Контрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды

• Название: Контрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды
• Дата: 04.02.2021
• Размер: 0.95 Mb.
• Имя файла: Tema10.doc
• Тип: Контрольная работа; #173902
• страница: 1 из 4

Контрольная работа № 10

Ряды

ТЕМА 10. Ряды.

1. 
   Числовые ряды.
   
2. 
   Функциональные ряды.
   
3. 
   Степенные ряды.
   
4. 
   Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
   
5. 
   Ряды Фурье.
   

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
   
2. 
   Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
   
3. 
   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
   
4. 
   Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
   
5. 
   Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
   
6. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
   
7. 
   Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
   

Решение типового варианта контрольной работы.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   

Решение.

1. 
   В данном случае
   

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

2. 
   Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.
   

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим



Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

3. 
   Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда
   

Вычислим



В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

4. 
   Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь
   

Вычислим



Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

5. 
   Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
   

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

6. 
   Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
   

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как



Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

7. 
   Так как , то
   

.

Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

8. 
   Оценим общий член ряда:
   

.

Ряд

Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:



Ряд сходится, если

или ;

или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай: т.е. или ,

Пусть : ‑ сходится.

Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что ‑ область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:



+...



Вычислим интеграл









.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :



Найдем , продифференцировав обе части равенства по :



Окончательно получим:

.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

1. 
   в интервале (-2, 2):
   
2. 
   по синусам на интервале .
   

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:



а) В нашем примере l=2.



где





Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем







.



Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.



Аналогично предыдущему





и окончательно получим:



Подставляя полученные значения в разложение , получим:



б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).



Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .



Найдем коэффициенты , используя формулу:







Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:



.

Таким образом, .
Контрольная работа №10.

Вариант 1.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Задание 2. Найти область сходимости ряда:



Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .