Задачи 1 модуль простые процениты. Харківський навчальнонауковий інститут двнз Університет банківської справи

• Название: Харківський навчальнонауковий інститут двнз Університет банківської справи
• Дата: 07.03.2019
• Размер: 55.74 Kb.
• Имя файла: Задачи 1 модуль простые процениты.docx
• Тип: Документы; #69796

Харківський навчально-науковий інститут

ДВНЗ «Університет банківської справи»

Самостійна робота №1

з дисципліни: Оптимізація бізнес-процесів
Модуль 1: Прості відсотки

Зірка О.О.

Спеціальність: 071 « Облік та оподаткування»

Курс 1, група 104-ООIIмХ
Викладач: Піскунов Р.О.

Харків, 2019

Варіант 1
Завдання 1.1
Скільки отримає вкладник через рік, поклавши сьогодні 5 тис. грн. на депозит у надійний банк під 10 % річних, за умови відсутності проміжних надходжень або витрат на цьому депозитному рахунку.

Розв’язання:

Відповідно до формули через рік отримаємо:

5 × (1 + 0,10) = 5,5 тис. грн.

Отже, якщо вкласти кошти на один рік, у разі існування річної норми дохідності 10 %, теперішня сума 5 тис. грн. буде еквівалентною майбутній сумі 5,5 тис. грн.
Завдання 1.2
Знайти теперішню вартість грошей при наступних умовах: майбутня вартість 8 тис. грн; відсоткова ставка 10 % річних, за умови відсутності проміжних надходжень або витрат на цьому депозитному рахунку; термін – 1 рік.

Теперішня вартість відомої майбутньої суми - це величина, яку розраховують за формулою (1.2):



де r - ставка дисконтування (наявна на ринку норма доходності).
Величину , що входить до складу формули (1.2), називають множником дисконтування (приведення) вартості.

Отже, величину теперішньої вартості обчислюють через операцію дисконтування (приведення) відомої кінцевої суми за відомою нормою дохідності, яку в цьому разі називають ставкою дисконтування.

Повертаючись до умов Завдання 1.1, неважко розрахувати, що:



Отже, 8 тис. грн, які будуть отримані через рік за річної ставки дохідності 10 %, станом на теперішній момент часу коштуватимуть 7272,72 тис. грн
Завдання 1.3
Розглянемо методику нарощування коштів за правилом простих відсотків на прикладі.

Маємо: теперішня вартість PV = 1 000 грн, ставка дохідності r = 10 %.

Знайти майбутню величину відомої теперішньої суми.

Розв’язання:

За правилом простих відсотків (формула (1.3)) майбутня величина відомої теперішньої суми дорівнюватиме:
FV= 5000+500х4= 7000 грн, якщо n=4;
Неважко побачити, що послідовність нарощених за правилом простих відсотків сум є арифметичною прогресією.
Завдання 1.4
Вкладник поклав на банківський депозит 2 000 грн. під 11,5 % річних строком на 4 місяців. Який капітал він матиме по закінченні депозитного договору за правилом простих відсотків?

Розв’язання:

Обчислимо нарощену суму SI за формулою (1.4):

SI= 2000х0,115 х = 75,90 грн.

Тоді його кінцевий капітал за формулою (1.3) дорівнюватиме:

FV=2000+75,90=2075,90 грн
Отже, по закінченні депозитного договору вкладник отримає з банківського рахунку 2075,90 грн.
Якщо б, наприклад, умовами договору передбачалася щомісячна виплата відсотків, то вкладник мав би можливість отримувати щомісячно:
SI= 2000х0,115 х = 19,16 грн що за півроку склало б 76,64 грн.
Завдання 1.5
Маємо: теперішня вартість PV – 2 000 грн., річна ставка відсотка r= 10 %, n = 4 роки. Знайдемо майбутню вартість та величину простого відсотка.

Майбутня вартість через 2 періоди становить: FV₃- 8200 грн., а розмір простого відсотка, відповідно, SI₃= 800 грн.

Збільшимо ставку нарощування вдвічі: r = 20 %.

Нарощена сума (величина простого відсотка) за формулою (1.4) у цьому разі теж збільшиться вдвічі:

SI= 2000х0,2х2 =800 грн

Нова майбутня вартість дорівнюватиме:

FV^* = 9000 грн.

Кінцева сума (майбутня вартість) при цьому збільшиться лише у:

= 1,09 рази

Завдання 1.6
Ставка доходності r = 11,5 %. Через скільки періодів нарахування за правилом простих відсотків початкова сума збільшиться вдвічі?

Розв’язання:

Маємо: (1 + 0,115 × п) = 2.

= (2-1)/ 0,115= 8,69

Звідси п = 8,69 років.
Іншим варіантом подвоєння початкової суми за правилом простих відсотків є нарощення коштів протягом 11,5 періодів часу за ставкою 8,69 %.
Завдання 1.7
За фінансовою угодою, укладеною на 1 рік, початкова вартість складає 20 тис. грн. Передбачено такий порядок нараховування простих відсотків: перший квартал – 15 % річних, а за кожний наступний квартал до закінчення фінансового року ставка підвищується на 3 % річних.

Знайти: 1. Майбутню вартість по закінченні контракту. 2. Середню ставку дохідності за простими відсотками. 3. Середній квартальний приріст вартості.

Розв’язання:

1. Знайдемо майбутню вартість, що утвориться по закінченні контракту.

Оскільки прості відсотки нараховують один раз за квартал, то потрібно річні відсотки перевести у квартальні. Тоді ставка дохідності за перший квартал r₁ = 5 %, за другий квартал r₂ = 5,75 %, за третій - r₃ = 6,5 % і за четвертий квартал r₄ =7,25 %.

Тоді за формулою (1.7) маємо:
FV= 20х (1+0,05+0,0575+0,0650+0,0725)= 20х 1,245 =24,9 тис. грн
Зазначимо, що у разі фіксованої річної ставки дохідності r = 20 % майбутня вартість теперішніх 20 тис. грн. становитиме лише 24 тис. грн.

Зрозуміло, що у випадку застосування плаваючих ставок дохідності нарощування вартості відбувається нерівномірно. Так, у завданні 1.7 нарощена за рік величина простого відсотка розміром 4,9 тис. грн. сформована за рахунок отримання 0,5 тис. грн. за перший квартал; 0,575 тис. грн. - за другий; 0,650 тис. грн. - за третій та 0,725- за четвертий.

2. Розрахуємо середню ставку дохідності за умовами завдання 1.7:

R= (5%+5,75%+6,50%+7,25%)/4=6,125 %

Таким чином, середня ставка дохідності простих відсотків становить 6,125 % на квартал або 24,5% річних.

3. Аналогічно за умовами завдання 1.8 можна знайти і середній квартальний приріст вартості. Якщо нарощена вартість за рік дорівнює 2,6 тис. грн., то середній приріст у квартал складатиме: 4,9тис. грн./4=1,225 тис.грн.

Завдання 1.8
Вкладник має в банку два рахунки: розрахунковий та поточний. За умовами договору на залишки, що є на розрахунковому рахунку на кінець місяця, банк кожного місяця нараховує простий відсоток за ставкою r = 12 % річних та переводить цю нарощену суму на поточний рахунок.

Існують узагальнені дані про рух коштів на розрахунковому рахунку (табл. 1.8). Необхідно визначити, яка сума акумулюється на поточному рахунку через 1 місяці, якщо протягом цього часу кошти з поточного рахунку не знімалися, та відсотки на суму, що значиться на поточному рахунку, не нараховувалися.

Таблиця 1.8

Узагальнені дані про рух коштів на розрахунковому рахунку

Період часу, місяці	Рух коштів, тис. грн
1	50
2	+ 10
3	 20
4	 30
Разом за 4 періоди	–

Розв’язання:

Визначимо залишок на кінець періоду і простий відсоток (табл. 1.9).
Таблиця 1.9

Визначення суми, яка акумулюється на поточному рахунку через 4 місяці

Період часу, місяці	Рух коштів, тис. грн	Залишок на кінець періоду, тис. грн	Простий відсоток, тис. грн
1	50	50	0,5
2	+ 10	60	0,6
3	 20	40	0,4
4	 30	10	0,1
Разом за 4 періоди			1,6

Отже, у разі нараховування 1 % кожного місяця на величину залишків, через 4 місяці на поточному рахунку буде сума 1 600 грн.

Завдання 1.9 [33, с. 25]

Рух коштів на рахунку характеризується наступними даними: 05.02 надійшло 12 тис. грн., 10.07 знято 4 тис. грн. і 20.10 надійшло 8 тис. грн. Знайти суму на рахунку на кінець року. Відсоткова ставка 18 % річних.

Розв’язання:

Спочатку визначимо відсоткову ставку за один день: .

Розрахунок суми відсоткових чисел наведено у наступній таблиці.

Таблиця 1.10

Розрахунок суми відсоткових чисел

Дата	Рух коштів	Залишок	Строк	Відсоткове число
05.02	12	12	155	18,6
10.07	- 4	8	102	8,16
20.10	8	16	72	11,52
31.12	-	16	-	-
Итого				38,28

Сума відсотків за весь строк дорівнює 0,049315×38,28 = 1, 888 тис. грн.
Поняття часової бази розрахунків. Комерційні та точні прості відсотки [20, с. 27-29]
Розрахунки за методом простих відсотків ускладняються у випадках, коли строк угоди не дорівнює цілому числу періодів нарахування (років, кварталів, місяців тощо).

Прикладом такої фінансової угоди є будь-яке короткострокове боргове зобов’язання зі строком погашення, меншим від одного року, за наявності лише річної ставки дохідності для цього зобов’язання. В такому разі, приведення параметрів фінансової операції до одних одиниць виміру передбачатиме вираження строку фінансової угоди п у частках року:

(1.8)

де t (time)- кількість днів, які залишилися до кінця фінансової операції; y (year) - кількість днів у році (часова база розрахунків).

З урахуванням виразу (1.8) класичну формулу (1.3) для нарощування вартості за правилом простих відсотків, можна записати так:

(1.9)

Рівняння (1.9) порівняно з класичним виразом (1.3) містить більше параметрів, які впливають на майбутню вартість. Розглянемо спочатку параметр y - так звану «часову базу розрахунків».

У фінансових обчисленнях застосовують два варіанти часової бази розрахунків:

1.   y = 360 днів (тобто вважають, що у році 12 місяців по 30 днів - так званий «фінансовий рік»);

2.  y = 365 або 366 днів (визначають точну кількість днів у році).

У першому випадку отримують так звані комерційні відсотки, а в другому - точні відсотки.

Нарощування за точними відсотками (точне врахування часової бази), за інших рівних умов, завжди зумовлює менше зростання теперішньої вартості, ніж за комерційними відсотками.

Отже, різна методика обчислення часової бази розрахунків, призводить до розбіжностей щодо отриманих кінцевих результатів стосовно ефективності виконаної операції. Тому, у фінансових обчисленнях завжди обумовлюють методику розрахунку тривалості фінансової угоди, оскільки, при досить великих сумах коштів, навіть похибка в один день може призвести до значних збитків.

Крім того, оцінюючи тривалість угоди t, можна розглядати як точну кількість днів, так і приблизну, припустивши, що в кожному місяці по 30 днів.

Таким чином, мають економічний сенс та застосовуються на практиці три варіанти розрахунків за простими відсотками:

1. ACT/ACT або 365/365 - точні відсотки з точною кількістю днів угоди. Цей метод обчислень називають математичним методом. Його використовують, зокрема, банки Англії та США, тому іноді його називають англійським підходом.

2. ACT/360 або 365/360 - комерційні відсотки з точною кількістю днів угоди. Цей метод має назву банківський метод. Він поширений у Франції, Бельгії, Швейцарії, тому іноді його ще називають французьким підходом.

3. 360/360 - комерційні відсотки з наближеною кількістю днів угоди. Він поширений у Німеччині, Швеції, Данії, тому іноді його ще називають німецьким підходом.

Оскільки в більшості випадків точна кількість днів в угоді більша від приблизної (середня річна кількість днів у місяці становить 30,58), то точне врахування кількості днів угоди за інших рівних умов зазвичай збільшує майбутню вартість. Тобто за банківським (французьким) методом нарощування вартості, як правило, відбувається швидше, ніж за німецьким методом. Крім того, за банківським методом вартість завжди нарощується швидше, ніж за математичним (англійським) методом.

Зрозуміло, що вибір методу обчислень часової бази простих відсотків насамперед залежить від цілей цих обчислень. На нашу думку, доцільно застосовувати або математичний (англійський) метод, як найточніший, або німецький метод, як найпростіший.

Знаючи порядкові номери днів у році (Додаток 1), легко обчислити точну тривалість фінансової операції, отже й визначати нарощену вартість не лише за німецьким, але й за французьким та англійським методом.
Завдання__1.1_6'>Завдання__1.1_4'>Завдання 1.10 [33, с. 26]

100 тис. грн. покладено 1-го січня 2015 року на місячний депозит під 20 % річних. Операція повторюється 3 рази. Яка різниця нарощеної суми при використанні ACT/ACT та 360/360?

Розв’язання:

Якщо нараховувати точні відсотки (365/365), тоді:

тис. грн.

Нарахування звичайних відсотків (360/360) при реінвестуванні дають:

тис. грн.

Різниця нарощеної суми при використанні ACT/ACT та 360/360 складає:

- 0,071 тис. грн.
Завдання 1.11 [33, с. 32]

Через 180 днів після підписання договору боржник сплатить 310 тис. грн. Кредит виданий під 16 % річних. Яка первісна сума боргу за умови, що тимчасова база дорівнює 365 дням?

Розв’язання:

Згідно (1.9) знайдемо:

грн.

Завдання 1.12

27 вересня невисокосного року підприємство взяло банківський кредит для поповнення обігових коштів на суму 500 тис. грн. строком на 120 днів під 24 % річних на умовах ACT /ACT.

Визначити дату погашення кредиту та річні витрати підприємства на погашення відсотків по кредиту.

Розв’язання:

Згідно таблиці, що наведена в Додатку 1, дата 27.09 має порядковий номер 270 з початку року. Оскільки (270 + 120) > 365, то кредитна угода буде відображена в двох роках.

До кінця року пройде (365 - 270) + 1 = 96 днів. Після цього, у наступному році до погашення кредиту залишиться ще (120 - 96) = 24 дні. Отже, дата погашення - 24 січня наступного року.

Величина простого відсотка за весь строк дії кредитної угоди з урахуванням рівняння (1.9) та методики ACT/ACT дорівнюватиме:

тис. грн.

Величина виплачених відсотків за перший рік складатиме:

тис. грн.

А за другий рік, відповідно:

тис. грн.

Зрозуміло, що загальна сума відсотків по кредиту дорівнюватиме сумі відсоткових виплат за ціх два роки, тобто:

31,562 + 7,89 = 39,452 тис. грн.

Проте, в багатьох випадках, знання загальної суми відсотків по кредиту є недостатнім, оскільки з погляду управлінської та фінансової звітності важливими є фінансові результати, доходи та витрати, які розбиті хоча б по роках їх отримання (Взагалі для більшості форм фінансової звітності, що надається у контролюючі органи, звітним періодом є квартал).
Завдання 1.13 [20, с. 29-31]
100 тис. грн. 1 січня 2015 невисокосного року було покладено на банківський депозит строком до 27 вересня 2015 року під 12 % річних. Обчислити, на яку суму може розраховувати вкладник по закінченні строку депозитної угоди за різними методиками нарахування простих відсотків.

Розв’язання:

Спочатку знайдемо порядкові номери днів у році за таблицею, що наведена в Додатку 1.

Для невисокосного року 1 січня 1-им днем, а 27 вересня - 147 днем з початку року Точна кількість днів у високосному році y = 365 днів.

Тоді тривалість депозитної угоди дорівнює:
t=(147-1)+1)=147 днів
Тепер оцінимо кінцеву суму, що утвориться на депозитному рахунку за формулою (1.9).

Перший варіант - ACT / ACT - точні відсотки з точною кількістю днів угоди (математичний метод):

FV=100 x (1+0,12x)= 45,106 тис. грн.
Завдання 1.14
Є зобов’язання погасити за 19 місяців (з 14.01. 2014 по 14.08.2015 р.) борг у сумі 1 млн. грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 16 % річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (у тис. грн.):

14.06 2014 р. - 500 000;

14.06.2015 р. - 5 000;

30.06.2015 р. - 8 000;

14.08.2015 р. ?

Розв’язання:

Рішення представимо в наступній послідовності:

12.03.2014. Борг 15 000

12.06.2014. Борг із відсотками [ 15 000 ×( __+___/__ )] = ______

Надходження ____

(Оскільки сума, що надійшла, менше нарахованих відсотків ( ____ ), то вона приєднується до наступного надходження)

12.06.2015. 1. Борг із відсотками [_______×( __+_____+____ )] = _______

2. Надходження ____ + 5 000 _______

3. Залишок боргу _______

30.06.2015. 1. Борг із відсотками: [] = ________

2. Надходження 8 000 -8 000
3. Залишок боргу _______

12.09.2015. Борг із відсотками (відповідно формулі 1.9, «t» дорівнює

30 * 2 місяці + 12 днів): [] = 5 597,8

Завдання 1.15
Зобов’язання (1 млн. грн.), датоване 14.01.2014, повинне бути погашене 14.08.2015. Позичка видана під 16 % річних. У рахунок погашення боргу 14.06.2014. надійшло 500 тис. грн.

Необхідно знайти залишок боргу на кінець строку

Розв’язання:

Залишок боргу на кінець строку за правилом торговця складатиме:

З= 1 х(1+0,16х )-0,5х (1+0,16х )= 0,89 млн. грн.

У свою чергу, при застосуванні актуарного методу одержимо:

З= ( 1+0,16х )-0,5 х ( 1+0,16х)= 1,13 млн. грн.
Завдання 1.16
Передбачається розмістити 2 000 дол. на гривнєвий депозит. Курс продажу на початок строку депозиту 8,5 грн. за $1, курс покупки долара наприкінці операції 8,65 грн. Відсоткові ставки: r_грн. = 18 %; Строк депозиту - 4 місяці.

FVскв.= 2000 x x (1+0,18x0,33) =2083,2 долл.
Продовжимо аналіз і поставимо перед собою інше завдання - виміряємо прибутковість операції в цілому. Як вимірник прибутковості за строк операції приймемо просту річну ставку відсотка r_e (rate effective). Ця ставка характеризує ріст суми PV_cкв. до величини FV_скв.:

=(2083,2-2000/ (2000х 0,33)=0,126 = 13% річних

Перевіримо:

FVскв.= 2000х (1+0,126х0,33)=2083,16

Завдання 1.17
Припустимо, необхідно помістити на валютному депозиті суму в гривнях (1 млн.). Решта умов - із завдання 1.16

Розв’язання:

Нарощена сума в гривнях до кінця строку дорівнює:
FVскв. = 2000х (1+0,11х0,33)х (8,65/8,5)=2106,6 тис грн.
Перейдемо тепер до аналізу ефективності операції:



Підставивши у формулу, отримаємо:

r_e = (2106,6-2000)/ 660= 0,16 (16% річних)
Перевіримо:

FVскв.= 2000х (1+0,16х0,33)=2105,6
Завдання 1.18
Державні короткострокові облігації (ДКО) номіналом 11 тис. грн. з терміном обігу 2 місяців продаються в день випуску за ціною 5,5 тис. грн., а через 60 днів - за ціною 6 тис. грн. Визначити прибутковість облігацій до погашення і поточну прибутковість.

Розв’язання:

У даному прикладі по суті дві задачі.

1) визначити прибутковість до погашення.

Дано: FV = 11 тис. грн.; PV = 5,5 тис. грн.; t = 2 місяців; y = 12 місяців

Знайти: r_{погашення}

r_{погашення =}(11-5,5)х12/ (5,5х2) = 6 (600 % річних)
2) визначити поточну прибутковість. Передбачається, що ДКО, куплені в момент випуску за 6 тис. грн., будуть продані через 60 днів за 5.5 тис. грн.

Дано: FV= 6; t = 60 днів; y = 360 днів

Знайти: r_{поточна}

(6-5,5)х360 / (5,5х60)= 0,545 (54,5 % річних)

Завдання 1.19
Курс ДКО з терміном обігу 61 день у день випуску дорівнює 35 %. Оцінити прибутковість цього цінного папера до погашення. Дано: FV/PV = 0,35; t = 61 день; y = 365 днів; Знайти: r_{погашення}

Розв’язання:

R погашення =((1/0,35)-1х365) / 61 = 11,11 (1111 % річних)
Завдання 1.20
Долари США, куплені за курсом 22.0 грн за 1 долар, продали через 3 місяці за курсом 22,5 за 1 долар. Обчислити прибутковість операції. Дано: FV = 22,5; PV=22,0; t = 2 міс; у = 12 міс; Зайти: r
Розв’язання:
r=((22,5-22)х12)/22х2=6/44=0,136 (13,6 % річних)