Голдбах жорамалы былай дейді. Голдбах жорамалы былай дейді рбір 2 ден лкен жп сан екі жай санны осындысына жіктеледі
 Скачать 160.48 Kb.
|
|
Голдбах жорамалы былай дейді: әрбір 2 ден үлкен жұп сан екі жай санның қосындысына жіктеледі.  Goldbch partitions Гольдбах мәселесі – алтыдан үлкен (артық) немесе оған тең кез ө келген бүтін санның – үш жай санның қосындысына тең болуы немесе тең болмауы жайындағы мәселе. Бұлл мәселені 1742 жылы неміс математигі Христиан Гольдбах (1690 – 1764) жариялаған. Жай сандардың өзара көбейту арқылы кез келген санды жазуға болады ал, жай санддарды өзара қосса, бұл жағдайда да қосылғыштар санын қалауыңызға арттыра отырып кез – келген бүтін сан жазуға болады: жұп сандар екі санын қайталап қосу арқылы ал, тақ сандарды ылғи үш сандарын және бірнеше екі санын қайталап қосу арқылы жазуға болады. Христиан Гольдбах тақ сандардың жұбын қосындылаған. Сонда ол мына жайтты байқаған: Әр ретте жұп санды екі тақ санның қосындысы түрінде жазуға болады. Екі таңбалы сандарға арналған әлгі жіктеудің бірқатары мыналар: 4 = 2 + 2,6 = 3 + 3,8 = 3 + 5,10 = 3 + 7 = 5 + 5,12 = 5 + 7,14 = 3 + 11 = 7 + 7,16 = 3 + 13 = 5 + 11,18 = 5 + 13 = 7 + 11,20 = 3 + 17 = 7 + 13; Осы тұжырым дұрыс екені анық, бірақ, әлі толық дәлелі жоқ. Гольдбах мәселесі - алтыдан үлкен (артық) немесе оған тең кез келген бүтін санның – үш жай санның қосынды тең болуы немесе тең болмауы жайындағы мәселе. Бұл мәселені 1742 жылы неміс математигі Христиан Гольдбах (1690 – 1764) жариялаған. Жай сандарды өзара көбейту арқылы кез келген санды жазуға болады. Ал, жай сандарды өзара қосса не болады? Әрине, мұнда да қосылғыштардың санын қалауымызға арттыра отырып кез келген бүтін сан жазуға болады: жұп сандар 2 санын қайталап қосу арқылы, ал, тақ сандарды ылғи 3 сандарын және бірнеше 2 санын қайталап қосу арқылы жазуға да болады екен. Екі таңбалы сандарға арналған әлгі жіктеудің бірқатары мыналар (Гольдбах заманында 1 саны жай сан деп есептеген): 4=1+3,6=1+5,8=1+7,10=3+7,12=5+7,14=3+11,  16=3+13,18=5+13,20=3+17,22=11+11,24=11+13, 96=89+7,98=97+1, 86=43+43,88=87+1,90=87+3,92=87+5,94=87+7; 1742-ші жылдан бері қарай қаншама математик осы есепті шешіуге тырысқанымен әлі де болса , кереметтей дәлелін таппай келеді. Гольдбах мәселесін зерттеу кезінде, ең алдымен, 270 жылдан бері көптеген адамдарға тыныштық бермейтін гипотезаны бастаған екі көрнекті математик туралы айту керек. Біріншіден, бұл мәлімдеме аты аталған адам туралы айту керек, бұл Кристиан Гольдбах. Гольдбах (1690-1764) көп саяхаттады, негізінен математиктермен танысты және олардың кейбірімен тиімді хат алмасуды қолдады. Берлинде біраз уақыт тұрғаннан кейін, ол 1725 жылы Санкт-Петербургке көшіп келіп, ғылым академиясына мүше, ал көп ұзамай ғылым академиясынның хатшысы болып сайланды. 1742 жылы Сыртқы істер министрлігіне қызметке жіберілді. Мәскеуде қайтыс болды. Оның жоғары математика саласындағы жұмысы толығымен 1729 жылдан 1764 жылға дейін жүргізілген Л.Эйлермен хат алмасулардан белгілі. Осы жалпы хат-хабарлардан Фусс (Эйлердің ұлы) 177 мәтіні "XVIII ғасырдың кейбір белгілі геометрлерінің математикалық және физикалық сәйкестігі" ("Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII siècle") I томында басылады. Екіншіден, Гольдбах проблемасын тұжырымдау мен зерттеуде осы ғылымдардың дамуына іргелі үлес қосқан швейцариялық, неміс және орыс математигі және механигі Леонард Эйлер рөл атқарды. Эйлер 850-ден астам жұмыстың авторы. Эйлер 3000-нан астам хаттары бар белсенді ғылыми хат алмасуды жүргізді. Бұл жұмыста қарастырылған мәлімдемені алғаш рет 1742 жылы Христиан Гольдбахтың Леонард Эйлерге жазған хатында тұжырымдады, онда Гольдбах келесі болжам жасады: "5-тен үлкен әрбір тақ санды үш жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болады". Мысалы: 7=2+2+3 9=2+2+5=3+3+3 11=2+2+7=3+3+5 13=3+3+7=3+5+5 15=2+2+11=3+5+7=5+5+5 17=2+2+13=3+3+11=3+7+7=5+5+7 19=3+3+13=3+5+11=5+7+7 21=2+2+17=3+5+13=3+7+11=5+5+11=7+7+7 23=2+2+19=3+3+17=3+7+13=5+5+13=5+7+11 25=3+3+19=3+5+17=3+11+11=5+7+13=7+7+11 Эйлер бұл мәселеге қызығушылық танытып, одан да күштірек болжам жасады: "Екіден үлкен әрбір жұп санды екі жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болады". Мысалы: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10=3+7=5+5 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 18=5+13=7+11 20=3+17=7+13 22=3+19=5+17=11+11 1-суретте "Гольдбах кометасы" деп аталатын график бейнеленген, онда жұп сандарды екі жай санның қосындысы ретінде көрсетудің әртүрлі нұсқаларының саны көрсетілген 2-суретте бірнеше алғашқы жұп сандардың жай сандардың қосындысына схемалық бөлінуі көрсетілген.   Бірінші мәлімдеме Гольдбахтың тернарлық мәселесі, екіншісі Голдбахтың бинарлық мәселесі (немесе Эйлер мәселесі) деп аталады. Голдбахтың бинарлық мәселесін растау әділдігінен Гольдбахтың тернарлық мәселесінің әділдігі автоматты түрде жүреді: егер 4-тен басталатын әрбір жұп сан екі жай санның қосындысы болса, онда әрбір жұп санға 3 қосу арқылы 7-ден басталатын барлық тақ сандарды алуға болады. Мұндай жағдайларда бинарлық проблемадағы мәлімдеме тернарлыққа қарағанда күшті деп айтылады. Гольдбах мәселесі (Риман гипотезасымен бірге) Гильберттің мәселелер тізіміне 8 нөмірімен енгізілген. Гильберт мәселелері-1900 жылы Парижде өткен II Халықаралық математиктер конгресінде Дэвид Гильберт ұсынған 23 негізгі математика мәселелерінің тізімі. Ол кезде бұл мәселелер (математика негіздерін, алгебраны, сандар теориясын, геометрияны, топологияны, алгебралық геометрияны, Ли топтарын, нақты және күрделі талдауды, дифференциалдық теңдеулерді, математикалық физика мен ықтималдық теориясын және вариациялық есептеуді қамтитын) шешілмеді. Қазіргі уақытта 23 мәселенің 16-сы шешілді. Тағы 2-уі дұрыс математикалық мәселелер емес (біреуі шешілгенін немесе шешілмегенін түсіну үшін тым түсініксіз тұжырымдалған, екіншісі шешуден алыс-математикалық емес, физикалық). Қалған 5 мәселенің екеуі ешқандай жолмен шешілмеген, ал Гольдбах мәселесі өз кезегінде Гильберттің дербес жағдайларда ғана шешілген үш мәселесінің бірі болып табылады. Жоғарыда айтылғандардың бәрінен көріп отырғанымыздай, Гольдбах проблемасының тұжырымы, тернарлы немесе бинарлы болсын, өте қарапайым және қол жетімді, тіпті қарапайым орта мектеп оқушысы үшін де. Дегенмен, оның толық дәлелі әлі жоқ, бұл Гольдбах мәселесін оның шешімін табуға тырысатын әуесқой математиктер арасында да, жалпы әлемдік мәдениетте де өте танымал етеді. 270 жылдан бері адамдар Христиан Гольдбахтың мәлімдемесін дәлелдеуге тырысып келеді, әрі қарай гольдбахтың проблемасын дәлелдеуде неге қол жеткізілгені туралы айтылады. Риман тұжырымдамасы Гольдбах мәселесін одан әрі қарастыру үшін Риман гипотезасы деп аталатын негізгі ұғымдарды белгілеу керек. Айта кету керек, бұл гипотезаның әділдігі туралы болжамнан Гольдбахтың тернарлы проблемасының дәлелі құрылды, сондықтан төменде келтірілген мәселеге ерекше назар аудару керек. Сонымен, Риманның Зета функциясының нөлдерінің таралуы туралы Риман гипотезасын 1859 жылы Бернхард Риман тұжырымдады. Натурал сандар арасында жай сандардың таралуын сипаттайтын ешқандай заңдылық табылмағанымен, Риман x — тен аспайтын жай сандардың саны — π(x) деп аталатын жай сандардың таралу функциясы-дзета функциясының "тривиальды емес нөлдері" деп аталатын үлестіру арқылы өрнектелетінін анықтады. Жай сандардың таралуы туралы көптеген мәлімдемелер, соның ішінде кейбір бүтін алгоритмдердің есептеу күрделілігі Риман гипотезасының дұрыстығын болжауда дәлелденген. Риман гипотезасы жеті "мыңжылдық мәселелерінің" тізіміне енеді, олардың әрқайсысын шешу үшін Клэй математикалық институты (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) миллион АҚШ доллары көлемінде сыйақы төлейді. Бұл тұжырымның күрделілігі соншалық, Гильберт тіпті 500 жылдан кейін ұйықтап, оянса, бірінші кезекте Риманның гипотезасы дәлелденген-дәлелденбегенін сұрайды деп әзілдеді. Риман гипотезасына қарсы мысал жарияланған жағдайда, Клэй институтының Ғылыми кеңесі бұл қарсы мысалды мәселенің түпкілікті шешімі деп санауға болатындығын немесе мәселені неғұрлым тар түрде қайта құрып, ашық қалдыруға болатындығын шешуге құқылы (соңғы жағдайда, қарсы мысалдың авторына сыйақының аз бөлігі төленуі мүмкін). Гипотеза келесідей тұжырымдалған: ς(S) Риманның дзета функциясы барлық күрделі комплекс S≠1 сандар үшін анықталған және теріс жұп S=-2, -4, -6… нөлдері бар.  функционалдық теңдеуден және  кезіндегі  айқын өрнегінен, мұндағы  — Мобиус функциясы, "тривиальды емес" деп аталатын барлық басқа нөлдер  жолағында "критикалық сызық" деп аталатын  ,  сызыққа симметриялы түрде орналасқаны шығады.Риман гипотезасы мынаны айтады: Зета функциясының барлық тривиальды емес нөлдері 1/2-ге тең нақты бөлікке ие. Басқа, теориялық және сандық тұжырымдау жиі қолданылады: Келесі асимптотикалық формула жай сандарды бөлу үшін дұрыс па:  Шолу жұмыстарында (Bombieri 2000, Conrey 2003, Server 2008) Риман гипотезасының ақиқаттығын қолдайтын деректер күшті, бірақ негіздеме күмән тудыратын орын қалдыратынын атап өтті. Алайда жекелеген авторлар гипотезаның жалғандығына сенімді (атап айтқанда, Джон Литлвуд осылай ойлады). Гипотезаның ақиқатын болжайтын мәліметтердің ішінде бастапқы гипотезалардың сәтті дәлелдерін бөліп көрсетуге болады. Бұл Риман шарты автоморфтық карталарға қатысты барлық Зета функциялары үшін орындалады деген ең күшті теориялық дәлел, бұл Риманның классикалық гипотезасын қамтиды. Осыған ұқсас гипотезаның ақиқаты Селбергтің Зета функциясы үшін, кейбір жағынан Риманға ұқсас және госсанепиднадзордың Зета функциясы үшін дәлелденген. Екінші жағынан, Эпштейннің кейбір Зета функциялары Риман шартын қанағаттандырмайды, дегенмен олардың сыни сызықта шексіз нөлдері бар. Алайда, бұл функциялар Эйлер қатарлары арқылы көрсетілмейді және автоморфтық карталармен тікелей байланысты емес. Риман гипотезасының ақиқатының пайдасына "практикалық" дәлелдерге zetagrid(таратылған есептеу саласындағы ең ірі жобалардың бірі) жобасы шеңберінде Зета функциясының тривиальды емес нөлдерінің көп санын есептеу тексерісі жатады. Қалай болғанда да, Риман гипотезасы әлі күнге дейін жалпы және толық шешімге ие емес. Осыған қарамастан, оның ақиқаты сандар теориясының басқа теоремаларын, атап айтқанда голдбах мәселесін дәлелдеу кезінде жиі қабылданады. Гольдбахтың тернарлы мәселесі. Бұрын айтқанымыздай, голдбахтың екі түрлі тұжырымы бар тернарлы және бинарлы, төменде біз тернарлы мәселені қарастырамыз. Тернарлы проблема-бұл Гольдбахтың бинарлы ("күшті") проблемасының ақиқаты болып табылатын әлсіз мәлімдеме. ХХ ғасырдың басында Гольдбах гипотезалары Риман гипотезасымен бірге сандар теориясының орталық міндеттерінің біріне айналды, тіпті Гильберттің әйгілі 8-ші проблемасының бөлігі болды. Бұл мәселені шешудегі жетістікті Британдық математиктер Гарольд Харди мен Джон Литтлвуд жасады. Содан кейін олар Варинг мәселесін зерттеді. 1916-1917 жылдардағы жұмыстарға енген Харди мен Сиривас Раманужанның идеяларын дамыта отырып, Британдық математиктер дөңгелек әдіс деп аталатын әдісті жасады. Оның мәні келесідей: есепті шешу (мысалы, бүтін санды үш жайдың қосындысы ретінде көрсету тәсілдерінің саны) белгілі бір қатардан бірлік шеңбер бойынша интегралмен беріледі. Бұл интеграл екіге бөлінеді, олардың біреуі бағаланады, ал екіншісі туралы оның салыстырмалы түрде аздығы дәлелденеді. Бірінші қосынды құраушылар үлкен доғалар, ал екіншісі кіші доғалар деп аталады. Перу математигі Харальд Хельфготт (бұл сәл кейінірек талқыланады) бұл әдісті былай сипаттады: "шешімдердің санын талдау негізінен Фурье түрлендіру арқылы жүзеге асырылады. Елестетіп көріңізші, жай сандар — бұл кейбір жазбалардағы дыбыстар, айталық, 2, 3, 5, 7, 11 және т.б. микросекундтар. Түрлендіруден кейін сіз қандай да бір ноталарды естуге тырысатын Шу түрін аласыз. Олардың арасында жақсы естілетіндер бар-бұл үлкен доғалар. Шу фрагменттері болып табылатын жиіліктер бар — бұл шағын доғалар. Бүкіл әдіс екі бөлікке бөлінеді — ноталарды бөлектеу және қалғанының Шу екенін дәлелдеу. Әдістің бірінші бөлігі үшін бағалау үлкен доғаларға, екіншісі кіші доғаларға жауап береді". Олардың әдісін қолдана отырып, Харди мен Литтлвуд Гольдбахтың тернарлы гипотезасын дәлелдей алды. Алайда олардың дәлелдемелерінде бір, бірақ өте маңызды кемшілік болды, ол іс жүзінде барлық жұмысты кесіп өтті: мақалада олар Риманның дәлелденбеген жалпыланған гипотезасына сүйенді. 1937 жылы Харди мен Литтлвуд әдісін Иван Матвеевич Виноградов (кеңестік математик, КСРО Ғылым Академиясының академигі) жетілдірді, ол Риман гипотезасының әділдігіне тәуелді емес дәлелдер келтірді, яғни кез-келген жеткілікті үлкен тақ санды үш жай санның қосындысы ретінде ұсынуға болатындығын дәлелдеді. Әңгімені жалғастырмас бұрын, біз маңызды шегініс жасаймыз. Осы сәттен бастап (яғни 1937 жылдан бастап) кеңестік математиктер мен оларға достық қарым-қатынас Гольдбахтың тернарлы мәселесін шешті деп санайды, ал шетелдік математиктер бұған келіспейді. Өкінішке орай, шетелдіктер дұрыс айтады: Виноградов ерекше жұмыс жасағанына қарамастан, мәселе түпкілікті шешілмеді. Виноградовтың шешімін толық және түпкілікті деп атауға болмайды, өйткені ол бұл "жеткілікті үлкен санға"нақты баға берген жоқ. Содан бері көптеген математиктер Виноградовтың нәтижесін жақсартуға тырысты. Осы әрекеттердің барлығының идеясы өте қарапайым болды: бағалауды жақсарту арқылы N-нің аз болуына қол жеткізу. Бұл жағдайда "жеткілікті кішкентай" деген мағынаны білдіреді, ол үшін Гольдбах гипотезасын компьютерде тексеруге болады. 1989 жылы Ванг пен Чен төменгі бетін  деңгейіне дейін түсірді, бұл қазіргі заманғы есептеу техникасының дамуындағы барлық кіші сандарды нақты тексеру үшін әлі де қол жетімді емес.Дегенмен, И.М. Виноградовтың Гольдбах мәселесін шешуге де, жалпы математикаға да қосқан үлесі орасан зор. Гольдбах мәселесін шешуге тырысқанда, ғалым сандар теориясының ең жалпы және қуатты әдістерінің бірін — тригонометриялық қосындылар әдісін жасады, бұл аналитикалық сандар теориясының көптеген мәселелері  , мұндағы  - нақты бүтін функция. Бұл әдісті қолдана отырып, ол өзі және оның ізбасарлары сандар теориясында да, математиканың басқа салаларында да көптеген керемет нәтижелерге қол жеткізді.2012 жылы әйгілі сандар теориясының маманы және 2006 жылғы Филдс медалінің иегері Терренс Таоның жұмысы жарық көргенге дейін голдбах мәселесін шешуде 20 жылға жуық уақыт болған жоқ. Ол кез-келген тақ санның бес жай саннан аспайтын қосынды ретінде ұсынылатындығын көрсете алды. 2013 жылдың мамыр айының ортасында қазіргі уақытта Францияда жұмыс істейтін Перу математигі Харальд Хельфготт Корнелл университетінің алдын ала басып шығару мұрағатына "Голдбах теоремасына арналған үлкен доғалар"мақаласын жариялады. Бұл мақалада голдбахтың үштік проблемасының соңғы дәлелі бар. "Мен голдбах мәселесімен 2006 жылы айналыса бастадым", — деді Хельфготт. — Мен сол кездегі шағын доғаларды бағалауды жақсарта алатынымды тез түсіндім. Бұл жұмыстың нәтижесі деп аталатындар болды логарифмсіз бағалау (мен бұл нәтижелерді тез алдым). Әрі қарай жұмыс әлдеқайда баяу жүрді-өйткені мен бағалауды сандық жағынан ғана емес, сапалық жағынан да жақсартуға тырыстым. Басынан бастап мен бұл тапсырманы сапалы жақсартусыз алға жылжу мүмкін емес сияқты сезіндім". Хельфготтың еңбектерінің нәтижесі барлық қажетті бағаларды қамтитын 133 беттік жұмыс болды. Негізгі теорема келесідей: 1029-дан үлкен Барлық тақ бүтін сандар үш жай санның қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін. Бұрын голдбах гипотезасының талабы (Хельфготтың өзі Дэвид Блаттпен бірлесе отырып) 8,875 x 1030 дейін тексерілген. Бұл екі факт бірге голдбахтың үштік гипотезасының нақты дәлелі болып табылады. Бір қызығы, жаңа жұмыс тағы бір жерде сандық әдістерге сүйенеді: дәлелдеу үшін тамырлардың жеткілікті саны үшін Риманның жоғарыда айтылған жалпыланған гипотезасын тексеру керек болды. Мұны Дэвид Платт жасады. Гольдбахтың бинарлы мәселесі. Естеріңізге сала кетейік, биннарлы мәселе келесі тұжырымға ие: Екіден үлкен әрбір жұп санды екі жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болады. Гольдбахтың бинарлы мәселесі әлі шешілмейді. Бинарлы мәселе үшін дөңгелек әдіс жұмыс істемейді-ондағы кішкентай доғалардың әсері тым күшті. Виноградов 1937 жылы және Теодор Бестерман 1938 жылы жұп сандардың барлығы дерлік екі жай санның қосындысы ретінде ұсынылатындығын көрсетті (егер бар болса, елестетілмейтіндердің үлесі нөлге ұмтылады). Бұл нәтижені 1975 жылы Хью Монтгомери мен Роберт Чарльз Свон аздап күшейтті. Олар екі жай санның қосындысы ретінде ұсынылмайтын  -ден Үлкен емес жұп сандардың саны  аспайтындай оң  және  тұрақтылары бар екенін көрсетті.1930 жылы Лев Шнирельман кез - келген жұп сан қарапайым саннан аспайтын мөлшерде ұсынылатындығын көрсетті, мұндағы -белгілі бір тұрақты. Бастапқыда бұл өте үлкен болды: 1969 жылы кеңестік математик Климов саны 6 000 000 000-нан аспайтынын көрсетті. Бұл нәтиже бірнеше рет жақсартылды-1995 жылы Оливер Рамаре кез-келген жұп санның алтыдан аспайтын мөлшерде ұсынылатындығын көрсетті. Хельфготтың жаңа нәтижесі Рамаренің нәтижесін жақсартуға мүмкіндік беретіні назар аудартады: жұп саннан үштікті алып тастағанда, біз тақ санды аламыз, ол қазір үш жайдың қосындысы ретінде ұсынылатыны белгілі. Мүмкін, кез-келген жұп сан төрт жай санның қосындысы түрінде ұсынылатын шығар. Гольдбахтың тернарлы гипотезасының әділдігінен (2013 жылы дәлелденген) кез — келген жұп сан 4 жай саннан аспайтын сома болып табылады.Математиктердің өздері Гольдбахтың күшті мәселесін шешу әлі алыс деп санайды. |