Лагранж решение. Интерполяция функции
 Скачать 109.56 Kb.
|
|
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ Результаты экспериментов обычно бывают представлены ограниченным числом в виде таблиц, отражающих зависимость величины исследуемого явления y от фактора x. При этом величины  , где  , образуют  узловую точку. Для практического применения, как правило, необходимо знать и промежуточные, по отношению к табличным, значения y.Если бы была известна форма зависимости  , то это означало бы, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Но на практике явная связь между y и x обычно неизвестна, поэтому возникает необходимость приближенной замены данной функции  некоторой функцией  . Процедура нахождения функции для данной функции называется приближением функций. Одним из способов выбора приближения функции и является интерполяция. Интерполяция есть восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям. Если интерполирующая функция  строится на всем интервале изменения аргумента  , то такая интерполяция называется глобальной.Если интерполяционные многочлены строятся отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x, то говорят о локальной интерполяции. В тех случаях, когда интерполяционные многочлены используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка  , приближение функции называют экстраполяцией.Интерполирующая функция принимает в узлах те же значения , что и функция , т.е.  , i = 0, 1, …, n. (4.12)Выражение для выбирают так, чтобы оно позволяло достаточно легко вычислять значения интерполирующей функции. После этого полагают  для всех x из . Чаще всего представляют в виде полинома, максимальная степень которого при числе узлов составляет n: . (4.13)Примером глобальной интерполяции могут служить многочлены Ньютона и Бесселя, рассмотренные ниже для случая равноотстоящих значений аргумента, т.е. шаг  = const (i = 1, 2, …, n).Интерполяция полиномами Ньютона Первая интерполяционная формула Ньютона (или интерполяционный многочлендля интерполирования вперед) имеет вид:  , (4.14)где  ,  - конечные разности.Разности первого порядка функции есть:  .Разности второго порядка функции:  .Аналогично составляются разности порядка k:  i = 0, 1,…, n-1.Для удобства конечные разности обычно представляют в виде таблицы, в которую выписываются также значения аргумента x и функции y. Такую таблицу называют таблицей разностей (см. табл. 4.10). Таблица 4.10 Таблица конечных разностей
Вторая интерполяционная формула Ньютона (или интерполяционный многочлендля интерполирования назад) записывается в виде:   , (4.15)где  .Выбор исходной формулы выполняется следующим образом. Для вычисления значения функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка используется формула (4.14), для вычисления функции в точках правой половины отрезка - формула (4.15).Формулы Ньютона удобно применять, если количество узлов интерполяции постепенно увеличивается. При этом учет нового узла требует лишь вычисления одного дополнительного слагаемого в (4.14) и (4.15). Вариант 4 Решенние:  Выводы: Искомое промежуточное, по отношению к табличному, значение давления насыщенного параPпри температуре T= 24oС, рассчитанное по первой интерполяционной формуле Ньютона, равно Q(105 oС) = 2243,91 кДж/кГ, второй интерполяционной формуле Ньютона, равно Q(105 oС) = 2243,91 кДж/кГ. Как видим, результаты с точностью округлений совпадают. Результаты эксперимента – исследование термодинамических свойств воды и водяного пара в состоянии насыщения - представлены в таблице. Решение: Интерполяционная формула Лагранжа (одна из формул, применяемая для не равноотстоящих узлов): Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:  Формула интерполяционного многочлена Лагранжа:  . (4.16n = 4 Подставляя в формулу x=Т= 105, получим : Вывод: Посчитал по формуле Лангранжа получилось 2244,02 Кдж/кг что совпадает с формулой Ньютона  |
