Контрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды
![]()
|
Контрольная работа № 10 Ряды ТЕМА 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям. Ряды Фурье. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с. Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. В данном случае ![]() Вычислим ![]() Следовательно, ряд расходится. Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция ![]() Для рассматриваемого ряда ![]() ![]() Вычислим ![]() Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится. Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ![]() ![]() Вычислим ![]() В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь ![]() Вычислим ![]() Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится. Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его ![]() Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится. Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n: ![]() Полученный ряд эквивалентен исходному, так как ![]() Таким образом, исходный ряд и ряд ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Ряд ![]() ![]() Оценим общий член ряда: ![]() Ряд ![]() Ряд ![]() ![]() ![]() Пример2. Найти область сходимости ряда ![]() Решение. Воспользуемся признаком Даламбера: ![]() Ряд сходится, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ряд расходится, если ![]() Неопределенный случай: ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() Ряд ![]() Пусть ![]() ![]() Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при ![]() Получили, что ![]() Пример 3. Вычислить с точностью ![]() ![]() Решение. Запишем разложение функции ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности ![]() Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши ![]() Решение. Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательно получим: ![]() Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье ![]() ![]() ![]() Решение. Разложение периодической (период ![]() ![]() а) В нашем примере l=2. ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности. ![]() Используя формулу интегрирования по частям, получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности. ![]() Аналогично предыдущему ![]() ![]() и окончательно получим: ![]() Подставляя полученные значения ![]() ![]() ![]() б) Продолжим функцию на отрезок ![]() ![]() Рис. 1 Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. ![]() ![]() Найдем коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям: ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() Контрольная работа №10. Вариант 1. Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость: ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 2. Найти область сходимости ряда: ![]() Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно: ![]() Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию: ![]() Задание 5. Разложить функцию ![]() ![]() |