Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции

• Название: Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции
• Анкор: Matematika_1_kurs_1_semestr.docx
• Дата: 26.12.2017
• Размер: 83.03 Kb.
• Имя файла: Matematika_1_kurs_1_semestr.docx
• Тип: Документы; #13014

1. 
   Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции.
   

Функция – это соответствие между двумя множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х найдется единственный элемент множества У.

Способы задания функции:

1. 
   Табличный (значения функции задаются в виде табличных значений).
   
2. 
   Графический (значения функции задаются в виде графиков).
   
3. 
   Аналитический (с помощью формулы).
   
4. 
   Описательный способ (свойства функции задаются словесно).
   

Область определения функции – это множество значений переменной Х, при которых функция принимает действительные значения (обозначается D(f)).

Область изменения функции – это множество значений, которые принимает сама функция (обозначается E(f)).

2. 
   Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы функции.
   

Предел функции в заданной точке - это такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

lim f(x) = a
1 Теорема:

Предел суммы есть сумма пределов.

lim (f(x) + u(x)) = lim f(x) + lim u(x)
2 Теорема:

Предел произведения есть произведение пределов.

lim f(x)*u(x) = lim f(x) * lim u(x)
3 Теорема:

Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

4 Теорема:

Предел функции равен функции в предельной точке аргумента.

lim f(x) = f (limx)
Односторонние пределы функции:

Это предел числовой функции , подразумевающий "приближения" к предельной точке с одной стороны. Чтобы функция имела предел необходимо существование односторонних пределов, они должны быть равны и конечны.

3. 
   Непрерывность функции в точке. Классификация разрывов функции.
   

1. 
   Функция непрерывна, если предел функции и ее значение в этой точке равны.
   

lim f(x) = f (x₀) при х->x₀

2. 
   Функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   

lim (дельта)y = 0

(дельта)y = y*(x₀+(дельта)x) – y(x₀) – приращение функции

(дельта)х – приращение аргумента

3. 
   Функция непрерывна в точке, если существуют конечные односторонние пределы функции и они равны между собой, и равны значению функции в этой точке.
   

f (x₀-0) = f (x₀+0) = f (x₀) < бесконечность - условия непрерывности функции в точке
Классификация разрывов функции:

Точка разрыва функции – это точка Х₀, в которой нарушаются условия непрерывности функции (3).

1. 
   I род, неустранимый.
   

Точка Х₀ называется точкой неустранимого разрыва I рода, если существуют односторонние пределы функции, они конечны, но не равным между собой.

f (x₀-0) НЕ равно f (x₀+0) < бесконечность

б = | f (x₀-0) – f (x₀+0) | - скачок

2. 
   II род, устранимый.
   

Точка Х₀ называется точкой устранимого разрыва I рода, если существуют конечные, односторонние пределы функции, они равны между собой, но не равны значения функции в этой точке.

f (x₀-0) = f (x₀+0) НЕ равно f (x₀)
Замечание: устранимый разрыв 1 рода можно искусственно устранить. Для этого надо значение функции f(X₀) прировнять к значению.

f (x₀) = f (x₀+0)

3. 
   II род.
   

Точка X₀ называется точкой разрыва II рода, если хотя бы 1 из односторонних пределов функции или оба не существуют или равны бесконечности.

f (x₀-0) = бесконечность

f (x₀+0) = бесконечность
f (x₀+0) = бесконечность

4. 
   Элементарные правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
   

Правила:

1. 
   Использование замечательных пределов;
   
2. 
   Применение правила Лопиталя;
   
3. 
   Производные и дифференциалы высших порядков.
   

5. 
   Первый замечательный предел.
   

lim = (0\0) = 1 x->0
lim = (0\0) = 1 x->0

6. 
   Второй замечательный предел.
   

lim (1+X)^ = (1^∞) = e x->0
lim (1+ )^x = (1^∞) = e x->∞

7. 
   Производная функции. Задача Ньютона.
   

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом.

y^| = = lim = lim ⧍x->0
Задача Ньютона:

Найти скорость неравномерного прямолинейного движения точки в каждый момент времени t.

Решение:

1. 
   t+⧍t => S(t) + ⧍S = S (t+⧍t)
   
2. 
   ⧍S = S (t+⧍t) – S(t) - приращение функции
   
3. 
   Найдем среднюю скорость движения точки, считая, что за небольшой промежуток времени точно двигалась равномерно
   

V_ср=

4. 
   Найдем мгновенную скорость движения точки.
   

V_мгн = lim = lim = S^| (t) = = S (t) ⧍t->0

8. 
   Механический, геометрический смысл производной функции.
   

Механический смысл:

1. 
   Скорость неравномерного прямолинейного движения точки равна производной пути по времени.
   

v(t) = = S^| (t)

2. 
   Ускорение неравномерного движения точки равно:
   

a = = S^|| (t)

3. 
   Сила переменного тока равна производной количества по времени.
   

I (t) = = Q^| (t)

Геометрический смысл производной:
y^| = = lim = lim ⧍x->0

9. 
   Уравнения касательной и нормали.
   

Уравнение нормали:

y-y₀ = (1\y^| (x₀)) *(x-x₀)
Уравнение касательной:

y-y₀ = y^|(x₀)(x-x₀)

10. 
    Правила и формулы дифференцирования.
    

1. 
   Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной.
   
2. 
   Производная суммы равна сумме производных.
   
3. 
   Производная произведения функций.
   
4. 
   Производная частного функций.
   

11. 
    Производная сложной функции.
    

(u(v))^| = u^|(v)*v^|

Сначала находим производную внешней функции u^|(v)

12. 
    Производная неявно заданной функции.
    

F (x;y) = 0

y_x^| - ?

1. 
   Продифференцируем каждое слагаемое уравнения, считая, что производная
   

x^|=1; y^|=y^|

2. 
   Из полученного выражения найдем y^|.
   

x² - y³ = Sin (x-y)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y)(1-y^|)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y) – Cos (x-y)*y^|

Cos (x-y)*y^| - 3y²*y^| = Cos (x-y) – 2x

y^|*(Cos (x-y) – 3y²) = Cos (x-y) – 2x

y^| =

13. 
    Первая, вторая производные параметрически заданной функции.
    

y_x^’ = y_t’ \ x_t’
y_xx” = (y_x’)_t’ \ x_t’

14. 
    Дифференциал функции и его вычисление.
    

Дифференциал – это главная часть приращения функции. Линейная относительно ⧍Х и обозначается dy.

dy = y'(x)*⧍x = y’(x)*dx - рабочая формула для вычисления дифференциала функции

dx = x'(x)*⧍x = ⧍x
Для того, чтобы найти дифференциал функции, надо производную функции умножить на дифференциал независимой переменной.

15. 
    Правило Лопиталя.
    

Если существует отношение 2-ух бесконечно малых или 2-ух бесконечно больших функций, то существует и предел их отношения, и он равен пределу отношений их производных, равен пределу отношения их вторых производных и т.д. (0\0; ∞\∞).
lim = lim = lim

16. 
    Производные и дифференциалы высших порядков.
    

Производные:

y” = (y’)’

y’’’ = (y”)’
y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))’
Дифференциалы:

dy = y’(x) dx
dⁿy = y⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ

17. 
    Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.
    

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Экстремумы функции:

Экстремум – это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

18. 
    Изогнутость графика функции. Точки перегиба.
    

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Точка перегиба - это точка графика функции, в которой меняется направление выпуклости графика (выпуклый - вогнутый), а вторая производная меняет свой знак.
Обычно находится следующим образом:

1) находим вторую производную

2) приравниваем ее к нулю и решаем уравнение. Полученные корни называются КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ ВТОРОГО РОДА

3) на оси Ох отмечаем эти точки и определяем знаки второй производной на каждом из полученных интервалов

4) как только при переходе через критическую точку вторая производная поменяла знак-вот Вам и точка перегиба...

19. 
    Асимптоты кривой.
    

Асимптота – это так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
А) Вертикальная.

х=а, где точка х=а является точкой разрыва 2-ого рода, т.е. lim f(x) = ∞; x->a+0
Б) Наклонная.

y=kx+b

k=lim x->∞

b=lim (y-kx) x->∞
В) Горизонтальная.

y=b

b=lim f(x) x->∞

20. 
    Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
    

Если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение.
Если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение.

1. 
   Найти производную.
   
2. 
   Приравнять к нулю.
   
3. 
   Исследовать знаки производной.
   

21. 
    Первообразная и неопределенный интеграл и его свойства.
    

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x)
Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных для данной функции.

∫f(x) dx = F(x) + C
Свойства неопределенного интеграла:

1. 
   Производная от неопределенного интеграла равна подинтервальной функции.
   

( ∫f(x) dx )’ = f(x)

2. 
   Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтервальному выражению.
   

d ( ∫f(x) dx ) = f(x) dx

dy = y’(x) dx

3. 
   Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции + произвольная постоянная.
   

∫ d (F(x)) = F(x) + C

4. 
   Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов, от каждого слогаемого отдельно.
   

∫ (f(x) + u(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫u(x) dx

5. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
   

∫ C*f(x) dx = C ∫ f(x) dx

6. 
   Свойство инвариантности интегральных формул.
   

∫ f(x) dx = ∫ f(u) du

22. 
    Простейшие приемы интегрирования.
    

1. 
   Табличное интегрирование.
   
2. 
   Способ разложения.
   
3. 
   Метод подведения под знак дифференциала.
   

Тождественное преобразование подинтегрального выражения и приведения его к табличному виду.

23. 
    Метод интегрирования по частям.
    

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций, то справедливы формулы:

∫ u dv = uv - ∫ v du

24. 
    Метод замены переменной.
    

Заключается во введении новой переменной интегрирования.

∫ f(x) dx = ∫ f(u(t)) * u’(t) dt

25. 
    Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.
    

Найти: Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями.

1. 
   Отрезок A-B произвольным образом разобьем на N частей.
   

⧍X_i = X_i – X_i-1

2. 
   Возьмем произвольную.
   
3. 
   Заменим каждую криволинейную трапецию прямоугольником и вычислим его площадь.
   

S_произв = f (S_i)*⧍X_i

4. 
   Найдем точно площадь криволинейной трапеции.
   

S = lim

26. 
    Определенный интеграл и его геометрический смысл, свойства.
    

Определенный интеграл – это число, равное пределу N-ой интегральной суммы, когда наибольший из частичных отрезков разбиения стремится к нулю при N->∞.
Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.
Свойства:

1. 
   _a∫^b f(x) dx = - _b∫^a f(x) dx
   
2. 
   _a∫^a f(x) dx = 0
   
3. 
   _a∫^b dx = b-a
   
4. 
   Аддитивность: _a∫^b f(x) dx = _a∫^c f(x) dx + _c∫^b f(x) dx;
   

Справедливо для любого конечного числа разбиения числа A-B.

27. 
    Формула Ньютона-Лейбница. Правила вычисления определенного интеграла.
    

_a∫^b f(x) dx = F(b) – F(a)
Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

28. 
    Метод замены переменной в определенном интеграле.
    

_a∫^b f(x) dx = _t1∫^t2 f(u(t)) * u’(t) dt

29. 
    Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
    

_a∫^b u dv = uv_a|^b - _a∫^b v du

30. 
    Свойства определенного интеграла для четной и нечетной функции на симметричном промежутке.
    

А) Четная.



_-a∫^a f(x) dx = 2 ₀∫^a f(x) dx
Б) Нечетная.



_-a∫^a f(x) fx = 0

31. 
    Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
    

1. 
   S_ф = _a∫^b f(x) dx
   
2. 
   S = _a∫^b (y₂(x) – y₁(x)) dx
   
3. 
   S = _c∫^d (x₂(y) – x₁(y)) dy
   

32. 
    Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения, его порядок.
    

Найти кривую, проходящую через начало координат tg угла наклона касательной и который равен удвоенной абсциссе

Решение:

Tgα = y’ = 2x

y’ = 2x

1. 
   Перед нами диф. уравнение 1ого порядка.
   

y(0) = 0 - начальное условия
y’ = = 2x

dy = 2x dx

∫ dy = ∫ 2x dx

y = 2 + C

y = x² + C - общее решение

2. 
   Применим начальное условие к общему решению:
   

0 = 0² + C => C = 0

y = x² - частное решение
Диф. Уравнение – уравнение вида F (x, y, y'….y⁽ⁿ⁾), где F зависит от независимой переменной, функции этой переменной, ее производных и дифференциалов различных порядков.
Порядок диф. Уравнения – это наивысший порядок производной, входящий в данное уравнение.

33. 
    Частное и общее решение. Частный и общий интеграл. Задачи Коши.
    

1. 
   Общее решение – функция, зависящая от независимой переменной и постоянной Y, удовлетворяющая 2ум условиям:
   

1. 
   Для любого значения C=C₀, Y = U (x, C₀).
   
2. 
   C=C₀, Y = U (x₁, C₀), что данная функция удовлетворяет начальному условию y(x₀) = y₀.
   

2. 
   Всякое общее решение, найденное при значении С равное С₀, называется частным решением диф. Уравнения.
   

Y = u(x, C₀) - частное решение

3. 
   Общим интегралом диф. Уравнения называется общее решение этого уравнения, записанное в неявном виде.
   

Ф (x, y, c) = 0 - общий интеграл

4. 
   Частным интегралом диф. Уравнения называется частное решение диф. Уравнения, записанное в неявном виде.
   

Ф (х, у, с) = 0 – частный интеграл

Задача Коши:

Нахождение частного решения диф. Уравнения F (x, y, c) = 0 удовлетворяющего начальному условию.

y (x₀) = y₀

34. 
    Дифференциальное уравнение с разделенными переменными и его решение.
    

Диф. Уравнение с разделенными переменными – уравнение вида:

f (x) dx + u (y) dy = 0

∫ f(x) dx + ∫ u (y) dy = C

F(x) + Ф(y) = C - общий интеграл

35. 
    Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение.
    

Диф. Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:

f₁(x) * u₁(y) dx + f₂(x) * u₂(y) dy = 0

Решение:

Разделим переменные.

+ = 0
+ = 0

36. 
    Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
    

Линейные диф. Уравнения 2ого порядка с постоянными коэф. – это уравнение вида:

a₀*y” + a₁*y’ + a₂*y = f(x)
f(x) 0 – неоднородное

f(x) = 0 – однородное

a₀*k² + a₁*k + a₂ = 0 - характерное уравнение
Структура общего решения уравнения имеет вид:

y = C₁*y₁ + C₂*y₂

37. 
    Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания, свойство сочетаний.
    

Комбинаторика – это математическая наука, изучающая вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условием, можно составить.

1. 
   Размещение.
   

Размещениями из N по M элементов называют такие соединения, в каждом из которых по M элементов и различаются такие соединения друг от друга только самими элементами и их порядками.

A_n^m = n (n-m+1)

=

2. 
   Перестановка.
   

Перестановками из N элементов называются такие соединения, в каждом из которых по N элементов U отличаются такие соединения только порядком самих элементов.

P_n = = = = n!

P_n = n!

3. 
   Сочетание.
   

Сочетаниями из N элементов по M называются такие соединения, в каждом из которых по M элементов и отличаются такие соединения только самими элементами.

=
Свойство сочетания:

=

38. 
    Виды событий. Примеры.
    

Виды событий:

1. 
   Достоверное. Всегда произойдет при данном испытании.
   

Выстрел.

2. 
   Невозможное. Никогда не произойдет при данном испытании.
   

Осечка.

3. 
   Случайное. Может произойти, а может не произойти.
   

Попадание и промах.

4. 
   Совместные. Если появление одного события не исключает появление другого события.
   

Попадание при 1 выстреле, не исключает промах при 2 выстреле.

5. 
   Не совместные. Если появление одного из них исключает появление другого.
   

Попадание при 1 выстреле исключает промах при 1 выстреле.

6. 
   Полная группа. Появится хотя бы одно из событий.
   

Кубик кидают, 1 из 6.

7. 
   Противоположные. Если они не совместимы и образуют полную группу.
   

Попадание и промах.

8. 
   Равновозможные. Имеют равные возможности их появления.
   

Как и в полной группе.

9. 
   Благоприятствующие. Исходы, при которых случайное событие произойдет.
   

39. 
    Классическое определение вероятностей. Свойства вероятности.
    

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятствующих исходов данного испытания к общему числу всех равновозможных несовместных исходов испытания образующих полную группу.

P(A) =

Свойства:

1. 
   P(U) = 1
   
2. 
   P(V) = 0
   
3. 
   0
   

40. 
    Статистическое определение вероятностей.
    

Статистическая вероятность случайного события А – это постоянное число, около которого группируются относительные частоты этого события, по мере увеличения числа испытаний.

41. 
    Геометрическое определение вероятностей.
    

Пусть на плоскости имеется некоторая область D с известной площадью S_D. В этой области есть область d с площадью S_d.

В область D наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадет в область d.
P(A) =