Греков М. А. 23 Уравнения Лапласа и Пуассона

• Название: Греков М. А. 23 Уравнения Лапласа и Пуассона
• Дата: 13.11.2020
• Размер: 36.27 Kb.
• Имя файла: question23.docx
• Тип: Документы; #150223

Греков М. А.
23 Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода

1. 
   Уравнение вида
   

X
m ₂

?u= ^{? u}= 0 (1)

?x²

k=1 ^k

называется уравнением Лапласа. Соответствующее неоднородное уравнение

?u = ?f(x), x= (x₁,x₂,...,x_m) (2)

носит название уравнения Пуассона.

Здесь f (x) заданная функция точки x ? ? евклидова пространства R^m, ? оператор Лапласа, x₁, x₂, . . . , x_mдекартовы координаты. Область ? имеет кусочно

гладкую границу и в общем случае может быть многосвязной.

С уравнением Лапласа тесно связано понятие гармонической функции. Функция

u(x) называется гармонической в конечной области ?, если u?C²(?) и удовлетворя- ет уравнению (1); u(x) гармоническая в бесконечной области ?, если u?C² в любой конечной точке x ? ?, удовлетворяет уравнению (1), и при x ? ? справедлива оценка

C

|u(x)|?_|x|m?2 ,C= const.(3)

Для m = 2 гармоническая в бесконечной области функция ограничена на беско- нечности.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция двух точек x и ?

E(x, ?) =

???

1


^??ln ,m= 2,
(m ?2)r



_m?2 , m >2,

(4)

1

r

где r = |x ? ?| расстояние между точками x и ?, является гармонической в лю- бой конечной, а в случае m>2 и в бесконечной области, не содержащей точки ?.

Действительно, из (4) находим

k
?²E


?x²

= ?r^?m
+ mr

?m?2

(x_k??_k)², k = 1, 2, . . . ,m.

Отсюда следует, что функция Eудовлетворяет уравнению Лапласа (1). Так как E(x,?) симметрична относительно xи ?, то она гармонична и по переменной ?. Заме- тим, что эта функция при m= 3 является, например, потенциалом электрического заряда, помещенного в точке x или ?.

Функция E(x, ?) называется фундаментальным (также элементарным, или син- гулярным) решением уравнения Лапласа. Рассматривая ее как функцию из клас- са обобщенных функций, можно показать, что она является решением следующего уравнения Пуассона

?u= |S₁|?(x??).(5)

Здесь ? дельта-функция Дирака, |S₁| площадь поверхности m-мерного шара единичного радиуса.

2. 
   Для двух функций u,v?C²(?), непрерывных и имеющих непрерывные первые производные вплоть до границы ? = ?? конечной области ?, вторая формула Грина
   

применительно к оператору Лапласа записывается в виде

Z (v?u ? u?v)d? = Z µv^?u? u^?v¶ d?, (6)

?n ?n

? ?
где n внешняя нормаль к границе ?.


2_C
Возьмем в качестве v функцию E и применим формулу (6) к области ?\(? ? B), где B = {? : |? ? x| ? ?}. Тогда в пределе при ? ? 0 приходим к интегральному представлению функции класса , которое также носит название формулы Грина

для таких функций

Z
?u(x) =

?

_u(?)?E(x, ?)_d?


Z?
??

?

E(x, ?)^?u(?)d? +


Z
??

?
E(x,?)?u(?)d?. (7)

Величина ? определяется формулой Гаусса

_{? =} ^Z ?E(x, ?)_{d? =}



?|S₁|, x ??⁺,


?_??
?|S₁|/2,x??,
(8)

??^?_?

0, x ??^?.

В (8) при x?? замкнутая поверхность ? должна быть ляпуновской. В остальных двух случаях поверхность ? может быть кусочно гладкой.

Определение. Поверхность ? в пространстве R^mназывается ляпуновской, если она удовлетворяет следующим условиям Ляпунова:

1. 
   В любой точке поверхности ? существует определенная нор- маль.
   
2. 
   Если x и ? точки поверхности ?, r = |x ? ?| расстояние между этими точками, ? угол между нормалями n и ? к ? в
   

этих точках соответственно, то существуют такие положительные постоянные A и ?, что

??Ar^?. (9)

3. 
   Существует число d, одно и то же для всех точек поверхности, обладающее свойством: параллели к нормали в любой точке поверх- ности пересекаются с частью поверхности, находящейся внутри сфе- ры радиуса d с центром в этой точке, только один раз.
   

Таким образом, если известны функции µ(?) = ?u(?)/??и ?(?) = u(?) при ??? и функция ?(?) = ?u(?) при ???, то формула Грина (7) выражает значение функции uвнутри области ? через значения трех функций: потенциала двойного слоя V с

поверхностной плотностью распределения масс (зарядов) ?(?), потенциала простого слоя Wс поверхностной плотностью распределения масс (зарядов) µ(?) и объемного потенциала U с объемной плотностью распределения масс (зарядов) ?(?)

V (x) = ¹ Z ?(?)^{?E(x, ?)}d?, W (x) = ¹ Z


E(x, ?)µ(?)d?,

Z
|S₁| ?? |S₁|

U (x) = ¹

|S₁|
E(x, ?)?(?)d?. (10)

?

Если u гармоническая функция, то U = 0 и формула Грина принимает вид

u(x) = W(x) ?V(x), x??, (11)

причем u ? C^?(?), в силу возможности дифференцирования сколь угодно раз под знаками первых двух интегралов в (10).

3. 
   Основными краевыми задачами для уравнения Лапласа (1) являются первая краевая задача, или задача Дирихле, в которой ищется гармоническая в ? функция u ? C(? ??), удовлетворяющая условию
   

Ї
u(x) _? = ?(x), (12)

и вторая краевая задача, или задача Неймана, в которой гармоническая в ? функция

u ? C¹(? ??) и

?u

?n^Ї?

= ?(x). (13)

Здесь ?(x) и ?(x) заданные непрерывные функции на границе ?, а условие (13) предполагает существование нормали в точке x. В действительности, условия непре- рывности функций могут быть слегка ослаблены.

Если функция uищется в конечной области ?, то соответствующие задачи назы- ваются внутренними, в противном случае внешними. Напомним, что для внешних задач функция u должна удовлетворять условию (3).

Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пуассона (2). Подстанов-

ка

u = v+ U, (14)

где функция Uопределена в (10) при ?= f, сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона к соответствующим внутренним краевым задачам для уравне- ния Лапласа, если f?C¹(?) ?C(? ??). При этом функция vдолжна удовлетворять

соответствующему краевому условию с учетом равенства (14).

Внутренняя задача Неймана не всегда разрешима. Необходимым условием суще- ствования решения задачи (2), (13) для конечной области ? является выполнение

Z

Z
равенства, которое вытекает из формулы Грина (6)

f(x)d? +

? ?

?(x)d? = 0. (15)

Z

Z
В случае уравнения Лапласа (1) условие (15) принимает вид

^?ud? =

?n

? ?
?(x)d? = 0,

Z

Z
а при нулевых краевых условиях

?

Имеют место две теоремы:

f(x)d? =

?

?ud? = 0.

Теорема 1. Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно.

^{Теорема 2.} Решение внешней задачи Неймана, имеющее непрерывные вплоть до границы производные первого порядка, при m > 2 единственно, а ре- шение внешней задачи при m = 2 и решение внутренней задачи опре- делено с точностью до константы.

4. 
   В формуле Грина (11) гармоническая в области ? функция uопределяется по предельным значениям этой функции и ее нормальной производной на границе ?. Однако, как следует из теорем единственности, эти значения нельзя задать про- извольно, и заранее известна на границе может быть либо сама функция (задача Дирихле), либо ее нормальная производная (задача Неймана).
   

Одним из эффективных методов решения задач Дирихле и Неймана является сведение этих задач к интегральным уравнениям. При этом используются свойства потенциалов двойного и простого слоя.

Пусть ? замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая две области: внут- реннюю (конечную) ?⁺ и внешнюю ?^?. Справедливы следующие теоремы о предель- ных значениях:

^{Теорема 3.} Если плотность ?(?) потенциала двойного слоя V непрерывна на ?, то существуют предельные значения потенциала V⁺ и V^?на ?, которые определяются равенством

0

2

0

0

0
V ^±(x ) = ? ¹ ?(x ) + V (x ), x

? ?. (16)

??
В (16) по определению V ^±(x₀) = lim V (x) при x ?^±,x₀ ?; V (x₀) прямое

x?x₀

значение потенциала двойного слоя на поверхности ?

^{Теорема 4.} Если плотность µ(?) потенциала простого слоя W непрерывна на ?, то существуют предельные значения нормальной производной потенциа- ла ?W⁺/?nи ?W^?/?nна ?, которые выражаются по формуле

?W^±(x₀) 1

?W (x₀)

_?n = ±₂ µ(x₀) +

. (17)

?n

??
Здесь ?W^±(x₀)/?n = lim ?W (x)/?nпри x ?^±,x₀ ?.

x?x₀

Последнее слагаемое в (17) называется прямым значением нормальной произ- водной потенциала простого слоя. Это значение можно получить, дифференцируя выражение для Wв (10) по внешней нормали nк ?, проходящей через точку x. При

x = x₀ ? ? получим

?W (x₀) ₌

?n




Z
µ(?)^?E(x0,?)d?. (18)

?n

?

Можно показать, что если плотность µ(?) измерима и ограничена, то интеграл в

(18) сходится.

5. 
   Поставим сразу четыре краевые задачи для уравнения Лапласа (1): найти функцию u(x), гармоническую в ?⁺ или ?^?и удовлетворяющую либо условию за- дачи Дирихле (12), либо условию задачи Неймана (13). Функции ?(x) и ?(x) будем считать непрерывными на замкнутой ляпуновской поверхности ?, ограничивающей рассматриваемые области.
   

Решение задачи Дирихле будем искать в виде потенциала двойного слоя

u(x) = V(x), x??⁺(?^?), (19)

а решение задачи Неймана в виде потенциала простого слоя

u(x) = W(x), x??⁺(?^?), (20)

потребовав, чтобы соответствующие плотности ?(x) и µ(x) были непрерывны на ?. Любая из формул (19), (20) дает гармоническую функцию uкак в ?⁺, так и в ?^?.

Осталось удовлетворить только краевым условиям. Следует заметить, что решение внешней задачи Дирихле не всегда можно представить в виде (19), так как оно может иметь порядок убывания на бесконечности O(|x|^2?m), в то время как потенциал V

убывает быстрее и имеет порядок O(|x|^1?m).

Перейдем в (19) и (20) к пределу при x ? x₀ ? ? из ?⁺ и ?^?. Тогда при учете (12), (13), (16) и (17), заменив обозначение x₀ на x, получим четыре интегральных

уравнения относительно неизвестных плотностей ? и µ, непрерывных на ?

Z?
?(x) ²


?
|S₁|

µ(x) + ²

|S₁|

?(x) +²


Z?
|S₁|

µ(x) ²


?
|S₁|

?E(x, ?)

?(?) _?? d? = ?2?(x), x??, (21)

Z
?E(x, ?)

µ(?) _?n d? = 2?(x), x??, (22)



Z
?E(x, ?)

?(?) _?? d? = 2?(x), x??, (23)


?E(x, ?)

µ(?) _?n d? = ?2?(x), x??. (24)

Уравнения (21) и (22) отвечают внутренним задачам Дирихле и Неймана соот- ветственно, а (23) и (24) соответствующим внешним задачам.

Ядра интегральных уравнений (21) (24) ?E/?? и ?E/?n имеют слабую особен- ность. Действительно

?E ?E

_?? = _?r cos(?, r) = ?

cos (?, r) _rm?1 ^,

?E

_?n = ?

cos (n, r)

_rm?1 . (25)

Для ляпуновской поверхности имеет место оценка


? ?
|cos (?,r)|?Cr,|cos (?,r)|?Cr,C= const,0 <??1.(26)

Таким образом, уравнения (21) (24) интегральные уравнения со слабой (ин- тегрируемой) особенностью (порядок особенности меньше размерности поверхности ?). Эти уравнения могут быть приведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, и поэтому их также называют фредгольмовскими. Так, если в двумер- ном случае перейти от координат точек x, ? на ? к их дуговым координатам, то ядра уравнений оказываются непрерывными функциями новых координат и, следо- вательно, являются фредгольмовскими. Тем самым теория, развитая для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, применима и к уравнениям (21) (24).

Важным свойством этих уравнений является то, что уравнения (21) и (24), а также (22) и (23) попарно сопряженные. Действительно, так как ядра ?E/?? и

?E/?nвещественны и получаются одно из другого перестановкой аргументов, то они сопряженные.

Исследование каждой из этих пар интегральных уравнений для случая регуляр- ной поверхности ?, которая является одновременно и ляпуновской с показателем ? = 1, приводит к следующему:

1^?. Внутренняя задача Дирихле разрешима для любой непрерывной функции

?(x), и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя (19).

2^?. При m > 2 внешняя задача Неймана разрешима для любой непрерывной функции ?(x), и решение можно представить в виде потенциала простого слоя (20). 3^?. Необходимым и достаточным условием разрешимости внешней задачи Нейма-

на при m= 2, а также внутренней задачи Неймана при любом mявляется равенство

Z
?(x)d? = 0, (27)

?
которому должна удовлетворять заданная на ? непрерывная функция ?(x). Решение можно представить в виде потенциала простого слоя.


Z
4^?. Необходимым и достаточным условием разрешимости внешней задачи Дири- хле является равенство

?(x)µ₀(x)d? = 0, (28)

?

которому должна удовлетворять заданная на ? непрерывная функция ?(x). Здесь µ₀(x) нетривиальное решение однородного интегрального уравнения, соответству- ющего уравнению (22) для внутренней задачи Неймана. В этом случае решение внеш-

ней задачи Дирихле может быть представлено в виде потенциала двойного слоя, убывающее на бесконечности как |x|^1?m.

Если равенство (28) не выполняется, то решение внешней задачи Дирихле нельзя

представить в виде потенциала двойного слоя. Однако разрешимость внешней зада-

чи Дирихле все же имеет место для любой непрерывной функции ?(x), при этом решение представимо в виде

u(x) = ¹ Z



_?(?)?E(x,?)_{d? +} 1 ^Z


?(?)d?. (29)

|S₁|??|S₁||x|^m?2


ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.
   
2. 
   Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
   
3. 
   Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных произ- водных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.
   
4. 
   Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.
   
5. 
   Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968, СПб., 2002.
   
6. 
   Петровский И. Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М., 1961.
   
7. 
   Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2, 5.
   
8. 
   Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.-Л., 1950.
   
9. 
   Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: На- ука, 1972.