матем зад 1. Исходная матрица имеет вид
 Скачать 27.77 Kb.
|
|
Исходная матрица имеет вид:
Составляем систему для определения координат собственных векторов: (3 - λ)x1-1x2 + 1x3 = 0 0x1 + (2 - λ)x2-1x3 = 0 0x1-1x2 + (2 - λ)x3 = 0 Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю. (3 - λ) • ((2 - λ) • (2 - λ)-(-1 • (-1)))-0 • (-1 • (2 - λ)-(-1 • 1))+0 • (-1 • (-1)-(2 - λ) • 1) = 0 После преобразований, получаем: -λ3+7*λ2-15*λ+9 = 0 λ1 = 3 Подставляя λ1 = 3 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений. Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-й столбец равен нулю. Удаляем его. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3, значит, неизвестные x2,x3 – зависимые (базисные), а x1 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 2x3 = 0 - x2 - x3 = 0 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3 через свободные x1, то есть нашли общее решение: x3 = 0 x2 = 0 Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 3, имеет вид: (1x1,0x1,0x1) = x1(1,0,0) где x1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x1 = 1:  λ2 = 1 Подставляя λ2 = 1 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 2x1 = 0 2x1 - x2 = - x3 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение: x2 = - x3 x1 = - 1/2x3 Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = 1, имеет вид: (0x3,1x3,1x3) = x3(0,1,1) где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:  3 Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 1-ую строку на (-2). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-9). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 1-ую строку на (27). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: 4x3 = - 122x4 - 27x2 - 10x3 = 35x4 9x1 + 4x3 = - 5x4 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение: x3 = - 61/2x4 x2 = 10x4 x1 = 13x4 |