Лекция 11. ГИДРО- И АЭРОДИНАМИКА.. Гидро и аэродинамика

• Название: Гидро и аэродинамика
• Дата: 14.01.2023
• Размер: 1.18 Mb.
• Имя файла: Лекция 11. ГИДРО- И АЭРОДИНАМИКА..doc
• Тип: Лекция; #886571

- -

Лекция 11. ГИДРО- И АЭРОДИНАМИКА.


Гидро- и аэродинамика - раздел физики, занимающийся изучением законов движущихся жидкостей и газов. Законы движения жидкостей справедливы и для газов, если скорости потока газа оказывается меньше скорости звука, поскольку в этом случае газы можно считать несжимаемыми. Движение жидкостей происходит под действием сил тяжести, разности давлений, внешней силы и т.д. Скорость каждой частицы в потоке жидкости или газа в каждый момент времени имеет определённое направление и величину. Пространство, заполненное движущимися частицами, называется потоком. Для наглядного представления потока жидкости используются линии тока, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением , т.е. определяют направление движения жидкости и совпадают с траекторией частиц. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (аналог трубы). В этом случае касательны к поверхности трубки, а частицы не пересекают её стенок.

Идеальной жидкостью (идеальный поток) называется такая жидкость, при рассмотрении движения которой можно пренебречь существованием внутреннего трения между слоями (частицами) и образованием вихрей при ее течении (движение каждой частицы осуществляется вдоль направления течения - это ламинарное течение).

1. 
   Теорема о неразрывности струи. Уравнение Бернулли.
   

Дано: идеальная жидкость движется стационарно вдоль трубки тока.

Найти: поток вектора скорости Ф_.

Выберем два произвольных сечения S₁ и S₂ перпендикулярных трубке тока, т.е. перпендикулярных . Пусть   = Const, тогда за tчерез S₁ пройдут все частицы жидкости из объёма V₁ = S₁t, а через S₂ соответственно V₂= S₂t. Если трубка тока тонкая ( = Сonst), жидкость идеальная ( = Const) и t = Const, то ₁ = ₂ и S₁₁ = S₂₂ , т.е. объёмы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S₁ и S₂ равны Const или

S = Const.
Анализ:
1). Для несжимаемой (идеальной) жидкости при её стационарном сечении величина Sв любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова.

2). S₁₁ = S₂₂ - уравнение потока (уравнение непрерывности струи), т.е. Ф_ = Const.

3). При уменьшении S скорость () частицы должна возрастать, т.е. они должны двигаться с ускорением, которое создаётся разностью давлений вдоль оси трубки тока.

Давление в потоке движущейся жидкости состоит из статического (p_ст) и динамического (p_дин). Первое обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением. Второе (давление напора) обусловлено кинетической энергией движущейся жидкости.



При увеличении скорости потока p_дин - возрастает, а p_ст - уменьшается. В покоящейся жидкости p_дин = 0, а p₀ = p_ст , причём p_ст= p₁ + p₂ , где p₁ = , p₂ = gh.
Закон Бернулли. В стационарном потоке сумма статического и динамического давлений остаётся постоянной. Эта сумма соответствует гидростатическому давлению в покоящейся жидкости.

Если жидкость течёт в наклонной трубе, то следует учитывать изменение энергии, связанное с ее наклоном.


Дано: стандартно текущая идеальная жидкость по трубе переменного сечения и имеющей наклон. Движение жидкости осуществляется за счёт разности внешнего давления p₁ > p₂ .

Найти: уравнение движения жидкости.

В сечении S₁ имеем: p_1ст и ₁, h₁ , где h₁ - высота этого сечения относительно произвольно выбранного уров-ня.

В сечении S₂: p_2ст и ₂, h₂. Кроме того, известна  - (плотность) жидкости. Работа (A), расходуемая на изменение   и h - жидкости, должна быть равна A= dW= dW_кин + dW_p . Здесь dW_кин,, dW_p - изменение, соответственно, кинетической и потенциальных энергий.


A=

A = dW = FdS

W_k=

W_k=

W_p= mgh

 W_p= mg (h₂ - h₁)



 = Const
Для элемента dV: dW= FdS= pdV.

Так как жидкость идеальная, то V = Const,

(p₁ - p₂)V= mg(h₂ - h₁) +

получим p₁ - p₂= gh₂ - gh₁ + .

Переносим, разделяя переменные, и получаем уравнение Бернулли

p₁ +g h₁ + или

p +g h + = Const = p₀ .
Анализ:

1). Сумма p_ст (гидростатическое давление), обусловленного весом столба жидкости p_ст = gh, и p_дин , обусловленногокинетической энергии жидкости, p_дин = , остаётся постоянной p₀ = Const вдоль всей линии тока.

2). Формула верна лишь для идеальных жидкостей, в которых отсутствует трение.

3). Если h = Const, т.е. жидкость течёт по прямой трубе, то

p₁ +

или p + = p₀ = Const.



4). Жидкость вытекает из отверстия в широком сосуде со скоростью . Выделим в жидкости трубку тока с сечениями S₁ и S_2. Используем уравнение Бернулли:

p₁+gh₁+ ,


p₁ = p₂ = p_атм

  в сечении

S₁ = 0

h = h₁ - h₂
в которое подставим наши условия.

Получим gh₁ = + gh₂ или = gh.

Отсюда  = .
Из полученного следует:

а). Скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h открытой поверхности, совпадает по величине со скоростью свободного падения тела с высоты h.

б). Скорость истечения реальных жидкостей зависит от формы отверстия. Коэффициент, который её учитывает, называется коэффициентом истечения ( ), причём  < 1.

_t - ₀ = at

_t² - ₀ ² = 2aS

 ² = 2gh





V = S - вы-

текающий объём

= m

m= V
5). Если жидкость вытекает из отверстия в широком сосуде способном двигаться, то за время t изменение импульса

 = S   t .

Сам сосуд получает от жидкости  , т.е.

.

Это сила реакции вытекающей струи. Знак () указывает направление движения сосуда. Для с учётом подстановки ,

где ² = 2gh
Из полученного следует:

а). Логично предположить, что должна быть равна силе гидростатического давления F₂ = ghS (см. лекция 10, раздел 10.5), но реальная сила в 2 - раза больше. Это связано с тем, что при вытекании жидкости в сосуде происходит перераспределение давления.

б). На реакции вытекающей струи газа с двигающимся сосудом основано действие реактивного двигателя.
11.2. Ламинарное течение жидкостей.


Течение жидкостей при наличии в них внутреннего трения, но не сопровождающееся образованием вихрей, называется ламинарным. Внутреннее трение возникает в жидкости вследствие взаимодействия её молекул. В отличие от внешнего трения, возникающего в месте соприкосновения двух тел, внутреннее трение имеет место внутри движущейся среды между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. Внутреннее трение проявляется при движении в жидкости пластинки параллельно плоской стенке. Для такого перемещения необходимо приложить силу, равную по величине F_трения, причём экспериментально получено, что , где - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения), S - площадь соприкосновения, d - расстояние между граничными плоскостями I и II. Полученное выражение справедливо и для промежуточных слоёв, находящихся друг от друга на расстоянии d< d, если в полученное выражение подставить значение относительной скорости, т.е.  .

Тогда .

Здесь d= z и dz, - величина градиент скорости.
Анализ:
1). Динамическая вязкость зависит от температуры , где A и b- эмпирические постоянные, т.е. с повышением температуры вязкость жидкости уменьшается. У газов с повышением температуры вязкость увеличивается.
2). [  ] = [ Па  с ] или ранее [ П - пуаз.] 1П = 0,1 Па  с = 0,1 нс/м².
3). Кроме понятия динамическая вязкость применяются понятия: кинематическая вязкость и текучесть.

Текучесть ( ) - это величина обратная динамической вязкости, т.е.  = 1 /  , причём [ ] = [1/ Па с ].

Кинематической вязкостью () называется отношение динамической вязкости () к плотности среды ( ) или . Для кинематической вязкости [] = [ м² / c ] или ранее [ Ст-стокс]. 1 Cт = 10 ^{- 4} м²/c.
4). Значение  для отдельных жидкостей и газов:

Жидкость (при200С)	 , м Па с	Газы (при200Си101кПа)	 , м Па с
Ацетон	0,322	Азот	0,0175
Вода	1,002	Воздух	0,0182
Глицерин	1480	Кислород	0,0202
Cмола	3 . 1010	Метан	0,0108

При ламинарном течении жидкости по трубе отдельные её слои имеют разные скорости.



Дано: ламинарное течение жидкости по трубе.

Найти: закон изменения скорости по сечению трубы, (r).

Выделим в жидкости объём V, радиуса (r) и длиной (l). В направлении перемещения жидкости ( ) действует

= p₁S= p₁r², а в обратном направлении .

Следовательно F₁ - F₂ = (p₁ -p₂)r². На боковую поверхность (S_бок) объёма действует , где S_бок = 2rl . Знак минус указывает направление относительно . Тогда в установившемся режиме течения жидкости:

(p₁ - p₂)r² = .

Разделим переменные и проинтегрируем

+ Const. При r Rэкспериментально найдено, что  = 0, т.е. у стенки трубы  =0. Тогда Const = . Окончательно получим

.

Анализ:
а). Скорость по сечению трубы изменяется по параболическому закону, т.е.


б). _(ось) - это скорость жидкости на оси трубы, которая равна

_(ось) = .




V = S l

l = t

 (r) = _(ось)
Разобьём сечение трубы на кольца шириной dr, причём площадь кольца

dS= 2r_idr_i. Через эту площадь пройдёт объём жидкости

dV = 2r_idr_i(r)t.
После подстановки

dV= _(ось) 2r_it dr_i и интегрирования


_(ось) =
_(ось) 2r_itdr_i= _(ось) t  _(ось) t =
 _(ось) t2 _(ось) t _(ось) R²t.

Подставив _(ось) получим

V= .
Анализ:

а). Объём жидкости, протекающий по трубе, пропорционален перепаду давлений на единицу длины , радиусу трубы в 4-ой степени, времени, и обратно пропорционален вязкости ( ) жидкости.

б). Полученное выражение есть формула Пуазейля.

в). Эффективнее увеличить объём через радиус трубы, а не за счёт разности давлений (это используется в газопроводах).

г). Падение давления вдоль трубы с постоянным сечением пропорционально длине трубы, т.е. p l .
11.3. Турбулентное течение жидкости или газа.




Течение жидкости при котором в каждой точке пространства направление скорости ( ) беспорядочно изменяется, называется турбулентным. При таком движении в жидкости возникают вихри, а следовательно, и силы, препятствующие течению. Сопротивление потоку, т.е. сила, действующая на помещённое в поток тело, складывается из разности p₁ - p₂ , где p₁- давление перед, а p₂ - давление после тела, а также силы трения (F_тр) на поверхности тела. Для тела произвольной формы сила гидравлического сопротивления (F):

,

где с - коэффициент, зависящий от формы тела, S_ - площадь наибольшего сечения тела в плоскости, перпендикулярной направлению потока,  - плотность жидкости (газа), - относительная скорость движения тела в среде.
Анализ:

1). Коэффициент с - безразмерное число. Определяется экспериментально и зависит от скорости.





c= 1,11 c = 0,1 - 0,4

тонкая пластина шар
2). F зависит от ², причём неважно что движется поток или само тело.

3). Коэффициент (с) зависит и от свойств среды, т.е. является функцией числа Рейнольдса (Re): . Здесь l - характерные размеры тела (радиус шара, диаметр трубы и т.д.)  - плотность и динамическая вязкость среды,  - скорость тела относительно среды,  - кинематическая вязкость.

Для малых Re ( - мало) течение жидкости - ламинарное. При возрастании   и достижения  =  _крит, то ламинарное движение переходит в турбулентное и гидравлическое сопротивление резко возрастает.Re_крит = 1000 для потока в гладких трубах, однако это значение сильно зависит от состояния ее поверхности и условий течения жидкости (газа) и может достигать 2 10⁴ .

Число Рейнольдса не изменяется при одновременном уменьшении размеров тела и , соответственно, увеличении  потока или уменьшении .

Закон подобия: коэффициенты (с)геометрически подобных тел равны, если равны соответствующие числа Рейнольдса. В этом случае оба потока подобны.
11.4. Движение тел в жидкостях и газах.
Закон подобия позволяет проводить исследования сложных процессов, используя модели обтекаемых тел.



При движении тела в жидкости на него действуют силы, равнодействующую которых _рав можно разложить на две составляющих: ₁ - сила лобового сопротивления, ₂ - подъёмная сила.

Если тело обтекаемой формы (симметричное относительно направления движения жидкости), то  ₂= 0 и _рез совпадает с ₁.



В идеальной жидкости при  = Const,  ₁ = 0 , т.е. лобового сопротивления нет. Так как вязкости нет, такая жидкость скользит по поверхности тела, обтекая его. Линии тока в данном случае симметричны относительно осей X и Y. Поэтому p_A= p_B и больше, чем в невозмущенном потоке, так как   в этих точках меньше. Давление p_C= p_D и меньше, чем в невозмущённом потоке, т.к.   вблизи этих точек больше. Следовательно  _рез = 0.



При движении тела в жидкости с вязкостью тонкий её слой "прилипает" к поверхности тела и движется с ним как единое целое. Кроме того, такой слой из-за трения увлекает за собой и другие соседние слои. Таким образом, тело оказывается окружённым слоем жидкости, конечной длины (вдали от тела его влияние не проявляется), в котором существует . Этот слой называется пограничным.
Такое поведение вязкой жидкости приводит к:
а. Изменению характера движения жидкости. Полного обтекания нет.
б. Позади тела из-за отрыва потока от тела возникают вихри, которые уносятся потоком и затухают. Энергия вихрей расходуется на нагрев жидкости. Затухания вихрей происходит из-за трения в жидкости.
в. Давление p_B < p_A, поэтому возникает  _рез   0, обуславливая ₁ - лобовое сопротивление.
г. F_рез - состоит из F₁ и F₂ .
д. Соотношение между F₁ и F₂ определяется числом Рейнольдса (Re).

При малых Re, т.е. при   - мало, сопротивление среды обусловлено только действием силы трения. Сила сопротивления движению тела (шара) в такой среде

F_сопр = F_тр = 6r,

где  - коэффициент динамической вязкости, r - радиус шара, - скорость шара относительно жидкости.




 _A=  r³_жg

 = mg=  r³_шg

 _тр= 6 r
На движущийся в жидкости шар действуют 3 силы: _A - архимедова сила, - сила тяжести (вес) и _тр - сила трения.

При равномерном движении

;  = Const = ₀ . и

 r³_ш g = r³_ж g + 6r₀ .

Отсюда ₀ = .
Анализ:

1). _тр = 6r- называется силой Стокса.

2). Формула для ₀ справедлива для малых по диаметру шаров.

3). На законе Стокса основано определение вязкости жидкости вискозиметром Гёпплера.