Исследование транзисторного автогенератора

• Название: Исследование транзисторного автогенератора
• Дата: 09.04.2023
• Размер: 315 Kb.
• Имя файла: Polzunov_Avtogen.docx
• Тип: Исследование; #1048923
• страница: 2 из 6

i_к

u_a

i_k

U_кk

_a б

Рис.1

Каждая схема состоит из двух частей: 1) избирательного усилителя, содержащего активный нелинейный элемент (транзистор), входом которого яв-

ляется промежуток между точками 1 - 1, и колебательную систему (колеба- тельный контур), 2) цепи обратной связи (трансформатора), по которой ко- лебание с выхода усилителя подается обратно на его вход. Генераторы, содер- жащие избирательный усилитель и внешнюю цепь обратной связи, называются автогенераторами с внешней обратной связью. Приведем структурную схему автогенератора с внешней обратной связью, содержащую упомянутые выше части (рис.2).




Рис.2
Здесь и далее будем использовать следующие обозначения токов и напряжений независимо от типа применяемого активного элемента (АЭ): u_В - напряжение на

входе АЭ; u_а - напряжение на выходе АЭ; u_к - напряжение на контуре; i_в -

входной ток АЭ; i_к - ток в выходной цепи АЭ.

В большинстве случаев причиной возникновения автоколебаний в гене- раторах являются флуктуации, всегда имеющие место в элементах реальной схемы. Ток, протекающий через активный элемент, всегда флуктуирует из-за наличия дробового эффекта. Другими источниками подобных, обычно весьма слабых колебаний, являются тепловое движение электронов в приборе и рези- сторах, флуктуации токораспределения в приборах и т. д. Благодаря этим явле- ниям токи и напряжения во всех элементах схемы даже при постоянстве пи- тающих напряжений быстро изменяются случайным образом. Спектр этих ко- лебаний близок по характеру к белому шуму, т.е. содержит компоненты прак- тически любых частот. Предположим, что такие флуктуации появились в на-

пряжении u_в на входе активного элемента АЭ. Они вызовут колебания тока i_к в выходной цепи АЭ. На выходе колебательной системы (контуре) появится на-

пряжение u_к, причем, поскольку контур имеет максимальное эквивалентное со- противление Z_Э = R_Э на резонансной частоте ₀, наибольшее напряжение на

нем создадут компоненты с частотами, близкими к ₀. Напряжение u_к через цепь обратной связи передается на вход АЭ, создавая напряжение u'_в. Если ка-

кая-то компонента u_в окажется в фазе с первоначальной компонентой u_В той же частоты и притом будет иметь большую амплитуду, она вызовет большее

изменение тока i_к, что приведет к дальнейшему возрастанию напряжения u_к и, как следствие, еще большему u_в. Таков механизм самовозбуждения колебаний частоты _г, близкой к _0, в процессе которого амплитуды колебаний u_в, i_к и u_к

возрастают. Этот процесс имеет место, если на частоте _г коэффициент переда-

чи напряжения по замкнутой цепи генератора больше единицы: К>1. Представ- ляя последний в виде произведения коэффициента усиления усилителя

К_У = U_К/U_В и коэффициента обратной связи К_о.с = U_о.с / U_к, получим условие, необходимое для нарастания колебаний:

К = К_у К_о.с>1. (1)

2. Дифференциальное уравнение автогенератора. Условия самовозбуждения

Составим дифференциальное уравнение генератора (см. рис.1), учиты- вающее только переменные составляющие токов и напряжений. Согласно пер- вому закону Кирхгофа, ток в выходной цепи

i_к = i_L+i_C+i_R . (2)

С целью упрощения расчетов используем два допущения:

а) входной ток активного элемента считаем отсутствующим (i_B = 0), что дос- тигается в генераторах на полевых транзисторах подачей надлежащего смеще- ния во входную цепь, тогда

к
u L ^diL dt

¹ _i_сdt i_r R_э ^{, (3)}

C

в
u M ^diL
dt

_^M _u ; (4)

r
L

б) пренебрегаем влиянием выходного напряжения усилителя на ток i_К, счи- тая его зависящим только от входного напряжения

i_к = Ф(u_в), (5)

что в большинстве случаев лишь несколько снижает точность расчетов, не вли- яя на характер получающихся зависимостей.

Выражение (5) можно рассматривать как аппроксимацию проходной ха- рактеристики активного элемента относительно рабочей точки. Производную

тока i_к по времени запишем как

di_к dt

_di_к

du_в

du_в dt

Su_в ^{duв , (6)}

dt

где S(u_в) = Ф^'(u_в) - крутизна характеристики (5). Заменяем токи в (2), согласно

(5) и (3):

¹ _u _кdt C ^duк ^uк

Фu _в ^.

L dt _Rэ

о
Дифференцируя это уравнение по времени, используя (6) и (4) и обозна- чая ω² =1/LC, получаем дифференциальное уравнение генератора:


d²u_в ^1

МSu_в ^du_{в 2}
. (7)

dt²

 


R
_эC LC

^dt

₀u_в 0


Это уравнение является нелинейным, поскольку коэффициент при du_в/dt зави-

сит от искомой переменной u_в. Нелинейность уравнения является следствием наличия в схеме нелинейного элемента. Уравнение определяет все свойства рассматриваемого генератора, его решение позволяет установить и условия са- мовозбуждения, и особенности стационарны их колебаний, и характер пере- ходных процессов.

При определении условий самовозбуждения колебаний нелинейное уравнение генератора (7), как уже отмечалось, может быть заменено линейным. Действительно, в этом случае нас только интересует, что будет с небольшим отклонением от состояния равновесия: станет оно затухать или нарастать. Так

как нелинейная функция S(u_в), представляющая собой крутизну проходной ха-

рактеристики прямой передачи, не имеет разрыва, для малых величин u_в она может быть заменена значением этой функции при u_в=0, т.е. крутизной S(0)=S в рабочей точке. В результате нелинейное уравнение (7) превращается в линей- ное:

d²u _1

МS^du ₂
. (8)

₂ _  _ ₀u 0

dt ^Rэ^C

LC_dt

Здесь напряжение u записано без индекса, поскольку уравнение справедливо и для u_K, в чем легко убедиться, используя (4). Уравнение (8) можно записать как уравнение контура

d²u

du ₂
, (9)

dt²

2_{э dt} ₀u 0

2 ^R
где _{э }^{1  1}

 э^С

_^МS- эквивалентный коэффициент затухания.


LC ^


Его решение имеет вид

u Ae ^{э t}

sin( _C t

) ^,

где А и φ - амплитуда и фаза, зависящие от начальных условий; _{с }

² ^{2 -}

₀ э

частота свободных колебаний. Если записать R_Э = L/Cr, где r - сумма сопротив- лений потерь, включенных последовательно в ветвях контура, то

_{э }1 _r _МS_MS _{, (10)}

2 ^_L LC^_ 2LC

где α = r/2L = 1/2R_ЭС — коэффициент затухания контура.

Уравнение (9) показывает, что генератор эквивалентен колебательному контуру, коэффициент затухания которого уменьшен на величину MS/2LC, за- висящую от взаимоиндукции М, т.е. от обратной связи. Полученный результат означает, что переменное напряжение на входе активного элемента, благодаря

наличию обратной связи, создает ток i_к, доставляющий в колебательную систе- му энергию, компенсирующую потери в ней. Необходимая же энергия пере-

менного тока i_к получается благодаря тому, что переменное напряжение u_в управляет расходом энергии источника постоянного тока, имеющимся в вы- ходной цепи, т.е. благодаря преобразованию энергии постоянного тока в энер- гию переменного тока.

Если обратная связь невелика (α_Э > 0 или MS/C < r), вносимая энергия лишь частично компенсирует расходуемую в колебательной системе, поэтому возникшее колебание затухает, хотя и медленнее, чем в отсутствие обратной связи. При достаточно сильной обратной связи коэффициент α_Э оказывается отрицательным (вносимая энергия больше расходуемой) и колебания нара-

стают. Рассмотрим зависимость характера колебаний от α_э (рис. 3).




uα _э0

0_t

б

Рис.3

или

Условия самовозбуждения генератора можно записать как

α_э <0 (11)
M > M_KP = L/SR_Э = rC/S. (12)

В рамках допущений, принятых при выводе уравнения генератора, коэф- фициент обратной связи К_о.с = М/L, а коэффициент усиления усилителя

К_y = SR_э. Поэтому условие самовозбуждения (12) идентично условию (1).

Обратная связь, способствующая самовозбуждению колебаний, называ- ется положительной. В рассмотренном случае она соответствует M>0. Если знак М изменить на обратный, для чего достаточно поменять местами точки подключения одной из обмоток трансформатора, то затухание контура возрас- тет и самовозбуждение станет невозможным. Обратная связь, затрудняющая самовозбуждение, т.е. увеличивающая устойчивость состояния равновесия, на- зывается отрицательной. Следовательно, для создания автогенераторов необхо- димо использование положительной обратной связи.

3. Стационарный режим автогенератора

Точных аналитических методов решения нелинейных дифференциаль- ных уравнений (за редким исключением) не существует. В связи с этим было разработано большое количество разнообразных методов приближенного ана- лиза нелинейных цепей. Каждый метод обладает определенными пре- имуществами при решении круга задач. Наиболее распространенными метода- ми являются: метод линеаризации; квазилинейный метод (метод гармонической линеаризации); метод медленно меняющихся амплитуд; метод фазовой плоско- сти; метод малого параметра; метод математического моделирования.

Наибольшее распространение для инженерных расчетов стационарных режимов автогенераторов получил квазилинейный метод, основанный на ис- следовании соотношений между первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейною элемента эквивалентным линейным, характеризуемым средним по первой гармонике параметром. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например методом комплексных амплитуд). Квазилинейный метод применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим.

Рассмотрим схему автогенератора (см. рис.1) с контуром в выходной цепи усилителя, активным элементом которого могут быть биполярный или полевой транзистор. Благодаря значительной добротности (обычно порядка 50 – 200) колебательные контуры генераторов обладают большой изби- рательностью. Поэтому даже тогда, когда выходной ток усилителя сильно от- личается от синусоидального из-за нелинейности АЭ, напряжения на контуре

u_к и на входе АЭ u_в оказываются почти синусоидальными, лишь незначительно

отличающимися от их первых гармоник u_к1 , u_в1. Анализируемый генератор со- стоит из двух частей: нелинейной (АЭ) и линейной (контура и катушки связи). Запишем соотношения между комплексными амплитудами первых гармоник токов и напряжений. Нелинейный элемент будем характеризовать средней кру- тизной, определяемой отношением комплексных амплитуд тока İ_К1 в выходной цепи АЭ к амплитуде напряжения возбуждения Ú_B1 на входе АЭ:

S^& сp I^&_К1/U^_В1 ^{. (13)}

Вследствие нелинейности АЭ S^& _ср

зависит от амплитуды

U^& _B1 . Пренебрегая

влиянием напряжения Ú_К1 на ток İ_К1, получим из (13)

I^&_К1 S^& срU^_В1 ^{. (14)}

Если первая гармоника тока i_K1 совпадает по фазе с первой гармоникой

напряжения возбуждения u_{B1 ,} средняя крутизна оказывается действительной. Однако на практике при работе на достаточно высоких частотах в результате конечного времени прохождения носителей через прибор ток i_K1 отстает по фа- зе от u_B1. Поэтому в общем случае среднюю крутизну (13) следует считать ком- плексной.

Для линейной части схемы (см. рис. 1) при i_B1=0 имеем Ú_K1= İ _К1Z_Э и

^Uв1 ^K& о.с.^Uк₁ ^K& о.с.^Zэ^I&к1 причем комплексный коэффициент обратной связи

(15)

К^& _{О.С. .}=Ú_B1 /Ú_К1=M/L=K_О.С.

оказывается действительным. Произведение К_О.СZ_Э, характеризующее линей- ную часть схемы, называют управляющим сопротивлением:

Z_У = К_О.СZ_Э. (16)

Подставляя (14) в (15), получим комплексное уравнение генератора:

^S& ср^К& о.с.^Zэ

1.

(17)

Оно имеет очевидный физический смысл: в стационарном режиме ком плексный коэффициент передачи по замкнутому контуру ге- нератора равен единице. Если воспользоваться (16), придем к иной форме комплексного уравнения генератора:

S^& _СР Z_У 1.

(18)

Представляя каждую из комплексных величин в показательной форме

^S& ср

S_сре^{is ,}

^K& о.с. ^Kо.с.^{eiк ,}

_{Zэ Zэe}^iк , (19)

можем записать уравнение (17) в виде

_{SсрKо.с.Zэe}i(_s _к _z )
_1. (20)

Уравнение (20) имеет место, если одновременно выполняются два условия:

_s _к <sub>z

0,</sub>2π,…, 2πn (21)

^Sср^Kо.с.^Zэ ^1

(22)

Соотношения (21), (22) являются важнейшими в теории автогенераторов, определяющими параметры стационарного режима. Выражение (21), называе- мое условием баланса фаз, означает, что в стационарном режиме сумма всех

фазовых сдвигов по замкнутому контуру генератора равна нулю или целому числу 2π. Поскольку каждый из сдвигов фаз, входящих в это выражение, зави- сит от частоты по-разному, в большинстве генераторов существует лишь одна частота ω₀, на которой выполняется условие баланса фаз, т.е. на которой возможно генерирование колеб аний. Таким образом, из условия балан- са фаз определяется частота генерируемых колебаний.

Выражение (22), называемое условием баланса амплитуд, говорит о том, что в стационарном режиме коэффициент передачи по замкнутому контуру ге-

нератора равен единице. В этом условии две величины (К_о.с и Z_э) от амплитуды

колебаний не зависят, а одна (S_cp) зависит от U_B1. Следовательно, условие ба- ланса амплитуд выполняется лишь при определенной амплитуде U_B1. Для опре- деления амплитуды стационарных колебаний удобно (22) переписать в виде

S_ср(U_B1) = 1/К_о.с.Z_э. (23)

Рассмотрим (рис. 4) построенные зависимость Scp(U_B1), называемую характеристикой средней крутизны, и прямую обратной связи, проведенную на

уровне 1/К_о.сZ_э. Точка пересечения этих зависимостей определяет стационар- ную амплитуду колебаний Ư_B1, для которой выполняется условие баланса ам- плитуд. Если частота генерируемых колебаний равна резонансной частоте кон- тура, то Z_э=R_э и условие баланса амплитуд

S_ср(U_B1) = 1/К_о.сR_э. (24)

Scp (UВ1)
1 Кос Zэ

^Scp





^0U'В1^UВ1

Рис.4

Стационарный режим будет устойчивым, если большая амплитуда U_В1 станет затухать, т.е. если при U_В1>U'_В1 величина α_Э окажется положительной. Для этого требуется, чтобы

∂S_CP/∂U_В1<0. (25)

Таким образом, стационарный режим автоколебаний я вля - ется устойчивым, если производ ная средней крутизны по ампли- туде напряжения отрицательна.

4. Режимы возбуждения колебаний в автогенераторе

В квазилинейном методе для определения амплитуды стационарных ко- лебаний применяется также подход, основанный на использовании колебатель- ных характеристик.

Колебательной характеристикой называется зависимость амплитуды I_K1 первой гармоники выходного тока нелинейного элемента от амплитуды U_B входного гармонического напряжения:

I_K1 = Ф₁(U_B). (26)

Колебательная характеристика определяется по динамической вольт- амперной характеристике прибора (рис. 5): при выбранном смещении Е_В для различных амплитуд входного напряжения (U'''_B>U''_B>U'_B) строим графики тока i_K и рассчитываем амплитуды их первых гармоник I_K1. Для смещения Е'_B, соот- ветствующего участку с постоянной крутизной S, при небольших амплитудах U_B I_K1=SU_B. По мере увеличения U_B напряжение все больше заходит на участки меньшей крутизны, в результате чего рост амплитуды I_K1 замедляется (рис. 6,а).

Рис.5
Если смещение Е''_B соответствует нижнему загибу характеристики i_K(u_В), то с увеличением U_B сначала I_K1 растет быстрее U_B, а затем приблизительно пропорционально U_B, что приводит к колебательной характеристике II. При больших амплитудах U_B амплитуды I_K1 всегда уменьшаются из-за влияния на- пряжения на нагрузке.

При любой амплитуде U_B средняя крутизна

S_cp = tgα, (27)

где α - угол наклона линии, соединяющей точку колебательной характеристики с началом координат. Рассмотрим характеристики средней крутизны S_cp(U_B), соответствующие колебательным (I и II) (рис. 6, б). При малых U_B S_cp опреде- ляется крутизной S в рабочей точке S_ср(0)=S.

Режим работы генератора с характеристиками I называется мягким, а с

характеристиками II - жестким. Отметим, что при характеристике II наиболь-

шее значение S_cp соответствует точке А (см. рис. 6,а), в которой касательная к колебательной характеристике проходит через начало координат.


^Scp

⁰_a^Uв ⁰

_бU_в

Рис.6

Следует отметить, что при анализе работы генератора в мяг- ком режиме вольт- амперная характеристика его нелинейного элемента должна быть аппроксимирована полиномом не ниже третьей степени, а в жестком – не ниже пя той степени.

Рассмотрим особенности каждого режима.

Мягкий режим. Помимо колебательной характеристики I_K1 = Ф(U_В1) на схеме (рис. 7, а) построено семейство характеристик обратной связи, опреде- ляющих зависимость U_В1 от I_K1 через линейные элементы генератора. Эти ха- рактеристики будут соответствовать выражению (15), если в последнем заме- нить комплексные амплитуды на модули: U_B1 = K_о.сZ_эI_к1. Решая это уравнение

относительно I_K1 и учитывая, что K_о.с = M/L, получаем уравнение характери- стик обратной связи:

I_K1 = (L/MZ_э)U_B1. (28)

^IK1

_M1^M₂M₃^M₄

A₃^A4

^IK1

⁰U_в1U_в2U^'
Uв1⁰