ТАу. Курсовая работа Фадеев П.А. ПС-33. Исследование асу на устойчивость работы по алгебраическим и частотным критериям

• Название: Исследование асу на устойчивость работы по алгебраическим и частотным критериям
• Дата: 09.04.2022
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа Фадеев П.А. ПС-33.docx
• Тип: Курсовая; #458102
• страница: 2 из 3

3 .Расчет и построение частотных характеристик систем.
; ; и по варианту №14.
С учетом числовых значений для данного варианта:



с

с

с





Для получения аналитических выражений ЧХ исследуемой системы производим формальную замену оператора Р на , тогда имеем

Умножим и разделим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю:


Отсюда получим:





Таблица-3. Результаты расчета

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P( )	5	1,49	-0,82	-0,25	-0,05	-0,02	-0,009	-0,004	-0,002	-0,001
Q(	0	-3,35	-1,69	0,59	0,209	0,09	0,05	0,03	0,02	0,015

Рисунок – 6. Вещественная частотная характеристика



Рисунок – 7. Мнимая частотная характеристика


Рисунок 8. АФЧХ инерционного звена, построенная по данным и
Для определения устойчивости системы по критериям Гурвица и Михайлова необходимо найти характеристическое уравнение для замкнутой системы. Ранее была получена передаточная функция для разомкнутой системы.



Для замкнутой АС с отрицательной обратной связью передаточная функция будет равна:



Где знаменатель есть характеристическое уравнение для замкнутой АС, т.е.




3.1 Определение устойчивость по критерию Михайлова
В характеристическое уравнение для замкнутой АС вместо оператора р поставим значение jω, получим:



-действительная часть
– мнимая часть
Давая различные значения ω в пределах ωЄ(0,∞), найдем координаты R(ω) , J(ω)точек годографа комплексного коэффициента передачи.
Таблица-4. Результаты расчета по критерий Михайлова

ꙍ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
R(ꙍ)	6	5,552	4,208	1,968	-1,168	-5,2	-10,128	-15,952	-22,672	-30,288
J(ꙍ)	0	1,144	-0,43	-7,44	-22,604	-48,64	-88,266	-144,2	-219,16	-315,864

Рисунок – 9. Диаграмма по критерий Михайлова

3.2 Определение устойчивость по критерию Гурвица

Для того чтобы САР могла нормально функционировать, она должна, прежде всего, удовлетворять требованиям устойчивости. Система является устойчивой, если она возвращается к установившемуся состоянию после прекращения действия возмущения, которое вывело ее из этого состояния.

Общее решение X(t) дифференциального уравнения линейной системы управления может быть представлено в виде суммы двух функций времени.

, (12)

из которых X_s(t) характеризует так называемое вынужденное движение системы и зависит от внешнего воздействия, а X (t) определяет свободное движение или переходный процесс в системе.

Математическая форма записи условия устойчивости представляет собой требование обращения в нуль X_d(t) при неограниченном возрастании времени с момента начала переходного процесса, т.е.

. (13)

Функция X_d(t), являющаяся общим решением соответствующего дифференциального уравнения для линейной системы n-го порядка, имеет

вид [2]

, (14)
где C₁, C₂, …, C_n - постоянные интегрирования, а ₁, ₂, …, _n - неравные корни характеристического уравнения системы управления. Из выражения 13 видно, что при t X_d(t) будет стремиться к нулю только в том случае, если все nкорней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Следовательно, для суждения об устойчивости САР нет необходимости определять значения корней характеристического уравнения, что связано обычно с трудоемкими вычислениями. Достаточно располагать косвенными признаками, которые позволяли бы судить об отсутствии в характеристическом уравнении системы корней с неотрицательной вещественной частью (действительные корни могут рассматриваться как частный случай комплексных с нулевой мнимой частью). Такие признаки получили название критериев устойчивости.

Известно, что для системы n-го порядка характеристическое уравнение имеет вид многочлена n-й степени [4 – 5].
(15)
Критерий Гурвица. Проверка устойчивости по Гурвицу сводится к вычислению по коэффициентам характеристического уравнения так называемых определителей Гурвица, которые для устойчивой системы должны быть положительными.

Для получения определителей Гурвица составляется таблица их коэффициентов характеристического уравнения n-й степени.



Правила составления таблицы просты: по главной диагонали выписываются по порядку n коэффициентов характеристического уравнения от a₁ до a_n; каждая строка содержит n элементов; строки с нечетными и четными индексами чередуются; недостающие элементы строк заполняются нулями. Отчеркивая соответствующие строки и столбцы, получают n определителей Гурвица.
и т.д.
Критерий устойчивости Гурвица заключается в требовании положительности всех n определителей (при a_o>0), т.е.

Необходимым (но недостаточным) условием устойчивости системы n порядка при a_o>0 является требование положительности всех коэффициентов характеристического уравнения

Поскольку последнее условие легко проверяется по виду уравнения, записанного с конкретными числовыми коэффициентами, то целесообразнее проанализировать критерии Гурвица с учетом этого необходимого условия. В результате такого анализа, излагаемого в большинстве руководств по теории автоматического управления [5], [6], можно получить систему неравенств, соблюдение которых эквивалентно выполнению условий устойчивости.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости

(16)
одновременно является и достаточным.

Для систем более высокого порядка, кроме выполнения требования положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, необходимо и достаточно соблюдение следующих неравенств:

для систем третьего порядка
; (17)

для системы четвертого порядка
; (18)
для системы пятого порядка
,

; (19)
для системы шестого порядка
(20)

Оценить устойчивость САР по критерию Гурвица, если ее характеристическое уравнение имеет вид:



Для уравнения третьего порядка условием устойчивости по

Гурвицу, помимо положительности коэффициентов уравнения:

=0,453>0; =1,697>0

=0,448>0; =6>0

является выполнение неравенства:

-

0,448*1,697-0,453*6=-1,95<0

Следовательно, система неустойчива.

3.3 Определение устойчивость по критерию Вышнеградского.
Этот критерий используется при определений устойчивости системы, для которой характеристическое уравнение имеет третий порядок.


В нашей системе третьего порядка:

Уравнение необходимо преобразовать так, чтобы коэффициент при р³ был равен единице. Для этого разделим все члены характеристического уравнения на 0,17 и получим:



где






Находим величины Х и У:



Подставляем значения:



Отсюда получим:
.
Вывод. Произведение ХУ , следовательно АС неустойчива.

4. Определение колебательного звена.
Из значения динамических параметров ТДЗ напишем формулу колебательного звена:

W (p)= (23)
Из таблицы -1берем значения и подставляем в формулу (23).
=1,7

=4,2

=0,5
Отсюда выводим:

W(p)=



Отсюда








Таблица-5. Результаты расчета по колебательному звену

ꙍ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(ꙍ)	1,7	-0,09	-0,02	-0,01	-0,006	-0,002	-0,003	-0,001	0,0015	-0,0011	-0,0009
Q(ꙍ)	0	-0,02	-0,002	-0,0008	-0,0003	-0,0001	-0,00016	-6,69	-4,48	-3,14	-2,29
A(ꙍ)	1,7	0,092	0,02	0,01	0,006	0,003	0,002	6,69	4,48	3,14	2,29
φ(ꙍ)	0°	77°	84°	85°	87°	88°	86°	5°	4°	5°	3°

Рисунок – 10. Вещественная частотная характеристика



Рисунок – 11. Мнимая частотная характеристика




Рисунок – 12. Амплитудная частотная характеристика



Рисунок – 13. Фазная частотная характеристика




Рисунок – 14. Амплитудно – фазная частотная характеристика