РГР ТАУ. ПРИМЕР РГР ТАУ. Гоу впо омский государственный технический университет
![]()
|
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ОМГТУ) Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Расчетно-графическая работа По дисциплине «Теория автоматического управления»
Омск-2012 Реферат 13 рисунка, 2 таблиц. 16 листов, 19 фомул. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ЛАЧХ, ЛФЧХ, КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА, КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА, СТАТИЗМ. Предметом исследования данной курсовой работы является ряд заданий, направленных на изучение предмета Основы теории автоматического управления. Цель работы – определение передаточных функций САУ, построение ЛАХ и ЛФХ для звеньев, определение устойчивости системы, ее последующий анализ с помощью критериев Найквиста и Гурвица, определение величины статизма установившейся ошибки для замкнутой системы. В процессе выполнения работы задействована программа Matlab 7.13 для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ. Результатом работы является курсовой проект. ОглавлениеЗадание № 1 4 Задание № 2 8 Задание № 3 10 Алгебраический критерий Гурвица 10 Частотный критерий Найквиста 12 Задание № 4 14 Список использованных источников 16 Задание № 1Найти передаточную функцию САУ между входом X(p) и выходом Y(p), заданной своей структурной схемой. ![]() Рис 1. Схема задание 1 Таблица 1. Данные
Значения параметров: k2=4; k3=6; k4=5; k5=3. T2=0,1; T3=0,6; T4=0,5; T5=0,3. Преобразуем схему: Для того чтобы найти передаточную функцию САУ между входом X(p) и выходом Y(p) сначала упростим данную структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований структурных схем. Для этого нам потребуются три формулы: формула преобразования участка цепи с последовательным соединением звеньев, формула преобразования участка цепи с параллельным соединением звеньев и формула преобразования участка цепи с обратной связью. При последовательном соединении звеньев эквивалентная передаточная функция участка цепи будет равна произведению передаточных функций звеньев этого участка. Wпосл(p)= ![]() При параллельном соединении звеньев эквивалентная передаточная функция участка цепи будет равна сумме передаточных функций звеньев этого участка. Wпарал(p)= ![]() Для участка цепи замкнутой системы – участка цепи с обратной связью эквивалентная передаточная функция будет равна следующему отношению: Wзс(p)= ![]() где W(p) – передаточная функция участка цепи до перехода к участку цепи с обратной связью, а Wос(p)– передаточная функция участка цепи с обратной связью. Знак в знаменателе зависит от типа обратной связи, если обратная связь положительная, то в знаменателе знак "–", если отрицательная – то "+". Используя формулу (3) заменим передаточные функции W1(p) и W2(p) эквивалентной им передаточной функцией учитывая, что поскольку обратная связь отрицательная, то в знаменателе стоит знак "+" ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() W6(p) Рис. 2 Схема первое преобразования Далее используя формулу (2) заменим участок с обратной связью, включающий передаточные функции W3(p) и W6(p) эквивалентной им передаточной функцией ![]() ![]() ![]() ![]() W7 Рис 3. Схема второе преобразование Далее используя формулу (1) заменим участок последовательного соединения, включающий передаточные функции W7(p) и W4(p) эквивалентной им передаточной функцией ![]() ![]() W8 ![]() Рис 4. Схема третье преобразование Далее используя формулу (2) заменим участок с обратной связью, включающий передаточные функции W8(p) и W5(p) эквивалентной им передаточной функцией ![]() ![]() W9(p) Рис. 5 Схема последнее преобразование ![]() ![]() ![]() Подставим данные ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис 6. Собранная схема в «matlab» ![]() Рис 7. Результат передаточной функции САУ между входом X(p) и выходом Y(p) Задание № 2Построить ЛАХ и ЛФХ для следующего соединения звеньев, образующих разомкнутую систему автоматического управления ![]() Рис 8. Схема задние 2 Таблица 2. Данные задания 2
Параметры звеньев: k1=100; k2=125; T2=0,025; ![]() k3=150; T3=0,0025; ![]() ![]() Упростим схему, перемножив все звенья используя формулу (1) Перемножив все мы получаем ![]() ![]() Рис 9. Собранная схема в «matlab» Сравним Для проверки правильности преобразования добавим еще 1 вход на «Scope» в результате получим, получившиеся, показания «Scope» рис 10. ![]() рис 10. Сравнение результатов ![]() Рис 11 ЛАХ и ЛФХ Задание № 3Определить устойчивость системы, получаемой из разомкнутой САУ в задаче №2, замыканием её с помощью неединичной, отрицательной обратной связи. В канале обратной связи имеется звено с передаточной функцией Woc(p) = koc = 5. Устойчивость проанализировать с помощью критериев Найквиста и Гурвица. Определить граничный коэффициент усиления системы. Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид: ![]() где p – комплексная переменная. Тогда после подстановки и преобразования получаем: Wзс(p)= ![]() Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы можно определить как сумму числителя и знаменателя: Dзс(p) = A(p) + B(p). (6) Найдем эквивалентную передаточную функцию разомкнутой системы с включенной в неё передаточной функцией звена обратной связи Woc(p) = kос = 5: ![]() ![]() ![]() Таким образом характеристический полином B(p) системы равен: B(p)= ![]() Алгебраический критерий ГурвицаКритерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица. Недостаток критерия Гурвица – малая наглядность, достоинство – удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя ![]() ![]() ![]() Этот критерий позволяет определить устойчивость САУ, если характеристическое уравнение замкнутой системы представлено в виде: ![]() Для этого строится главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали выписываются все коэффициенты от a1 до an в порядке возрастания индексов коэффициентов. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были положительными. На месте коэффициентов с индексами, большими порядка характеристического уравнения и меньшими нуля, проставляют нули. ![]() Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка. Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель. ![]() ![]() ![]() Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были положительными. Для применения критерия Гурвица к замкнутой системе нужно использовать характеристическое уравнение замкнутой системы: ![]() Коэффициенты характеристического уравнения: a0 = ![]() a1 = ![]() a2 = ![]() a3 = ![]() a4 = 1 Посчитав значения коэффициентов системы, получим: a0 =3,125*10-7; a1 =1,375*10-4; a2 =4687,532563; a3 =9375000; a4 =1. Из коэффициентов характеристического уравнения составляем матрицу Гурвица: ![]() По критерию Гурвица для устойчивости необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия: ![]() Подставив в неравенства коэффициенты, видим, что поскольку a1a2 >> 1 и a0a3 << 1, то все неравенства выполняются и система является устойчивой. Частотный критерий НайквистаЧастотные критерии устойчивости – это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. Критерий Найквиста – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по АФЧХ разомкнутой САУ, замкнутой единичной обратной связью. Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j ![]() ![]() ![]() Для формулировки критерия рассмотрим САУ, которая в разомкнутом состоянии характеризуется передаточной функцией вида: ![]() где D(p), E(p) – некоторые полиномы от p, причем степень знаменателя выше или равна степени числителя. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку (-1;j0). Последовательность: 1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы ![]() 2) Определяется число правых корней m. 3) Подставляется p = j ![]() ![]() ![]() 4) Строится АФЧХ разомкнутой системы. Критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой системы с поведением годографа АФЧХ разомкнутой системы. На рисунке 12 представлен годограф АФЧХ разомкнутой системы, созданный с помощью пакета Matlab 7.13. На рисунке видно, что годограф охватывает точку (-1; j0), значит, система является не устойчивой. ![]() Рисунок 12 – Годограф АФЧХ разомкнутой системы Устойчивость системы можно определить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Используя критерий Найквиста, исследуем на устойчивость систему после замыкания отрицательной обратной связью. Для этого построим с помощью пакета Matlab 7.13 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (рисунок 13): ![]() Рисунок 13 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы Согласно критерию Найквиста, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная ( ![]() ![]() ![]() Задание № 4Определить величины статизма и установившейся ошибки для замкнутой системы задачи № 3 при постоянном входном воздействии x(t)= const. Из задания 3: ![]() Статизм и установившаяся ошибка характеризуют поведение системы в установившемся режиме. Для изучения установившихся режимов удобно применять теорему об установившемся значении, являющуюся одним из свойств преобразования Лапласа: ![]() Перед её использованием требуется получить операторное выражение для выходной величины Y(p) при входном воздействии x(t)=1(t). Если x(t) = 1(t), то x(p) = 1/p. По формуле (3) соединения двух звеньев с отрицательной обратной связью имеем: ![]() Подставив значение Y(p), в теорему об установившемся значении получим: ![]() Поскольку, для заданной системы передаточная функция равна: ![]() то подставив её в предел, получим, что yycm будет равно нулю. Точность работы любой системы автоматического управления наиболее полно характеризуется мгновенным значением ошибки рассогласования e(t), равной разности между заданной x(t) и действительной y(t) значениями регулируемой переменной в соответствии с уравнением: ![]() Для характеристики точностных свойств систем управления используется понятие установившейся ошибки слежения. Установившаяся ошибка ey(t), характеризует ошибку слежения, установившуюся после завершения переходного процесса. Предельное значение установившейся ошибки определяется выражением: ![]() Величина предельного значения установившейся ошибки при типовом воздействии наиболее просто может быть рассчитана, если использовать передаточную функцию замкнутой системы по ошибке рассогласования: ![]() где E(p) и X(p) – соответственно изображения величины рассогласования и задающего воздействия; W(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Значение установившейся ошибки определяется согласно теореме о конечном значении: ![]() Для статической системы при постоянном входном воздействии, если x(t) = 1(t), то x(p) = 1/p, из чего получается: ![]() где K –коэффициент усиления разомкнутой системы. Для заданной системы коэффициент усиления равен нулю. Таким образом значение установившейся ошибки будет равно 1. Статизм системы ![]() Для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения стремится к нулю: ![]() Системы автоматического управления, статическая ошибка которых не равна нулю, называются статическими системами. Соответственно, системы автоматического управления, установившаяся ошибка которых равна нулю, называются астатическими системами. Чтобы определить, к статической или астатической системе относится САУ нужно иметь выражение передаточной функции разомкнутого контура управления исследуемой замкнутой САУ. Признаком астатической САУ является наличие в разомкнутом контуре управления интегрирующего (астатического) звена, то есть звена с передаточной функцией: W(p) = 1/p Учитывая, что W(p) = 0 и x(p) = x0·1/p получаем: yуст = 0. eуст = x0 - yуст = x0 Величина статизма yуст/x0 = 0. Астатические системы автоматического управления, установившаяся ошибка которых при постоянном задающем воздействии равна ![]() Список использованных источников1. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГИЭМ, 2005. – 82 с. 2. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с. 3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. – СПб.: Питер, 2005. – 336 с. |