Лабораторная работа № 100. Измерение электронным секундомером интервалов времени, задаваемых по механическому секундомеру с секундной стрелкой

• Название: Измерение электронным секундомером интервалов времени, задаваемых по механическому секундомеру с секундной стрелкой
• Дата: 25.03.2023
• Размер: 4.11 Mb.
• Имя файла: Лабораторная работа № 100.doc
• Тип: Отчет; #1014552

Отчёт о лабораторной работе

Измерение электронным секундомером

интервалов времени, задаваемых по механическому

секундомеру с секундной стрелкой

Цель работы
Освоение алгоритма обработки результатов прямых многократных прямых измерений, построение гистограммы экспериментальных значений определяемой величины и оценка параметров распределения Гаусса из кривой закона распределения.
Теоретическая часть
Основная задача любого физического эксперимента состоит в измерении физических величин. Измерения не могут быть абсолютно точными. Никакие измерения не дают возможности получить истинное значение измеряемой величины, это объясняется ограниченной точностью приборов и природой самих измеряемых объектов. Всегда имеется некоторая неопределенность в значении определяемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от её истинного значения.

Многократно измеряя любую физическую величину, можно получить какие угодно результаты, в том числе и ошибочные. Однако наличие ошибочных результатов подчеркивает то обстоятельство, что принципиально и результат измерений и его погрешность могут быть любыми, поэтому оценивать точность измерения указанием его результата и его погрешности, неверно – они могут принимать любые значения.

Для правильной характеристики точности результата необходимо указывать помимо величины погрешности, но и соответствующее ей значение вероятности.

При измерении физических величин в лабораторных условиях из систематических погрешностей во внимание принимаются, как правило, только приборные как легко учитываемые. В таком случае, в погрешность определяемой величины входят две составляющие: случайная (статистическая) и систематическая (приборная), – предполагая, что промахи отсутствуют.

Если приборная погрешность значительно больше случайной, то при многократных измерениях практически получается один и тот же результат. Этот недостаток присущ, в основном, стрелочным приборам, такие приборы принято называть грубыми.

Точный прибор характеризуется меньшей систематической (приборной) погрешностью по сравнению со случайной, и поэтому на распределение полученных с его помощью результатов измерений сказывается случайный разброс. Точными приборами являются цифровые вольтметры, электронные секундомеры и весы, измерители сопротивлений, емкостей и индуктивностей и т.д. Полученные с их помощью значений одной и той же измеряемой физической величины при неизменных контролируемых условиях следует обрабатывать как результаты прямых многократных измерений.

Если измерения проводят с помощью грубого и точного приборов, то необходимо исключить просчёты (промахи), связанные с отсутствием навыков измерения. Особое значение это имеет для уменьшения различия в показаниях механического и электронного секундомеров. Просчётов на механическом секундомере в силу его большей приборной погрешности избежать значительно легче.

Перед проведением статистического анализа целесообразно проверить, не изменяются ли измеренные значения регулярным образом со временем. Такое изменение называется дрейфом. Для выяснения этого вопроса необходимо построить график зависимости результатов измерения от времени.

При наличии дрейфа следует установить, связан ли он с неисправностью прибора (тогда необходимо устранить её или заменить прибор) или с закономерным изменением определяемой величины (здесь необходимо специальное исследование). При отсутствии дрейфа нужно построить экспериментальную гистограмму, показывающую, как часто получаются те или иные значения. Если n – число измерений, попадающих в любой из одинаковых интервалов (ячейка гистограммы), на которые разбивается весь диапазон значений определяемой величины, то величина является оценкой вероятности того, что величина находится в пределах ячейки.

Кривая, наилучшим образом описывающая экспериментальное распределение вероятности, называется законом распределения. В случае нормального распределения в качестве оценки  берут среднее квадратическое отклонение отдельного измерения S(x_i). Относительная погрешность такой оценки зависит от числа измерений и при небольшом n она велика. При 50 измерениях относительная погрешность составляет приблизительно 22%, поэтому достаточно сделать 40–50 измерений. Оценить величину  можно, используя кривую закона распределения: величина параметра  равна полуширине кривой на уровне долей её максимального значения.
Ответы на контрольные вопросы

1. 
   Какие измерения называются прямыми? косвенными?
   

Прямые и косвенные измерения различают в зависимости от способа получения результата измерений.

Прямое измерение – значение физической величины находят непосредственным отсчётом по шкале прибора (измерения температуры – термометром, силы тока – амперметром и т.п.). Эти измерения могут быть однократными и многократными (повторение экспериментальной операции).

Косвенное измерение – результат определяется по формулам на основе результатов прямых измерений других величин (например: определение электрического сопротивления образца по измеренным силе тока и напряжению).

2. 
   Как рассчитывается доверительная погрешность при прямых многократных измерениях?
   

Для расчёта доверительной погрешности при прямых многократных измерениях:

• 
  по результатам измерений находится среднее значение ;
  
• 
  рассчитывается среднеквадратическую погрешность отдельного результата измерений по формуле: ;
  
• 
  рассчитывается среднеквадратическую погрешность среднего арифметического результата измерений по формуле: ;
  
• 
  по значению числа измерений n и доверительной вероятности P из справочной таблицы определяется коэффициент Стьюдента t_n,P;
  
• 
  вычисляется собственно случайная (доверительную) погрешность по формуле:
  

x_СЛ .

3. 
   Почему при записи окончательного результата необходимо указывать доверительную вероятность?
   

Так как при данных условиях эксперимента доверия заслуживают только результаты измерений, лежащие внутри доверительного интервала Δx, то абсолютная погрешность (отклонение от истинного значения) этих значений измеряемой физической величины ограничена длиной доверительного интервала Δx. То есть длина доверительного интервала Δx является характеристикой погрешности серии проводимых экспериментальных измерений (погрешности многократных измерений).

Таким образом, при записи окончательных результатов необходимо указывать доверительную вероятность для того, чтобы можно было определить, какое количество результатов попало внутрь доверительного интервала.

4. 
   Доверительная вероятность результата . Что это означает?
   

Доверительная вероятность результата означает, что 68% всех результатов равноточных измерений попадёт в доверительный интервал.

5. 
   Какие погрешности называются систематическими? случайными? приборными?
   

Систематические погрешности – погрешности, изменяющиеся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором. При этом предполагается, что систематические погрешности представляют собой определенную функцию неслучайных факторов, состав которых зависит от физических, конструкционных и технологических особенностей средств измерений, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя.

Случайные погрешности обусловливаются большим количеством трудно учитываемых факторов, влияющих как на измерительные устройства, исследуемый физический объект или процесс, так и на самого экспериментатора. В результате, при многократном измерении одного и того же значения результат не остаётся постоянной. Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, но величину таких погрешностей можно оценить, проводя повторные (многократные) измерения.

Приборные погрешности – погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, наглядностью прибора.

6. 
   Какая кривая называется гистограммой? законом распределения?
   

Гистограмма – столбиковая диаграмма, показывающая, как часто получаются те или иные значения измеряемой величины. Гистограмма позволяет оценить распределение статистических данных (результатов измерений), сгруппированных по частоте попадания данных в определенный (заранее заданный) интервал.

Закон распределения – кривая, наилучшим образом описывающая экспериментальное распределение вероятности того, что измеренная величина находится в пределах одного интервала гистограммы. Закон распределения случайной величины показывает соответствие между значением величины, которое она приняла в результате испытаний, и вероятностью появления этого значения.

Таблица приборов

Номер	Название прибора	Диапазон измерения	Цена деления	Погрешность прибора
1	Механический секундомер	0 – 3600 с	0.2	0.1 с
2	Электрический секундомер	0 – 9999.999 с	0.001	0.001 с

Таблица измерений

Павел Новожилов

i	Алфавит	, c	, c	, c2	Номер интервала
1	А
2	Б	2,689	-0,1730	0,029929	2
3	В
4	Г	2,860	-0,0020	0,000004	4
5	Д	2,798	-0,0640	0,004096	3
6	Е
7	Ё	2,836	-0,0260	0,000676	3
8	Ж
9	З	2,673	-0,1890	0,035721	2
10	И
11	Й	3,011	0,1490	0,022201	5
12	К	2,837	-0,0250	0,000625	3
13	Л
14	М	2,723	-0,1390	0,019321	2
15	Н
16	О
17	П
18	Р	2,913	0,0510	0,002601	4
19	С	3,062	0,2000	0,040000	6
20	Т	2,659	-0,2030	0,041209	2
21	У	3,051	0,1890	0,035721	6
22	Ф	2,841	-0,0210	0,000441	4
23	Х	2,796	-0,0660	0,004356	3
24	Ц	2,829	-0,0330	0,001089	3
25	Ч	2,889	0,0270	0,000729	4
26	Ш	2,945	0,0830	0,006889	5
27	Щ	2,850	-0,0120	0,000144	4
28	Ъ	2,752	-0,1100	0,012100	3
29	Ы	2,931	0,0690	0,004761	4
30	Ь	2,714	-0,1480	0,021904	2
31	Э	2,852	-0,0100	0,000100	4
32	Ю	3,043	0,1810	0,032761	6
33	Я	2,556	-0,3060	0,093636	1
34	А
35	Б	2,860	-0,0020	0,000004	4
36	В
37	Г	2,806	-0,0560	0,003136	3
38	Д	2,895	0,0330	0,001089	4
39	Е
40	Ё	2,822	-0,0400	0,001600	3
41	Ж
42	З	2,925	0,0630	0,003969	4
43	И
44	Й	2,807	-0,0550	0,003025	3
45	К	3,047	0,1850	0,034225	6
46	Л
47	М	2,996	0,1340	0,017956	5
48	Н
49	О
50	П
51	Р	2,876	0,0140	0,000196	4
52	С	2,992	0,1300	0,016900	5
53	Т	2,981	0,1190	0,014161	5
54	У	2,893	0,0310	0,000961	4
55	Ф	2,972	0,1100	0,012100	5
56	Х	2,990	0,1280	0,016384	5
57	Ц	2,769	-0,0930	0,008649	3
58	Ч	3,120	0,2580	0,066564	6
59	Ш	3,008	0,1460	0,021316	5
60	Щ	2,970	0,1080	0,011664	5
61	Ъ	2,704	-0,1580	0,024964	2
62	Ы	2,856	-0,0060	0,000036	4
63	Ь	2,907	0,0450	0,002025	4
64	Э	2,877	0,0150	0,000225	4
65	Ю	2,875	0,0130	0,000169	4
66	Я	2,896	0,0340	0,001156	4
67	А
68	Б	2,808	-0,0540	0,002916	3
69	В
70	Г	2,913	0,0510	0,002601	4
71	Д	2,969	0,1070	0,011449	5
72	Е
73	Ё	2,798	-0,0640	0,004096	3
74	Ж
75	З	2,682	-0,1800	0,032400	2
76	И
77	Й	2,884	0,0220	0,000484	4
78	К	2,681	-0,1810	0,032761	2
79	Л
80	М	2,837	-0,0250	0,000625	3
81	Н
82	О
83	П
84	Р	2,772	-0,0900	0,008100	3
85	С	2,812	-0,0500	0,002500	3
86	Т	2,864	0,0020	0,000004	4
87	У	2,921	0,0590	0,003481	4
88	Ф	2,770	-0,0920	0,008464	3
89	Х	2,960	0,0980	0,009604	5
90	Ц	2,859	-0,0030	0,000009	4
91	Ч	2,837	-0,0250	0,000625	3
92	Ш	2,759	-0,1030	0,010609	3
93	Щ	3,046	0,1840	0,033856	6
94	Ъ	2,753	-0,1090	0,011881	3
95	Ы	2,889	0,0270	0,000729	4
96	Ь	2,819	-0,0430	0,001849	3
97	Э	2,727	-0,1350	0,018225	2
98	Ю	2,902	0,0400	0,001600	4
99	Я	2,848	-0,0140	0,000196	4
100	А
	n=
	72	206,064	0,0000	0,872552

Обработка результатов измерений
Задание 1. Исследование дрейфа
Для исследования дрейфа по данным таблицы построим график зависимости результата наблюдений от времени.

Дрейф отсутствует.
Задание 2. Статистический анализ выборки.
2.1. Определяем выборочное среднее:

с.
2.2. Определяем отклонения отдельных результатов наблюдений от среднего:

.

с,

с,

…

с.

Полученные значения заносим в таблицу измерений и убеждаемся в выполнении равенства :



.

2.3. Вычисляем значения и сумму , заносим результаты в таблицу:

с²,

с²,

…

с²,

с².
2.4. Рассчитываем среднеквадратичную погрешность  отдельного результата измерения:

с.
2.5. Определяем среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата измерения по формуле

.
2.6. Для заданных значений числа измерений n=72 и доверительной вероятности коэффициент Стьюдента равен (значение определяем по справочной таблице) и вычисляем случайную погрешность:

t_СЛ с.
2.7. Оцениваем приборную погрешность электронного секундомера по формуле t_ПРИБ , где – коэффициент Стьюдента при , а значение предельной погрешности  определяется либо по классу точности, либо берется равным цене деления или половине цены деления прибора.

Проверяем, что t_ПРИБ меньше случайной (t_СЛ) более чем в два раза. И тогда, в согласии с формулой



доверительную погрешность результата измерений приравниваем к случайной t=t_СЛ.

Принимаем  равным цене деления электронного секундомера:  = 0.001 с.

Тогда: t_ПРИБ с;



.
2.8. Округлив погрешностьи предварительный результат, записываем окончательный результат измерений:

с (с вероятностью p=0.90).
Задание 3. Оценка параметров закона распределения вероятностей с помощью гистограммы.
Из оставшихся значений находим максимальное и минимальное значения:

2.556 с, 3.120 с.

Теперь найдём ширину интервала:

с.

Разбиение массива данных по ячейкам:

Номер интервала i	Левая граница интервала	Правая граница интервала = = лев. гр. + 
1	2,556	2,650	1	0,0139
2	2,650	2,744	9	0,1250
3	2,744	2,838	20	0,2778
4	2,838	2,932	25	0,3472
5	2,932	3,026	11	0,1528
6	3,0260	3,120	6	0,0833

Примеры расчётов к таблице:

2.556 + 0.094 = 2.650, 2.650 + 0.094 = 2.744,

2.744 + 0.094 = 2.838, 2.838 + 0.094 = 2.932,

2.932 + 0.094 = 3.026, 3.026 + 0.094 = 3.120;

, , ,

, , .
Строим гистограмму экспериментальных значений и кривую закона распределения:

На уровне 0.6 от максимального значения:

, –

находим ширину кривой закона распределения:

 с.
Ответ: 1) Секундная стрелка пройдёт 3 деления за промежуток, заключённый в следующем интервале (2.86–0.02; 2.86+0.02) секунд (с вероятностью p=0.90);

2) S(t_i) = 0.111 с;

3)  = 0.10 с.
Вывод: в результате проделанной работы получены практические навыки в освоении алгоритма обработки результатов прямых многократных прямых измерений, построена гистограммы экспериментальных значений определяемой величины и произведена оценка параметров распределения Гаусса из кривой закона распределения.