто также удобно использовать признак Даламбера для ряда составленного из модулей членов исходного степенного ряда.
Пример 15. Найти интервал сходимости ряда .
Решение. Найдем величину радиуса сходимости.
,
.
Так как , то . Таким образом, интервал сходимости ряда используем сходимость на концах интервала. При получаем числовой ряд , а при оба ряда сходятся, причем первый сходится абсолютно, как обобщенный гармонический ряд.
Теорема 9. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для .
‰ Пусть – радиус сходимости ряда (10). Тогда . Это так, потому что, если , то по теореме 8 степенной ряд расходится в точке , что противоречит условию. Итак .
В силу теоремы 8 ряд (10) сходится при , а следовательно и при . <
Теорема10. (о равномерной сходимости степенного ряда). Степенной ряд (10) равномерно сходится на любом отрезке , содержащимся в интервале сходимости.
‰ Поскольку отрезок содержится в интервале сходимости степенного ряда, то в силу теоремы 8 ряд (10) сходится абсолютно в точке , т.е. числовой ряд – сходится.
Для выполняется , но так как – сходится, то по признаку Вейерштрасса равномерно сходится ряд (10) на . <
Теорема 11. Степенной ряд (10) можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
‰ Степенной ряд
, (14)
полученный дифференцированием, имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (10). Действительно,
.
Отсюда в силу формулы Коши-Адамара следует, что ряды (10) и (14) имеют одинаковые радиусы сходимости. Пусть принадлежит интервалу сходимости. Выберем отрезок так, чтобы . По теореме 10 ряд сходится равномерно на и в силу теоремы его можно почленно дифференцировать на , а, следовательно, и в интервале сходимости. Аналогично доказывается возможность интегрирования. <
Это теорема используется для представления функций в виде степенных рядов.
Пример 14. Найти разложение в ряд по степеням функции .
Решение. Найдем производную, а затем проинтегрируем в интервале сходимости.
, при .
, .
Пример 15. Найти разложение функции в степенной ряд.
Решение. Запишем сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем
.
Проинтегрируем левую и правую части этого равенства в интервале сходимости
.
Получили представление функции по степеням в интервале .
11.4. Ряд Тейлора
Пусть функция является суммой степенного ряда
, (15)
интервал сходимости которого есть .
Найдем коэффициенты . В интервале сходимости ряд можно почленно дифференцировать, причем получится ряд, сходящийся в этом интервале. Продифференцируем последовательно ряд раз
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Положим в этих тождествах.
;;;;.
Откуда коэффициенты ряда
, , ,…, .
Подставляя в (15) получим ряд
(16)
Полученный ряд (16) называется рядом Тейлора для функции .
В частности, если , то этот ряд называется рядом Маклорена.
Таким образом, если степенной ряд имеет сумму , то коэффициенты этого ряда определяются по формулам
, (17)
В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Очевидно, что ряд Тейлора является бесконечным продолжением формулы Тейлора.
Ясно, что если разлагается в степенной ряд (т.е. является суммой степенного ряда), то она число раз дифференцируема.
Поставим обратную задачу. Пусть – бесконечное число раз дифференцируемая функция в точке . Составим для нее формально ряд Тейлора (16), т.е. найдем коэффициенты по формулам (17). Возникает вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора совпадать с функцией , для которой он составлен?
Теорема 12. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора необходимо и достаточно, что бы остаточный ряд в формуле Тейлора для функции в окрестности точки стремится к 0 при , т.е.
(18)
‰ Запишем формулу Тейлора в окрестности точки ,
где , остаточный член в формуле Лагранжа.
Ясно, что ряд Тейлора представляет собой бесконечное удлинение функции Тейлора.
Необходимость. Обозначим частичную сумму ряда
.
Тогда из формулы Тейлора получаем , .
Пусть – сумма ряда Тейлора, т.е. . Тогда из , .
Достаточность. Пусть, . Из следует, что , т.е. является суммой ряда Тейлора. <
Непосредственная проверка выполнения условия (18) обычно бывает довольно сложной. Сформулируем достаточное условие сходимости ряда (16) к .
Теорема 13. Пусть функция бесконечное число раз дифференцируемая в некоторой окрестности точки и , что выполняется
, и , (19)
тогда ряд (16) сходится к .
‰ Надо показать, что при сделанных предположениях в теореме выполняется условие (18). Из формулы
следует, что . Но (известно из теоремы пределов). Тогда условие (18) выполняется и из теоремы 12 следует, что теорема доказана. <
Следствие. Пусть все производные ограничены в совокупности в интервале и , т.е. , что выполнится для и . Тогда ряд Тейлора сходится к на .
Заметим , что ряд Тейлора не всегда сходится к той функции, для которой он написан.
Пример 16.(Адамар) Функция бесконечное число раз дифференцируема. Если , то и функция, очевидно, дифференцируемая. При производные вычисляются по определению, причем . Отсюда и ясно, что полученный ряд тождественно равен нулю и не сходится к функции.
Получим разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.
Показательная функция , .
,.
.
При ряд Тейлора имеет вид:
На произвольном интервале и все ее производные ограничены в совокупности для и . Тогда по следствию ряд сходится к на . Так как число произвольное, то ряд сходится на всей числовой прямой.
Функция , .
– бесконечно число раздифференцируемая.
, , , , …
Получаем , , , , , …
Все ее производные ограничены в совокупности на всей числовой прямой так как
.
Следовательно, формула
справедлива при всех , т.е. степенной ряд сходится для .
Функция , .
вывод аналогичный. Областью сходимости являетсяснова вся числовая прямая.
Степенная функция , , , .
,
,
.
…
.
Вычисляя , получим степенной ряд Маклорена, который называется биномиальным рядом:
По признаку Даламбера легко показать, что областью сходимости биномиального ряда является интервал . Поведение при зависит от . Показано, что при .
Если – натуральное число, то все коэффициенты при степенях при равны нулю и разложение превращается в формулу бинома Ньютона, верную при всех
.
Стандартным путем разложения известной функции в степенной ряд является следующий: вычисляют производные, формально составляют ряд Тейлора и смотрят, сходится или не сходится ряд к . Однако часто этот путь является сложным. Поэтому используют другие приемы, так, например, были получены разложение и с помощью дифференцирования и интегрирования известного степенного ряда.
Логарифмическая функция
.
Интервал сходимости . Это легко показать по признаку Даламбера.
Функция .
Интервал сходимости .
Для разложений функций в степенные ряды обычно используют эти разложения, а также разложения
, , справедливые при .
Пример 17. Разложить в ряд по степеням х.
Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции .
Пример 18. Разложить в ряд по степеням х.
Решение. Так как , то можно воспользоваться разложением в ряд для функции .
Пример 19. Разложить в ряд по степеням х.
Решение. Воспользуемся формулой понижения степени и представим исходную функцию следующим образом
.
Воспользуемся известным разложением в ряд функции , получим
.
Пример 20. Разложить в ряд по степеням .
Решение. Преобразуем выражение для функции и воспользуемся известным разложением для .
Пример 21. Разложить в ряд по степеням .
Решение. Представим исходную функцию следующим образом
.
Вычислим коэффициенты ряда:
,
,
,
,
, …
.
Получаем ряд
Пример 22. Разложить в ряд функцию по степеням . Указание .
Решение. Воспользуемся формулой (9). Учитывая, что , получаем
.
Замечание. Разложение функции в степенные ряды используют для решения многих задач: вычисления пределов; нахождения интегралов; приближенное вычисление значений функции; приближенного вычисления определенных интегралов; приближенного решения дифференциальных уравнений и т.д.
Пример 23. Вчислить интеграл с точностью δ=0,001: 11.5. Тригонометрические ряды Фурье
Функциональная последовательность
,
называется основной тригонометрической системой (ОТС).
Функциональная последовательность
,
где , называется тригонометрической системой общего вида.
Лемма. Основная тригонометрическая система ортогональна на отрезке , т.е. выполняются следующие равенства:
, , , , , при .
, , при .
Тригонометрическая система общего вида ортогональна на , т.е.
; ; ;
, при
, , при ;
‰ Справедливость этих равенств устанавливается непосредственным интегрированием, применением формул
,
,
,
,
.
Ясно, что по функциональной последовательности, состоящей их основной тригонометрической системы, можно построить функциональный ряд вида
(20)
Этот ряд называется тригонометрическим рядом по ОТС.
Функциональный ряд по тригонометрической системе общего вида следующий
(21)
Каждое слагаемое тригонометрического ряда называется гармоническимколебанием или гармоникой, и его можно записать в виде
,
где – амплитуда, – частота, – начальная фаза.
Любая частичная сумма ряда имеет период , т.к. входящие в нее функции имеют период . Если ряд сходится на отрезке , то он сходится на всей числовой прямой. Его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, также является периодической функцией с периодом . Поэтому тригонометрические ряды удобны для изучения периодических процессов в природе и технике: колебательные и вращательные движения различных деталей машин, движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания, радиотехнические сигналы и т.п.
Если сумма ряда (20) на некотором множестве , то можно выразить коэффициенты ряда и через .
Теорема 14. Если тригонометрический ряд (20) равномерно сходится на всей числовой прямой к функции , т.е.
,
тогда коэффициенты этого ряда определяются по формулам
, , (22)
‰ Для доказательства используем лемму. Умножим (22) на 1 и проинтегрируем на отрезке , на и проинтегрируем, и проинтегрируем на отрезке . Интегрировать почленно можно, т.к. по условию функциональный ряд равномерно сходится. <
Аналогичная теорема имеет место для равномерно сходящегося тригометрического ряда по тригонометрической системе общего вида. Если
,
то
, , . (23)
Дальше все рассуждения будут проводиться для ряда (20), т.к заменой , ряд (21) сводится к ряду (20)
Определение 6. Если функция абсолютно интегрируема на то тригонометрический ряд (22), коэффициенты которого определяются по (23) называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициенты и , называется коэффициентами Фурье.
Пример 24. , . Найти коэффициенты Фурье и составить ряд Фурье.
Решение. Найдем коэффициенты ряда по формулам (23). Используя формулу интегрирования по частям, получим:
, , .
.
В теории рядов Фурье особое значение имеет вопрос: если интегрируемая на и по формулам (22), (23) формально построен ряд Фурье, то будет ли он сходится к ? При каких значения это возможно? Ответы на это вопросы будут даны ниже.
11.6. Свойства коэффициентов Фурье
Коэффициенты ряда Фурье обладают рядом важных свойств.
1. Если имеет период (например, рис. 11.1), то коэффициенты ряда Фурье для нее вычисляются по следующим формулам
, , .
ƒ Известны свойства периодических функций
а) ;
б) ;
в) .
Тогда доказываемые формулы получаются, если в них положить , . <
2. Если четная функция, то для .
Если нечетная функция, то , для .
ƒ По определению: четная функция удовлетворяет условию , а нечетная . Известно, что:
а) если , четные функции, то – четная;
б) если нечетная, а четная, то – нечетная;
в) если и нечетная, то – четная.
Тогда, если – четная, то – нечетная, т.к. нечетная.
.
Таким образом, . Аналогично доказывается, что если нечетная, то . <
Из этого свойства следует, что тригонометрический ряд Фурье для четных функций имеет вид
,
где , ,
Для нечетных функций тригонометрический ряд Фурье соответственно имеет вид
,
где ,
Сделанные выводы сохраняются для тригонометрических рядов по системе общего вида. Для четной функции:
,
где , .
Для нечетной функции:
,
где .
3. Лемма Римана. Если кусочно-непрерывная функция на , то , .
ƒ Пусть , , …, точки разрыва функции . Для доказательства достаточно показать, что интегралы от функции и по каждому из отрезков , , …, стремятся к нулю при . Пусть один из таких отрезков, непрерывна на . Покажем, что .
Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена
для (24)
и по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, для такое, что для выполняется , тогда
для . (25)
Зададим и выберем на с шагом разбиение так, чтобы , и .
Произведем оценку интеграла:
.
Так как , то из (24) и (25) имеем
,
при .
Откуда следует, что при имеем
, т.е. . <
Тогда, очевидно, что для кусочно-непрерывной на функции
.
Последнее следует из формул (23).
Пример 25. Разложить в ряд Фурье двумя способами функцию, представленную на рис. 11.2 по косинусам и по синусам.
Решение.
а) Разложение в ряд по косинусам. Продолжим , как показано на рис. 11.3, получим четную функцию , определенную на и совпадающую с на .
Вычислим коэффициенты ряда Фурье, учитывая, что
.
.
Разложение будет иметь вид
.
б) Разложение в ряд по синусам. Продолжим , как показано на рис. 11.4, получим функцию , определенную на и совпадающую с на .
Вычислим коэффициенты ряда Фурье. Так как получившаяся функция нечетная, то
.
Получаем выражение для ряда Фурье заданной функции
.
11.7. Сходимость ряда Фурье
Рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье. Вначале заметим, что если ряд Фурье сходится на отрезке к функции , то в силу периодичности его членов он сходится на всей числовой прямой к периодической функции. Эта функция является периодическим продолжением с периодом функции . Поэтому будем считать, что на числовой прямой задана периодическая с периодом функция , интегрируемая на и для нее написан ряд Фурье с коэффициентами, определенными по формулам (23).
Теорема 15. (Дирихле) Пусть выполняются условия:
1) периодическая с периодом функция;
2) кусочно-непрерывная на ;
3) имеет в каждой точке правую и левую производные.
Тогда ряд Фурье функции сходится всюду, причем его сумма в точках непрерывности функции равна , а в точках разрыва равна .
ƒ Вначале получим интегральное представление для частичной суммы .
.
Воспользуемся формулой
(26)
и получим
.
Производя замену , получаем
.
Так как под интегралом стоит периодическая с периодом функция, то интеграл по любому отрезку имеет одно и тоже значение
.
Заменяя в первом интеграле , получаем
. (27)
Из (26) следует, что
.
Тогда в силу (27) имеем
. (27)
Функции и кусочно-непрерывны на , так как имеют разрывы первого ряда в тех же точках, что и функции и соответственно. При и можно считать непрерывными, так как в силу условий теоремы существуют пределы
– правая производная.
– левая производная.
Перейдем в (27) к пределу при . В силу Леммы Римана при оба интеграла равны 0. Следовательно, для выполняется
.
В частности, если – точка непрерывности функции , то и . <
Теперь рассмотрим достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Определение 7. Говорят, что функция имеет на отрезке кусочно-непрерывную производную, если существует и непрерывна на отрезке , за исключением может быть конечного числа точек, в каждой из которых функция имеет пределы слева и справа.
Теорема 16. Пусть непрерывная периодическая (с периодом ) функция, имеющая на отрезке кусочно-непрерывную производную. Тогда ряд Фурье функции сходится абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.
ƒ По условиям теоремы имеет кусочно-непрерывную производную, тогда она в каждой точке имеет левую и правую производные, и, таким образом, удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и поэтому ряд Фурье сходится всюду к . Докажем, что ряд сходится абсолютно и равномерно.
Пусть и коэффициенты Фурье функции . Тогда
.
Аналогично получаем, что .
Рассмотрим числовой ряд
.
Этот ряд сходится, так как , , а ряды ; , – сходятся. Сходимость первых двух рядов следует из неравенства Бесселя
.
Из сходимости ряда в силу признака Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье на всей числовой прямой. <
Замечание. Доказанная теорема естественно переносится на тригонометрические ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом.
11.8. Тригонометрические ряды в комплексной форме
Рассмотрим ряд Фурье
(28)
функции , заданной на отрезке . Введем комплекснозначную функцию действительного переменного :
, где .
Она обладает всеми свойствами показательной функции:
;
;
;
.
Из определения следуют формулы, которые называются формулами Эйлера
, .
Тогда
где , , , , т.е.
(29)
Теперь, если воспользоваться формулами для коэффициентов Фурье, будем иметь
,
,
,
Эти формулы можно объединить в одну:
, (30)
Ряд коэффициенты которого определяются по формулам (30) называется рядом Фурье в комплексной форме функции . Коэффициенты называются коэффициентами Фурье.
Если функция задана на отрезке , то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид , где ,
Пример 26. Построить ряд Фурье для функции , .
Решение. Определим коэффициенты ряда Фурье
,
, .
Получаем ряд Фурье:
при .
В точках сумма этого ряда равна 0.
11.9. Интеграл Фурье
Пусть функция задана на всей числовой прямой и абсолютна интегрируема на ней. Составим для интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу заменено интегрированием по параметру :
, (31)
где , . (32)
Интеграл (31) аналогичен ряду Фурье периодической функции, только суммирование заменено интегрированием. Подставим (32) в (31), получим
.
Определение 8. Интеграл
(33)
называется интегралом Фурье функции .
Подобно тому, как при некоторых условиях периодическая функция раскладывается в ряд Фурье, так и при некоторых условиях , определенная на всей числовой представляется своим интегралом Фурье.
Теорема 17. Пусть:
1) кусочно-непрерывная на любом числовой прямой;
2) имеют всюду правую и левую производные, т.е. и для ;
3) интеграл сходится.
Тогда при любом имеет место равенство
. (34)
(Без доказательства.)
Вспомним понятие главного значения несобственного интеграла на действительной оси. Если интегрируема в собственном или несобственном смысле на любом отрезке числовой прямой (т.е. локально интегрируема), тогда
v.p., (35)
где v.p. сокращение от value principle.
Отличие интеграла, стоящего справа, от интеграла слева в равенстве (35), состоит в том, что является пределом интегралов при произвольном стремлении , , а интеграл (35) предел тех же интегралов, но при и . Если существует несобственный интеграл, то существует и интеграл в смысле v.p., но не наоборот.
Например, не существует, а v.p. существует и равен нулю. Если – нечетная, то v.p. .
Пусть функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой, и имеет в односторонние производные, тогда по теореме 15
.
Отсюда, в силу четности косинуса, следует, что
.
Рассмотрим функцию
Она непрерывна и абсолютно интегрируема по признаку Вейерштрасса, так как , а – абсолютно интегрируема. В силу нечетности синуса также нечетная, поэтому
v.p. .
Тогда
.
Перепишем полученное равенство
.
Определение 9. Отображение F, ставящее в соответствие функции функцию (или ), определяемое формулой
называется преобразованием Фурье.
Отображение , ставящее в соответствие функции , функцию , определяемую формулой называется обратным преобразованием Фурье. Из формулы ясно, что .
11.10. Контрольные вопросы
1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?
2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.
3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.
4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.
5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?
6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.
7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?
8. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.
9. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .
10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?
11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.
12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.
13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций
14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?
15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.
16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.
11.11. Задачи для самостоятельного решения.
Найти область сходимости ряда
1. . 2.. 3. .
4. . 5.. 6. .
Найти сумму ряда:
7.. 6.. 7..
Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
8. , . 9. , . 10., , .
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.
11. . 12. . 13. . 14. .
Вычислить интеграл с точностью до 0.001.
15. . 16. . 17. . 18. .
Разложить следующие функции в ряд Фурье.
19. ,
20. , , .
21. , , .
22. Периодическая с функция
23. Периодическая с функция
24. .
25. .
26. Постройте график функции , разложите заданную функцию на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье
27. на отрезке . Разложить в ряд в ряд по синусам.
28. на отрезке . Разложить в ряд по
синусам.
29. на отрезке . Разложить в ряд по косинусам .
30. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд только по синусам
31. Разложите функцию , заданную на интервале графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.
|
Скачать 1.91 Mb.