|
|
Интегралы. Интегральное исчисление
Индивидуальное домашнее задание № 2
Тема: «Интегральное исчисление»
Вариант___
Задание 1. Определенный интеграл. Интегрирование методом замены переменной.
Вычислить определённый интеграл, заменив переменную и вычислив новые пределы интегрирования. Результат записать в виде обыкновенной дроби.
Решение:
Пусть 
Заменим пределы интегрирования: если
 .
Вычислим дифференциал  . Для его вычисления используем равенство  — если равны функции, то равны и их дифференциалы:
Составим интеграл по переменной  , эквивалентный исходному, и вычислим его значение:
Ответ: 
Задание 2. Интегрирование рациональных функций.
Вычислить определённый интеграл от рациональной функции, разложив её на элементарные дроби. Результат округлить с точностью до 0,001.
Решение:
1) Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей. Для этого вначале вычислим корни многочлена в знаменателе.
Т.о., многочлен можно представить в виде произведения: 
Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух элементарных дробей с неопределёнными коэффициентами:
Т.о., подынтегральная рациональная функция примет вид: 
2) В исходном интеграле заменим подынтегральную функцию и вычислим определённый интеграл с заданной точностью:
Ответ: 
-Задание 3. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции.
Определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями. Пределы интегрирования определить аналитически. Выполнить чертёж в заданном масштабе: за единичный отрезок взять 1 клетку. Результат представить в виде обыкновенной дроби и десятичной дроби с точностью до 0,001.
Решение:
1) Построение.
 — парабола с вершиной в точке с координатами (-2,5; -5,25). Ветви параболы направлены вверх.
 — парабола с вершиной в точке с координатами (3,5;25,25). Ветви параболы направлены вниз.
2) Вычислим аналитически пределы интегрирования:
Пределы интегрирования – это абсциссы точек пересечения парабол.
Абсциссы точек пересечения:
3) Составим интегральное уравнение площади искомой фигуры и вычислим определённый интеграл: {в подынтегральной функции из уравнения верхней кривой вычитаем уравнение нижней кривой}
Ответ: 
Задание 4. Интеграл в физических задачах. Кинематика.
Скорость тела изменяется по закону  . Определить путь, пройденный телом за интервал времени от  до  .
Решение:
Если тело движется с переменной скоростью, то путь, пройденный телом от момента времени до момента времени будет равен интегралу:
Составим интегральное уравнение пройденного пути и вычислим определенный интеграл:
Ответ: 172,9
Задание 5. Интеграл в физических задачах. Работа переменной силы.
Вдоль оси  действует переменная сила  . Определить работу этой силы на участке траектории от  до  . Результаты вычислений округлить до 0,001.
Решение:
Если на тело действует переменная сила , то работа этой силы на интервале от до будет равна интегралу:
Составим интегральное уравнение работы и вычислим определённый интеграл:
Ответ:  Дж
Задание 6. Интеграл в физических задачах. Электродинамика.
Вычислить электрический заряд, переносимый за интервал времени от до секунд через поперечное сечение проводника, если сила тока меняется по закону  . Результаты вычислений округлить до 0,001.
Решение:
Если по проводнику течёт переменный ток, уравнение которого  , то за интервал времени от до секунд через поперечное сечение проводника пройдёт заряд, равный интегралу:
Составим интегральное уравнение и вычислим определённый интеграл:
Ответ:  Кл
Задание 7. Интеграл в физических задачах. Работа и мощность.
Мощность силовой установки в кВт зависит от времени согласно следующему закону: .
Определить работу в кДж, выполняемую этой установкой за время от до . Время задано в секундах. Результаты вычислений округлить до 0,001.
Решение.
Работа, выполняемая силовой установкой, будет равна интегралу:
Составим интегральное уравнение работы:
Подынтегральная функция является дробно-рациональной. (Пошаговый алгоритм решения подобных интегралов в Задании 2)
Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей.
 — корни квадратного уравнения найдём с помощью теоремы Виета.
 и  и  .
Т.о. многочлен в знаменателе можно представить в виде произведения
Подынтегральная функция примет вид:  . Представим её в виде суммы элементарных дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов для вычисления числителей элементарных дробей:
Сравнивая слагаемые числителя, составим систему:
Т.о., подынтегральная функция в виде суммы двух элементарных дробей примет вид:
В исходном интеграле заменим подынтегральную функцию и вычислим значение определённого интеграла:
Ответ:  кДж
-Задание 8. Объём тела вращения.
График функции  вращается вокруг оси  . Определить объём тела вращения в диапазоне  . Результаты вычислений округлить до 0,001. Изобразить график заданной функции в прямоугольной системе координат  .
Решение.
График функции  :
Область определения функции:  заданный интервал  входит в область определения.
Составим интегральное уравнение для вычисления объёма полученного тела вращения.
Ответ:  куб. ед.
Индивидуальное домашнее задание № 2. Тема: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ».
|
|
|
Скачать 138.19 Kb.
