Лекция_Исследование функции. Исследование функции одной переменной и построение ее графика
 Скачать 472.82 Kb.
|
|
Лекция Тема: Исследование функции одной переменной и построение ее графика. Монотонность (возрастание и убывание) функции на интервале Определение: Функция  называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых  и  , принадлежащих этому интервалу  , когда .Определение: Функция называется убывающей на интервале (a, b), если для любых и , принадлежащих этому интервалу  , когда .Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале. Если  на интервале (a, b), то функция возрастает на этом интервале. Если  на интервале (a, b) , то функция убывает на этом интервале. Экстремум функции в точке Определение: Функция имеет минимум в точке  , если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство   Определение: Функция имеет максимум в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство  .Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции в точке Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Теорема: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке  , то производная в этой точке fꞌ( ) равна нулю или не существует.Таким образом, функция  может иметь экстремум только в тех точках, где f ꞌ(x) = 0 или не существует. Такие точки называются критическими.Достаточные условия существования экстремума функции в точке Теорема 1. Если функция непрерывна в точке и имеет в некоторой окрестности , кроме, быть может, точки , конечную производную и если при переходе х через :а)f ꞌ(x) меняет знак с “+” на “  , то в этой точке функция имеет максимум и  = ,б) f ꞌ(x) меняет знак с “ на “+”, то в этой точке функция имеет минимум и = ,в)f ꞌ(x) не меняет знака, то в этой точке функция экстремума не имеет.Теорема 2. Если функция дважды дифференцируема и в точке выполняются условия  ,  , то в этой точке функция имеет экстремум, причем а) максимум, если  , б) минимум, если  .Выпуклость и вогнутость функции на интервале. Точки перегиба. Определение: График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале, если на этом интервале он расположен ниже любой своей касательной. Определение: График дифференцируемой функции называется вогнутым на интервале  , если на этом интервале он расположен выше любой своей касательной.Определение: Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.  Достаточные условия выпуклости и вогнутости график функции на интервале и существования точки перегиба Теорема 1 (Достаточный признак вогнутости и выпуклости графика). а) Если во всех точках интервала вторая производная больше нуля, т.е. , то кривая вогнута на этом интервале.б) Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, т.е. во всех точках интервала , то кривая выпукла на этом интервале.Теорема 2 (Достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция имеет первую производную  , а вторая производная  в этой точке равна нулю или не существует и, кроме того , при переходе через меняет знак, то ( ; ) является точкой перегиба графика функции .Точки перегиба обычно обозначаются буквой Р ( ; ).Асимптоты графика функции Определение: Прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки М до этой прямой, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю  Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.  Вертикальные асимптоты. Определение. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции y = , если выполняется хотя бы одно из условий:  или  .При этом функция может быть вообще не определена соответственно при  и  .Для нахождения вертикальных асимптот линии  надо найти те значения  аргумента х, где имеет бесконечный предел (односторонний или двусторонний). Иначе, вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва второго типа.Если ни при одном значении х не имеет бесконечного предела, то вертикальных асимптот нет.Пример1: Рассмотрим функцию  . Она имеет правосторонний бесконечный предел при  :  . Прямая х=0 (ось ординат) служит асимптотой при бесконечном удалении вниз (Рис. 1)   Рис 1. Рис 2. Пример 2: Найти вертикальные асимптоты функции  .Решение: Функция у=  имеет бесконечный предел при  и   и   и  Значит, прямые  и  вертикальные асимптоты (Рис. 2)Наклонные асимптоты. Теорема: Для того чтобы кривая имела наклонную асимптоту  , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы  или   Если в обоих случаях нет конечного предела, то нет и искомых асимптот. Пример 1: Найти асимптоты гиперболы  Решение: Данному уравнению соответствуют две однозначные функции:  и  . Рассмотрим первую (ей отвечают бесконечные ветви AN и  ).  Имеем: k=  b =  Следовательно, прямая  есть асимптота ветви AN. Далее находим:k =  , b =  .Стало быть, прямая  есть асимптота ветви .Исследуя таким же образом функцию (ей отвечают бесконечные ветви AК и  ), найдем, что прямая  есть асимптота ветви AК, а прямая  есть асимптота ветви .Горизонтальные асимптоты. Определение. Прямая  является горизонтальной асимптотой функции , если существуют пределы  .Если  не имеет конечного предела ни при  , ни при  , то у линии нет горизонтальных асимптот.Замечание. Если при нахождении наклонной асимптоты функции f(x) окажется, что  то следует искать горизонтальную асимптоту. Действительно, =   Пример : Наитии горизонтальные асимптоты линии  .Решение:  =  , Но  = 1Поэтому прямая у=1 есть горизонтальная асимптота при удалении влево (Рис. 1).  Рис. 1 Рис. 2 Пример 2: Наитии горизонтальные асимптоты линии  .Решение: Имеем:  ,  .Прямые  - горизонтальные асимптоты (рис. 2). Схема исследования функции 1. Найти область определения функции. Найти точки разрыва функции, если они существуют. 2. Выяснить симметрию графика . 3. Определить нули функции (точки пересечения с осями координат) 4. Найти асимптоты графика функции, в случае их существования 5. Найти первую производную функции:  . Найти критические точки функции, т.е. точки, где либо  либо производные не существуют.. Область определения разбить на интервалы , на каждом из которых определить знаки первой производной. Найти интервалы монотонности и точки экстремума. 6. Найти вторую производную  Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.7. Построить график функции. |