РГР ТАУ. ПРИМЕР РГР ТАУ. Гоу впо омский государственный технический университет

• Название: Гоу впо омский государственный технический университет
• Анкор: РГР ТАУ
• Дата: 08.02.2022
• Размер: 1.69 Mb.
• Имя файла: ПРИМЕР РГР ТАУ.doc
• Тип: Реферат; #355575

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ОМГТУ)

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Расчетно-графическая работа

По дисциплине «Теория автоматического управления»

	Принял:
	Подпись, дата
	Выполнил: Студент ЗАС-310 В. С. Уткин
	Подпись, дата

Омск-2012

Реферат

13 рисунка, 2 таблиц. 16 листов, 19 фомул.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ЛАЧХ, ЛФЧХ, КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА, КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА, СТАТИЗМ.

Предметом исследования данной курсовой работы является ряд заданий, направленных на изучение предмета Основы теории автоматического управления.

Цель работы – определение передаточных функций САУ, построение ЛАХ и ЛФХ для звеньев, определение устойчивости системы, ее последующий анализ с помощью критериев Найквиста и Гурвица, определение величины статизма установившейся ошибки для замкнутой системы.

В процессе выполнения работы задействована программа Matlab 7.13 для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Результатом работы является курсовой проект.

Оглавление

Задание № 1 4

Задание № 2 8

Задание № 3 10

Алгебраический критерий Гурвица 10

Частотный критерий Найквиста 12

Задание № 4 14

Список использованных источников 16

Задание № 1

Найти передаточную функцию САУ между входом X(p) и выходом Y(p), заданной своей структурной схемой.



Рис 1. Схема задание 1

Таблица 1. Данные

Структурная схема	W1(p)	W2(p)	W3(p)	W4(p)	W5(p)
1
				5	3p

Значения параметров:

k₂=4; k₃=6; k₄=5; k₅=3.

T₂=0,1; T₃=0,6; T₄=0,5; T₅=0,3.

Преобразуем схему:
Для того чтобы найти передаточную функцию САУ между входом X(p) и выходом Y(p) сначала упростим данную структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований структурных схем. Для этого нам потребуются три формулы: формула преобразования участка цепи с последовательным соединением звеньев, формула преобразования участка цепи с параллельным соединением звеньев и формула преобразования участка цепи с обратной связью.

При последовательном соединении звеньев эквивалентная передаточная функция участка цепи будет равна произведению передаточных функций звеньев этого участка.

W_посл(p)= (1)

При параллельном соединении звеньев эквивалентная передаточная функция участка цепи будет равна сумме передаточных функций звеньев этого участка.

W_парал(p)= (2)

Для участка цепи замкнутой системы – участка цепи с обратной связью эквивалентная передаточная функция будет равна следующему отношению:

W_зс(p)= , (3)

где W(p) – передаточная функция участка цепи до перехода к участку цепи с обратной связью, а W_ос(p)– передаточная функция участка цепи с обратной связью. Знак в знаменателе зависит от типа обратной связи, если обратная связь положительная, то в знаменателе знак "–", если отрицательная – то "+".

Используя формулу (3) заменим передаточные функции W₁(p) и W₂(p) эквивалентной им передаточной функцией учитывая, что поскольку обратная связь отрицательная, то в знаменателе стоит знак "+" _{ }. Полученная схема представлена на рисунке 2.








W₆(p)


Рис. 2 Схема первое преобразования

Далее используя формулу (2) заменим участок с обратной связью, включающий передаточные функции W₃(p) и W₆(p) эквивалентной им передаточной функцией _{ }. На рисунке 3 показана полученная схема.






W₇


Рис 3. Схема второе преобразование

Далее используя формулу (1) заменим участок последовательного соединения, включающий передаточные функции W₇(p) и W4(p) эквивалентной им передаточной функцией _{ }. На рисунке 4 показана полученная схема.


W₈




Рис 4. Схема третье преобразование

Далее используя формулу (2) заменим участок с обратной связью, включающий передаточные функции W₈(p) и W₅(p) эквивалентной им передаточной функцией _{ }. На рисунке 5 показана полученная схема.


W₉(p)


Рис. 5 Схема последнее преобразование






Подставим данные























Рис 6. Собранная схема в «matlab»


Рис 7. Результат передаточной функции САУ между входом X(p) и выходом Y(p)

Задание № 2

Построить ЛАХ и ЛФХ для следующего соединения звеньев, образующих разомкнутую систему автоматического управления



Рис 8. Схема задние 2

Таблица 2. Данные задания 2

W1(p)	W2(p)	W3(p)
100

Параметры звеньев:

k₁=100;

k₂=125; T₂=0,025; ;

k₃=150; T₃=0,0025; _{ 
Упростим схему, перемножив все звенья используя формулу (1)}

Перемножив все мы получаем





Рис 9. Собранная схема в «matlab»

Сравним

Для проверки правильности преобразования добавим еще 1 вход на «Scope» в результате получим, получившиеся, показания «Scope» рис 10.



рис 10. Сравнение результатов


Рис 11 ЛАХ и ЛФХ

Задание № 3

Определить устойчивость системы, получаемой из разомкнутой САУ в задаче №2, замыканием её с помощью неединичной, отрицательной обратной связи. В канале обратной связи имеется звено с передаточной функцией W_oc(p) = k_oc = 5. Устойчивость проанализировать с помощью критериев Найквиста и Гурвица. Определить граничный коэффициент усиления системы.
Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

, (4)

где p – комплексная переменная.
Тогда после подстановки и преобразования получаем:

W_зс(p)= . (5)

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы можно определить как сумму числителя и знаменателя: D_зс(p) = A(p) + B(p). (6)

Найдем эквивалентную передаточную функцию разомкнутой системы с включенной в неё передаточной функцией звена обратной связи W_oc(p) = k_ос = 5:






Таким образом характеристический полином B(p) системы равен:

B(p)=_{ }

Алгебраический критерий Гурвица

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Недостаток критерия Гурвица – малая наглядность, достоинство – удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя _n = a_{n n-1} = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 – при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор _n-1 = 0 – при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости.

Этот критерий позволяет определить устойчивость САУ, если характеристическое уравнение замкнутой системы представлено в виде:

. (7)

Для этого строится главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали выписываются все коэффициенты от a₁ до a_n в порядке возрастания индексов коэффициентов. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были положительными.

На месте коэффициентов с индексами, большими порядка характеристического уравнения и меньшими нуля, проставляют нули.

(8)

Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка. Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

, , . (9)

Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были положительными. Для применения критерия Гурвица к замкнутой системе нужно использовать характеристическое уравнение замкнутой системы:

_{ }.

Коэффициенты характеристического уравнения:

a₀ = _{ };

a₁ = _{ };

a₂ = _{ };

a₃ = _{ }.

a₄ = 1
Посчитав значения коэффициентов системы, получим:

a₀ =3,125*10^-7;

a₁ =1,375*10^-4;

a₂ =4687,532563;

a₃ =9375000;

a₄ =1.
Из коэффициентов характеристического уравнения составляем матрицу Гурвица:



По критерию Гурвица для устойчивости необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия:



Подставив в неравенства коэффициенты, видим, что поскольку a₁a₂ >> 1 и a₀a₃ << 1, то все неравенства выполняются и система является устойчивой.

Частотный критерий Найквиста

Частотные критерии устойчивости – это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Критерий Найквиста – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по АФЧХ разомкнутой САУ, замкнутой единичной обратной связью.

Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j ) при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватывать g/2 раз точку ( - 1, j0).

Для формулировки критерия рассмотрим САУ, которая в разомкнутом состоянии характеризуется передаточной функцией вида:

, (10)

где D(p), E(p) – некоторые полиномы от p, причем степень знаменателя выше или равна степени числителя.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку (-1;j0). Последовательность:

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется p = j : W (j ).

4) Строится АФЧХ разомкнутой системы.
Критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой системы с поведением годографа АФЧХ разомкнутой системы. На рисунке 12 представлен годограф АФЧХ разомкнутой системы, созданный с помощью пакета Matlab 7.13.

На рисунке видно, что годограф охватывает точку (-1; j0), значит, система является не устойчивой.



Рисунок 12 – Годограф АФЧХ разомкнутой системы

Устойчивость системы можно определить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Используя критерий Найквиста, исследуем на устойчивость систему после замыкания отрицательной обратной связью. Для этого построим с помощью пакета Matlab 7.13 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (рисунок 13):


Рисунок 13 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Согласно критерию Найквиста, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная ( ), фазовый сдвиг не достигал значения или достигал его четное число раз. Поскольку фазовый сдвиг заданной системы опускается ниже на всех частотах, то замкнутая система будет не устойчивой при любом значении коэффициентов.

Задание № 4

Определить величины статизма и установившейся ошибки для замкнутой системы задачи № 3 при постоянном входном воздействии x(t)= const.
Из задания 3:



Статизм и установившаяся ошибка характеризуют поведение системы в установившемся режиме. Для изучения установившихся режимов удобно применять теорему об установившемся значении, являющуюся одним из свойств преобразования Лапласа:

. (11)

Перед её использованием требуется получить операторное выражение для выходной величины Y(p) при входном воздействии x(t)=1(t). Если x(t) = 1(t), то x(p) = 1/p.

По формуле (3) соединения двух звеньев с отрицательной обратной связью имеем:

. (12)

Подставив значение Y(p), в теорему об установившемся значении получим:

(13)

Поскольку, для заданной системы передаточная функция равна:

_{ },

то подставив её в предел, получим, что y_ycm будет равно нулю.

Точность работы любой системы автоматического управления наиболее полно характеризуется мгновенным значением ошибки рассогласования e(t), равной разности между заданной x(t) и действительной y(t) значениями регулируемой переменной в соответствии с уравнением:

. (14)

Для характеристики точностных свойств систем управления используется понятие установившейся ошибки слежения. Установившаяся ошибка e_y(t), характеризует ошибку слежения, установившуюся после завершения переходного процесса. Предельное значение установившейся ошибки определяется выражением:

. (15)

Величина предельного значения установившейся ошибки при типовом воздействии наиболее просто может быть рассчитана, если использовать передаточную функцию замкнутой системы по ошибке рассогласования:

, (16)

где E(p) и X(p) – соответственно изображения величины рассогласования и задающего воздействия; W(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Значение установившейся ошибки определяется согласно теореме о конечном значении:

_. (17)

Для статической системы при постоянном входном воздействии, если x(t) = 1(t), то x(p) = 1/p, из чего получается:

_, (18)

где K –коэффициент усиления разомкнутой системы. Для заданной системы коэффициент усиления равен нулю. Таким образом значение установившейся ошибки будет равно 1.

Статизм системы показывает во сколько раз отклонение на выходе замкнутой системы от действия возмущения заданной величины меньше, чем отклонение выходной функции в системе разомкнутой.

Для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения стремится к нулю:

(19)

Системы автоматического управления, статическая ошибка которых не равна нулю, называются статическими системами. Соответственно, системы автоматического управления, установившаяся ошибка которых равна нулю, называются астатическими системами.

Чтобы определить, к статической или астатической системе относится САУ нужно иметь выражение передаточной функции разомкнутого контура управления исследуемой замкнутой САУ.

Признаком астатической САУ является наличие в разомкнутом контуре управления интегрирующего (астатического) звена, то есть звена с передаточной функцией: W(p) = 1/p

Учитывая, что W(p) = 0 и x(p) = x₀·1/p получаем:

y_уст = 0.

e_уст = x₀ - y_уст = x₀

Величина статизма y_уст/x₀ = 0.

Астатические системы автоматического управления, установившаяся ошибка которых при постоянном задающем воздействии равна , имеют нулевой порядок астатизма. Следовательно, данная система имеет нулевой порядок астатизма.

Список использованных источников

1. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГИЭМ, 2005. – 82 с.

2. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.

3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. – СПб.: Питер, 2005. – 336 с.