|
|
Урок по геометрии _Исследование полярных координат_. Исследование полярных координат Балашова Елена Владимировна
Исследование полярных координат
Балашова Елена Владимировна
Цель урока:
Рассмотрение полярных координат и нахождение их взаимосвязи с прямоугольными координатами.
Задачи урока:
1. Выяснить, когда и в связи с какими потребностями появилось понятие полярные координаты на основе анализа школьных учебников математики, математической справочной литературы, литературы по истории математики.
2. Исследовать взаимосвязь полярных и прямоугольных координат
3. Исследовать виды полярных координат
4. Изучить построение графиков функции в полярной системе координат
5. Построить графики функции в полярной системе координат
Введение.
- Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.
- Способ задания начальных условий для решения какой–либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.
Определение полярных координат
Под системой координат на плоскости понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат.
Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч ОР.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1).
Рис. 1
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком [0;2π), а полярный радиус r - [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ.
Связь прямоугольных координат с полярными.
Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2).
•Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. •
Как же связаны между собою координаты x, y и ,r?
Если наряду с полярными координатами (r,φ) точки плоскости (например, точки М) ввести также ее прямоугольные координаты, как это было показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами, которые позволяют перейти от полярных координат точки M к прямоугольным.
Также можно сделать обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, по формулам:
Зная эти форму мы можем представить уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
Уравнение прямой: Уравнение окружности: Уравнение эллипса, гиперболы и параболы:
Различие между Эллипсом, гиперболой и параболой будут значения угла ,которые они принимают.
- В полярной системе координат существуют кривы, характерные только этой системе:
- Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др. Рассмотрим каждую из них.
- Кохлеоида – трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах:
Кохлеоида имеет бесчисленное множество завитков, проходящих через полюс и касающихся полярной оси (рис.7).
Кохлеоида
Рис.7
Строфоида
- Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-порядка. Строится так (рис.9): даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек Мi, i = 1, 2, таких, что BМ1 = BМ2 = AB.
- Уравнение строфоиды:
- Из истории: Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — "птероида" (от греч. πτερον— крыло). Название "строфоида" было введено в 1849 году.
Спираль Архимеда
- Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 10).
- Пусть а>0. Будем задавать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами и (т.е. множество всех точек с координатами , где пробегает все значения ), образует кривую, называемую спиралью Архимеда.
- Уравнение кривой:
Рис.10
Кардиоида
- По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos — сердцеобразная)
- Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.
- Уравнение:
Логарифмическая спираль
- Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, "удивительная спираль".
Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:
- •расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;
- •последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;
- •образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.
- Уравнение:
Семейство роз Гранди
- В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
- Наиболее красивые "цветы" получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза) (рис.12).
- Уравнение:
- где k - положительная постоянная
Построение графиков функции в полярной системе координат.
В полярной системе координат так же, как и в декартовой, по графику функции можно построить график функции .
Это построение сводится к простым геометрическим преобразованиям графика функции согласно перечисленным ниже свойствам.
Основные свойства графиков функции в полярной системы координат:
1. График функции симметричен графику функции относительно полюса.
2. График функции симметричен графику функции относительно полярной оси.
3. График функции , где m>0, - это растянутый или сжатый вдоль полярной оси в m раз график функции
4. График функции - это график, полученный из графика функции с помощью поворота последнего на угол .
5. График функции - это график функции параллельно перенесённый вдоль полярной оси на величину b.
Итоги урока
- Выяснили откуда появилось понятие полярная система (полярные координаты), что они представляют собой.
- Исследовали как взаимосвязаны декартовая и полярная системы координат.
- Изучили какие существуют виды полярных координат и их свойства.
- На основе всего исследования построили некоторые из видов полярных кривых.
- Гипотеза моего исследования подтвердилась, существует прямая взаимосвязь между декартовой и полярной системами координат.
|
|
|
Скачать 377.52 Kb.