Исследование и построить график функции Построить график функции в полярной системе координат
 Скачать 2.37 Mb.
|
|
Вариант 1 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти стороны и прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: , Кас. ; Норм: , , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: 10. Известно, что для всех . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду? 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 2 Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На дуге полуокружности найти точку, ближайшую к точке . Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: . 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: . 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: , Кас. ; Норм: , , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. В формуле Лагранжа определить значение для функции на отрезке . , 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 3 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти радиус основания и образующую прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольшую полную поверхность. Ответ: , 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас: ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке ? Нет, т.к. . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 4 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти радиус основания и образующую прямого кругового конуса, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 5 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На прямой , найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух прямых: , и , была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Коши для функций и , и найти на отрезке . Ответ: . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 6 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти стороны и прямоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр. Ответ: 5. Вычислить функции в точке . Ответ: 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и . Ответ: M = (1, f(1)) = (1, −2). 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 7 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: . 6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение функции и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 8 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На дуге полуокружности найти точку , ближайшую к прямой . Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: . 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас: ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке ? Да. 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 9 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность. Ответ: , 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 10 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Коши для функций и , и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 11 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На прямой , найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек и была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Применима ли теорема Ролля к функции на ? В каких точках ? Теорема Ролля применима. имеющее бесконечно много решений на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 12 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной треугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Доказать, что если является корнем многочлена кратности , то для он будет корнем кратности . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 13 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем. Ответ: 5. Вычислить функции , используя формулу Лейбница. Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. В какой точке касательная к параболе параллельна хорде, соеди- няющей точки и ? В точке . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 14 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На отрезке прямой между точками и найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до точки и прямой , была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке ? Нет, т.к. . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 15 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 16 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора число с точностью до . Ответ: с точностью до =2,7182818. 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Коши для функций и , и найти на . . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 17 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На прямой , найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до прямой , и точки была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора: с точностью до . Ответ: с точностью до =3,162 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. На интервалах и найти точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна. 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 18 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность. Ответ: . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора: с точностью до . Ответ: с точностью до =0,017452 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Доказать, что функция , где , имеет на промежутке два корня. 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 19 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции: . 3. Построить график функции в полярной системе координат 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора: с точностью до . Ответ: с точностью до =0,99619 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Коши для функций и , и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 20 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат 4. На окружности найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек и была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора: с точностью до . Ответ: с точностью до =3,1072 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на отрезке . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 21 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольшую боковую поверхность. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Вычислить с помощью формулы Тейлора: с точностью до . Ответ: с точностью до =1,0414 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции на отрезке . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 22 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. В какой точке касательная к параболе параллельна хорде, соединяющей точки и ? Ответ: В т. касательная к параболе параллельна хорде. 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 23 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На правой ветви гиперболы , , найти точку , ближайшую к прямой . Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Проверить, что между корнями функции находится корень ее производной. Пояснить графически. 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 24 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 25 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти радиус основания и высоту прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольший объем. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: , . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: 10. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна хорде, со- единяющей точки и . Ответ: . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 26 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. На отрезке прямой между точками и найти такую точку , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух прямых: , и , была наименьшей. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Коши для функций и , и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 27 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти основание и боковую сторону равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольший периметр. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 28 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти основание и боковую сторону равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольшую площадь. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: . 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке ? Если да, то найти . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 29 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат 4. На правой ветви квадратичной гиперболы , , найти точку , ближайшую к началу координат. Ответ: 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: , . Ответ: 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , . 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 10. В какой точке касательная к кривой параллельна хорде соединяющей точки и ? Ответ: . 11. По графику функции построить график ее первой производной Вариант 30 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя: а) ; б) 2. Провести исследование и построить график функции . 3. Построить график функции в полярной системе координат . 4. Найти радиус основания и высоту прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольшую полную поверхность. Ответ: , . 5. Вычислить функции . Ответ: 6. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: , . Ответ: 0,0374 7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке и вычислить . Ответ: Кас. ; Норм: , 8. . Ответ: , . 9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: 10. Удовлетворяют ли функции и условиям теоремы Коши на отрезке ? Нет, т.к. . 11. По графику функции построить график ее первой производной |