Главная страница

институциональная экономика коллоквиум 1 бизнес-информатика 4 курс 2018 год. Институциональная экономика вопросы к коллоквиуму


Скачать 1.78 Mb.
НазваниеИнституциональная экономика вопросы к коллоквиуму
Анкоринституциональная экономика коллоквиум 1 бизнес-информатика 4 курс 2018 год
Дата31.10.2019
Размер1.78 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаInstitutional_Economics.pdf
ТипДокументы
#92908
страница2 из 6
1   2   3   4   5   6
U (EW ) = (p
1
− π) ∗ u(W
1
) + (p
2
+ π) ∗ u(W
2
)
8.3
Справедливая премия
Указанные выше величины могут быть рассчитаны только для справедливых лотерей, но что де- лать, если лотерея несправедлива (то есть текущее состояние или гарантированный выигрыш ин- дивида не равен ожидаемому выигрышу лотереи)? В таком случае мы можем сделать поправку на величину, называемую справедливой премией (fair premium) и равную разности между началь- ным состоянием и ожидаемым выигрышем:
r

= W
0
− EW
9
Отношение к риску
Чтобы анализировать поведение индивида, нам нужно сначала понять, как он относится к риску - от этого напрямую зависит, какие из лотерей он предпочтет другим.
Определить отношение индивида к риску можно по виду его функции полезности, т.к. он опреде- ляет значения полезности, получаемые индивидом от фиксированных значений и лотерей:
(a) Индивид-рискофоб
(b) Нейтральный к риску индивид
(c) Индивид-рискофил
Точки, соответствующие лотереям с выигрышами W
1
и W
2
, находятся на отрезках, соединяющих соответствующие точки на кривой полезности. Мы видим, что для выпуклой функции этот отрезок
10
всегда будет лежать ниже кривой (что говорит о том, что для индивида всегда предпочтительнее получить гарантированно средний выигрыш, чем играть в лотерею, что говорит о его рискофоб- ности), для линейной функции отрезок лежит на кривой (индивиду безразлично, играть в лотерею или нет - он риск-нейтрален), для вогнутой функции - выше кривой (для индивида предпочти- тельней лотерея и он рискофил).
Именно по сравнению ожидаемой полезности и полезности от матожидания и определяют характер отношения к риску индивида:
• Рискофоб: U (EW ) > E[U |L]
• Риск-нейтральный: U (EW ) = E[U |L]
• Рискофил: U (EW ) < E[U |L]
Мы можем также проследить характер индивида на треугольнике Маршака-Машина. Для этого на нем дополнительно нужно задать кривые постоянного ожидаемого выигрыша, которые задаются похожим образом на кривые безразличия (См. пункт 4):
(
p
1
∗ W
1
+ p
2
∗ W
2
+ p
3
∗ W
3
= const,
p
1
+ p
2
+ p
3
= 1
p
2
= 1 − p
1
− p
3
=⇒ p
1
∗ W
1
+ (1 − p
1
− p
3
)W
2
+ p
3
∗ W
3
= const =⇒
=⇒ p
3
=
const − W
2
W
3
− W
2
+
W
2
− W
1
W
3
− W
2
p
1
=⇒ p
3
= const +
W
2
− W
1
W
3
− W
2
p
1
Если мы посмотрим на относительное расположение кривых безразличия и кривых постоянного ожидаемого выигрыша (определяемое их углами наклона), мы можем определить отношение к рис- ку индивида. Кривые постоянного ожидаемого выигрыша являются, по сути, аналогом бюджетных линий из общей теории выбора потребителя.
(a) Кривые безразличия рискофоба пересекают
КПОВ ближе к точкам с высоким p
2
(b) Кривые безразличия рискофила пересекают
КПОВ ближе к точкам с низким p
2
Для рискофоба кривые безразличия пересекут КПОВ ближе к началу координат, то есть он пред- почтет из доступных ему лотерей ту, которая ближе всего к гарантированному выигрышу. Для рискофила же точки пересечения будут лежать на отрезке, где p
2
= 0. Учитывая, что p
1
, p
2
и p
3
- обычно вероятности возрастающих по величине выигрышей, точки лежащие на отрезке, соответ- ствуют наиболее рисковым лотереям, где индивид получает либо много, либо мало, но не что-то посередине.
11

10
Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта и функции CARA
10.1
Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта
Учитывая, что различные виды отношения к риску соответствуют различным видам кривых без- различия, кажется логичным оценивать численно степень несклонности к риску при помощи второй производной, являющейся мерой выпуклости/вогнутости.
Основная проблема данного подхода в том, что мы договорились использовать функции полезно- сти с точностью до аффинного преобразования (то есть a ∗ u(x) + b эквивалентна u(x), при a > 0),
поэтому для двух функций полезности, которые на практике будут считаться одинаковыми, зна- чения второй производной будут различны. Поэтому нам необходимо на что-то нормировать эту вторую производную.
Если мы посмотрим, как вторая производная изначальной функции полезности соотносится со второй производной аффинного преобразования, мы поймем, на что ее можно нормировать:
u
2
(x) = au
1
(x) + b u
0 2
(x) = au
0 1
(x)
u
2 00
(x) = au
1 00
(x)
Если мы хотим, чтобы меры соответствовали друг другу, нам достаточно разделить вторую про- изводную на первую:
R =
u
00
(x)
u
0
(x)
R
2
=
u
2 00
(x)
u
2 0
(x)
=
au
1 00
(x)
au
1 0
(x)
=
u
1 00
(x)
u
1 0
(x)
= R
1
Функция R
A
= −
u
00
(x)
u
0
(x)
называется абсолютной мерой несклонности к риску Арроу-Пратта и берется с минусом, чтобы обеспечить ее возрастание вместе с ростом несклонности (т.к. вторая производная тем меньше, чем "линейнее"функция).
Учитывая, что первая производная функции полезности всегда больше нуля (она возрастает), мож- но определить, какие значения R
A
соответствуют различным видам отношения к риску:
• Рискофоб: R
A
> 0
• Риск-нейтральный: R
A
= 0
• Рискофил: R
A
< 0
Ранее мы обсуждали, что чем больше r (рисковая премия), тем больше несклонность индивида к риску, то же верно и для R
A
. Более того, эти две величины напрямую зависимы друг от друга по формуле:
r =
1 2
R
A
(w)σ
2
,
где σ
2
- дисперсия лотереи.
12

10.2
Constant Absolute Risk Aversion
В общем виде функция R
A
зависит от значения W , однако на практике достаточно тяжело опреде- лить влияние богатства индивида на его склонность к риску: с одной стороны, чем богаче индивид,
тем несущественней дял него небольшие потери, и он может начать вести себя более рисково, чем если бы его состояние было меньше. С другой, ожидаемый выигрыш при увеличении богатства тоже становится менее ощутимым, что может сделать его относительно "не стоящим риска".
Поэтому для анализа мы часто хотим предположить, что богатство не влияет на склонность к риску, и для этого нам нужны соответствующие функции, которые можно вывести напрямую из определения R
A
, приравняв его к константе и проинтегрировав обе части:

u
00
(x)
u
0
(x)
= const = R
A
d ln u
0
(x) = −R
A
ln u
0
(x) = −R
A
w + C
u
0
(x) = Ce
−R
A
w u(x) = −
C
R
A
e
−R
A
w
+ C
1
C учетом того, что мы рассматриваем функции с точностью до аффинного преобразования:
u(x) = −e
−R
A
w
Данный вид функций называется функциями CARA (Constant Absolute Risk Aversion) и они позволяют исследовать предпочтения индивида без учета ее богатства до участия в лотерее.
11
Спрос на страхование
11.1
Модель спроса на страхование
В предположении о том, что сумма потерь при неудачном исходе известна и плата за страхов- ку составляет процент от суммы, мы хотим оценить, на сколько застрахуется индивид-рискофоб,
максимизирующий свою ожидаемую полезность:
max q
U (L) = π ∗ u(W
0
− L − pq + q) + (1 − π) ∗ u(W
0
− pq),
где W
0
- начальное богатство индивида, L - его потери при страховом случае, p - ставка оплаты за страховку (в процентах от покрытия), q - размер покрытия, π - вероятность страхового случая.
Если мы решим это через первую производную:
π ∗ (1 − p) ∗ u
0
(W
0
− L − pq + q) − (1 − π) ∗ p ∗ u
0
(W
0
− pq) = 0 1 − π
π

u
0
(W
0
− pq)
u
0
(W
0
− L − pq + q)
=
1 − p p
13

Рассмотрим эту задачу с точки зрения страховщика. Если рынок конкурентен, то страховщик будет получать нулевую экономическую прибыль (т.к. любая попытка получить сверхприбыль приведет к проигрышу в конкурентной борьбе). Поэтому мы можем найти ставку p, которую возьмет стра- ховщик за свой риск, если приравняем его ожидаемую прибыль к нулю:
E[π] = (1 − π)pq + π(pq − q) = 0 =⇒ p = π
То есть на справедливом рынке страховщик запросит ставку, равную вероятности страхового слу- чая. Если мы подставим это в полученное ранее уравнение, мы можем найти сумму страхования:
1 − π
π

u
0
(W
0
− pq)
u
0
(W
0
− L − pq + q)
=
1 − π
π
u
0
(W
0
− pq) = u
0
(W
0
− L − pq + q)
Учитывая, что мы говорим о рискофобе, u’(x) будет монотонной, и поэтому равенство значений функции эквивалентно равенству аргументов:
u
0
(W
0
− pq) = u
0
(W
0
− L − pq + q) =⇒ W
0
− pq = W
0
− L − pq + q =⇒ q = L
На справедливом рынке индивид будет страховаться ровно на сумму потери, что эквивалентно тому, что заплатит r

(fair premium) - можно проверить, что r

= πL, посчитав средний выигрыш без страхования и далее вычислив по формуле.
В случае, если рынок неконкурентен, монополист или олигополисты смогут увеличить цену, и p > π. В таком случае:
u
0
(W
0
− pq)
u
0
(W
0
− L − pq + q)
< 1
Т.к. u’(x) монотонно убывает:
u
0
(W
0
− pq) < u
0
(W
0
− L − pq + q) =⇒ W
0
− pq > W
0
− L − pq + q =⇒ q < L
То есть на несправедливом рынке индивид-рискофоб не будет страховаться на всю сумму.
Неравенство вероятности страхового случая и страховой ставки может возникнуть не только из-за того, что рынок несправедлив, но и просто из-за того, что страховщик и клиент по-разному оцени- вают вероятности наступления страхового случая, поэтому клиент в своем расчете оптимального q использует одну π, а страховщик приравнивает ставку к другому π
0 11.2
Сравнительная статика
То, как изменение различных параметров модели влияет на выбор индивида, проще всего изучать,
применяя такую концепцию, как условные блага. По сути, если мы знаем исходы в лотерее с 2
исходами, то мы можем заменить функцию u(x) на u
W
g и u
W
b
, то есть, полезность при хорошем исходе и плохом исходе. Тогда в координатах W
g и W
b можно изобразить лотерею со страховкой следующим образом:
14

Лотерея в координатах W
g и W
b
. Обратите внимание, что наклон кривой безразличия в пересечении с W
g
= W
b равен
1−π
π
Далее мы будем рассматривать все изменения для справедливого страхования, т.к. для несправед- ливого результаты будут качественно теми же.
11.2.1
Изменение π
В случае повышения вероятности страхового случая (при понижении эффекты будут ровно обрат- ными), кривая безразличия и линия ожидаемого выигрыша станут более пологими (тангенс угла
1−π
π
уменьшается с ростом π). При том, что точка, обозначающая исходы лотереи, неизменна, r∗,
отражающий плату за страхование при справедливом страховании, увеличится:
Лотерея до и после роста π.
11.2.2
Изменение несклонности к риску
Мы уже разобрали выше, что при росте несклонности к риску кривые безразличия становятся более выпуклыми. При этом легко показать, что r∗ вырастет:
15

Лотерея до и после роста несклонности к риску.
11.2.3
Изменение первоначального богатства
В случае роста первоначального богатства, точка, обозначающая исходы, сдвинется вправо и вверх на одно и то же значение. Итоговое изменение спроса будет зависеть от того, как изменяется мера
Арроу-Пратта у индивида - если она постоянна, то значение r∗ не изменится, иначе оно может упасть до некоторого значения r
2
(некорректно называть его справедливой премией, т.к. оно не будет больше ей равно) при убывающей мере и увеличиться при возрастающей:
При постоянной R
A
премия не поменяется.
16

При возрастающей R
A
премия возрастет.
При уменьшающейся R
A
премия падает.
Обратите внимание, что наклон КПОВ не поменялся, т.к. вероятности выигрышей все те же. По- этому та сумма, которую платит индивид, меняется - наклон КПОВ не поменялся, в то время как наклон кривой безразличия в W
g
= W
b
- поменялся.
11.2.4
Эффект от изменения цены
Довольно очевидно, что спрос на страхование будет изменятся в обратную сторону от изменения цены (выше мы показали, что при p > π индивид будет страховаться на q < L). При этом в изменении спроса можно выделить эффекты дохода и замещения. Эффект дохода будет зависеть от убывания/возрастания R
A
. При возрастающем R
A
эффект дохода будет меньше нуля, т.к. при росте цены и падении его относительного богатства он станет более рисковым, поэтому спрос понизится.
12
Обмен в условиях неопределенности. Индивидуальные и системные риски.
Часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда какое-то состояние мира по-разному влияет на разных индивидов. В частности, в одном состоянии мира Алиса может не понести потери, а Боб - поне- сти, а наоборот. Если индивиды при этом несклонны к риску, они могут разделить риск между
17
собой, чтобы вне зависимости от наступившего состояния мира они смогли максимизировать свою полезность.
Риски при этом разделяют на индивидуальные и системные.
Индивидуальный риск - это риск, который несет индивид независимо от других индивидов.
Если индивидуальные риски двух индивидов антикоррелированны (то есть, когда выигрывает один,
проигрывает другой, и наоборот), то они могут успешно застраховать друг друга. Если же их риски независимы или, тем более, коррелированны, возникает системный риск.
Системный риск - риск, возникающий, когда возможна ситуация, что все индивиды в экономике проиграют одновременно (или, если быть точнее, проигрывает достаточно индивидов, чтобы стра- ховое покрытие всех стало невозможным). Допустим, Алиса и Боб выигрывают или проигрывают независимо друг от друга с вероятностью π =
1 2
. В таком случае, с вероятностью
1 4
они оба проиг- рают и не смогут выплатить друг другу страховое покрытие. Другими словами, системные риски возникают, когда в зависимости от исхода может меняться общественное благосостояние.
Мы можем промоделировать взаимодействие двух индивидов, которые хотят заключить страхо- вой контракт при помощи так называемого прямоугольника Эджворта. Его стороны отвечают за различные исходы, и на них отложены суммы, которые при каждом исходе получат индивиды
(соответственно, длина стороны - суммарное богатство индивидов при данном исходе). В этом пря- моугольнике мы можем рисовать лотереи, в которые играют индивиды так же, как и в пространстве условных благ (см. пункт 11.2).
Рассмотрим сначала случай, когда риски индивидов антикоррелированны и симметричны (то есть,
нет системного риска):
Контрактная линия - линия, на которой лежат все точки выигрышей, оптимальные и для Алисы,
и для Боба, здесь совпадает с диагональю. Но это верно только в случае отсутствия системных рисков.
В данном случае Алиса и Боб сойдутся на какой-то точке на диагонали между их кривыми безраз- личия. В случае симметрии (когда отсутствует системный риск) точка контракта будет однозначна,
и она будет в пересечении их общей КПОВ и диагонали.
Теперь рассмотрим случай, когда возможен системный риск. В данном случае прямоугольник Эд- жорта уже не будет квадратом:
18

Теперь контрактная линия уже не лежит на диагонали (т.к. у каждого из индивидов она своя).
Крайние точки, являющиеся точками касания кривой безразличия Алисы с резервной кривой без- различия Боба и кривой безразличия Боба с резервной кривой безразличия Алисы, будут точками,
в которых будут самыми большими выигрыши Алисы или Боба, а сама кривая контрактов будет находиться между ними (и в общем случае не будет прямой). Заметим, что эти точки не находятся на диагоналях Алисы или Боба - это означает, что они не могут застраховаться полностью, что и определяет системный риск.
13
Статические биматричные игры. Наилучшая реакция.
Игра - это некоторая модель взаимодействия двух или более индивидов. Игра представляет собой набор из нескольких множеств:
G = {P, S, U },
где P = {p
1
, p
2
, p
3
...} - множество игроков, S = {{S
1
p
1
, S
2
p
1
, ...}, ...} - семейство множеств стратегий игроков, U = {U
p
1
, ...} - множество функций полезности, или функций выигрыша, игроков.
Игры делятся на статические и динамические - где в первых обычно всего один ход (и игроки ходят одновременно), а во вторых много (и игроки могут ходить как последовательно, так и одновремен- но). Нас интересуют статические.
Поскольку в статических играх всего один ход (можно при этом сказать, что ход и стратегия эквивалентны), их можно представить в виде матрицы исходов в зависимости от стратегий игроков:
H
H
H
H
H
P
1
P
2
S
2,1
S
2,2
S
1,1
U
1 1,1
, U
2 1,1
U
1 1,2
, U
2 1,2
S
1,2
U
1 2,1
, U
2 2,1
U
1 2,2
, U
2 2,2
Мы хотим не только уметь записывать статические игры, но и решать их. Для этого мы можем определить так называемую лучшую реакцию каждого игрокв на действия другого игрока. Возь- мем для примера следующую игру:
H
H
H
H
H
P
1
P
2
L
R
T
3;5 2;4
B
5;3 3;2 19

Для каждого игрока и каждой стратегии его оппонента мы можем отметить его стратегию, при- носящую ему наибольший выигрыш при данной стратегии оппонента:
H
H
H
H
H
P
1
P
2
L
R
T
3;5*
2;4
B
*5;3*
*3;2
Как мы видим, если второй игрок играет стратегию L, наилучшей реакцией первого игрока будет играть стратегию B, и если он играет стратегию R, то лучшей реакцией все равно будет B.
Если первый игрок играет стратегию T , наилучшей реакцией второго игрока будет играть страте- гию L, и если он играет стратегию B, то лучшей реакцией все равно будет L.
В данном случае игроки понимают, что лучшей стратегией первого игрока при любом раскладе будет играть B, а второго - L, поэтому они будут играть эти стратегии. Такие стратегии называются доминирующими, а набор стратегий {B, L} называется равновесием в доминирующих стратегиях.
14
Доминирующие стратегии и доминируемые стратегии. По- следовательное элиминирование строго доминируемых стра- тегий.
1   2   3   4   5   6


написать администратору сайта