![](24049_html_m2200e630.gif)
|
Рис. 2
|
![](24049_html_m6804ffcd.gif)
, (3)
![](24049_html_mb3edad3.gif)
Нм.
Направление вектора момента сил
![](24049_html_211e88fa.gif)
определяется по
правилу векторного произведения (правилу правого винта): вращая винт от первого вектора
![](24049_html_m67a5e875.gif)
ко второму
![](24049_html_7785010f.gif)
, поступательное движение винта указывает на направление вектора
![](24049_html_6b8c9287.gif)
.
Модуль вектора
![](24049_html_6b8c9287.gif)
определяется как
(4)и численно равен площади заштрихованной фигуры (рис. 2). Учитывая, что
![](24049_html_5df9171.gif)
, можно записать
![](24049_html_4e307664.gif)
,
(5)где
![](24049_html_m2d776046.gif)
- плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки
![](24049_html_7944ba4c.gif)
, относительно которой происходит вращение, до линии действия силы
![](24049_html_m3b559a94.gif)
.
![](24049_html_m264c4fb9.gif)
|
Рис. 3
|
При рассмотрении момента сил относительно оси
![](24049_html_797124b0.gif)
необходимо спроектировать векторное произведение
![](24049_html_4fecd882.gif)
на эту ось, т.е.
![](24049_html_m63b61625.gif)
. (6)
Из рис. 3 видно, что момент силы создается лишь силой
![](24049_html_35409e3.gif)
(силой, параллельной оси
![](24049_html_m5decdeb3.gif)
), момент силы
![](24049_html_m32d04629.gif)
равен нулю.
Для нахождения связи между угловым ускорением
![](24049_html_m34fbbe5d.gif)
и моментом сил
![](24049_html_173738e3.gif)
, действующих на него, рассмотрим движение одной какой-то частицы вращающегося тела (рис.4).
![](24049_html_2fc11234.gif)
|
Рис. 4
|
Пусть частица с массой
![](24049_html_m34a1b1bd.gif)
находится на расстоянии
![](24049_html_24366cf8.gif)
от оси вращения
![](24049_html_m6e614c30.gif)
. На
частицу могут действовать как внутренние, так и внешние силы. Внешние силы приложены со стороны других тел, а внутренние – со стороны частей того же самого тела.
Обозначим проекцию суммы внутренних сил, действующих на
![](24049_html_m34a1b1bd.gif)
, на направление, перпендикулярное к
![](24049_html_24366cf8.gif)
, как
![](24049_html_1265e56f.gif)
, а проекцию суммы внешних сил как
![](24049_html_m62bfacdd.gif)
. Тогда, применяя 2-ой закон Ньютона к каждой точке вращающегося тела, можно записать:
![](24049_html_75305443.gif)
![](24049_html_m53d4ecad.gif)
, (7)
где
![](24049_html_m63883811.gif)
– линейное ускорение точки.
Если умножить выражение (7) на
![](24049_html_24366cf8.gif)
и учесть, что
![](24049_html_492bfbc6.gif)
, то получим:
![](24049_html_5a9056a1.gif)
, (8)
где
![](24049_html_m5318e277.gif)
- проекция углового ускорения на ось OZ.
Величина
![](24049_html_70276f95.gif)
,численно равная произведению массы на квадрат расстояния от оси вращения, называется
моментом инерции точки относительно оси вращения.
Величины
![](24049_html_51999e46.gif)
и
![](24049_html_m355759c5.gif)
определяют моменты внутренних и внешних сил, действующих на
![](24049_html_m226ec444.gif)
-ю точку.
Уравнения типа (7) и (8) можно записать и для остальных точек тела. Суммируя выражение (8) по всем элементам тела, получим:
![](24049_html_560da250.gif)
, (9)
где
![](24049_html_m10df15d.gif)
- сумма проекций на ось
![](24049_html_m53017e13.gif)
всех внутренних моментов сил (
![](24049_html_m69d39ae7.gif)
, т.к. каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную себе силу, приложенную к другой частице тела с тем же самым плечом);
![](24049_html_1c79d2e9.gif)
- сумма проекций на ось
![](24049_html_m5decdeb3.gif)
всех внешних моментов сил, приложенных к телу;
![](24049_html_m30477e48.gif)
- момент инерции твердого тела относительно оси вращения
![](24049_html_m5decdeb3.gif)
, равный сумме моментов инерции отдельных элементов тела (
![](24049_html_m4de6c5e1.gif)
кгм
2).
Использовав все обозначения, получим:
![](24049_html_m6021fd22.gif)
, (10)
откуда
![](24049_html_m7d4bba15.gif)
(11)
основной закон динамики вращательного движения.
В векторном виде этот закон может быть записан:
![](24049_html_7ec3aa62.gif)
.
(12)то есть
угловое ускорение пропорционально действующему внешнему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно оси вращения.Этот закон аналогичен закону динамики для поступательного движения:
![](24049_html_17e1e23d.gif)
,
(13)где
![](24049_html_m4ecc015e.gif)
- линейное ускорение;
![](24049_html_m31120563.gif)
-
сумма всех внешних сил;
![](24049_html_4bab164f.gif)
- сумма всех элементарных масс.
Используя аналогию, можно сделать вывод о том, что момент инерции
![](24049_html_1c3d50d6.gif)
при вращательном движении играет такую же роль, как и масса
![](24049_html_696db334.gif)
при поступательном движении, т.е. момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Проверка основного закона вращательного движения производится на приборе, называемом маятником Обербека (рис. 5).
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Маятник Обербека состоит из вала
![](24049_html_5bc714e1.gif)
диаметром
![](24049_html_m1963e584.gif)
, к которому прикреплены 4 одинаковых стержня
![](24049_html_m77c750a3.gif)
, расположенных под углом 90
0 друг к другу (рис. 5). На каждом стержне закрепляется по одному грузу одинаковой массы
![](24049_html_m7ba8fe5b.gif)
. Благодаря возможности фиксировать данные грузы на различных расстояниях от оси вращения это позволяет изменять момент инерции маятника Обербека. На вал
![](24049_html_5bc714e1.gif)
наматывается нить, к концу которой прикрепляется груз массой
![](24049_html_40248a93.gif)
(значение
![](24049_html_40248a93.gif)
можно менять). Под действием груза нить, разматываясь с вала А, приводит всю систему во вращательное движение.
![](24049_html_m5a0179e8.gif)
|
Рис. 5
|
В применении к маятнику Обербека экспериментально определим основные величины, входящие в уравнение (11).
Угловое ускорение. Пусть
![](24049_html_7d8de78d.gif)
- высота падения груза массой
![](24049_html_40248a93.gif)
, прикрепленного к концу нити,
![](24049_html_m29000626.gif)
- время падения груза. Тогда линейное ускорение груза определяется из уравнения кинематики
![](24049_html_5c84201b.gif)
, как
![](24049_html_243893a6.gif)
. (14)
С таким же линейным ускорением движутся точки вала
![](24049_html_5bc714e1.gif)
, находящиеся на расстоянии
![](24049_html_m23bbe013.gif)
от оси вращения. Используя связь между линейным и угловым ускорениями
![](24049_html_7fbf69db.gif)
(15)
и учитывая, что
![](24049_html_5cc471fc.gif)
=1, получим
![](24049_html_m5f1e942f.gif)
;
![](24049_html_m7fd62374.gif)
. (16)
Следовательно,
![](24049_html_m692d918d.gif)
. (17)
Момент сил. Вращающий момент системы создается силой упругости нити (силой натяжения нити
![](24049_html_b78d0c2.gif)
).
![](24049_html_3468fd21.gif)
.
Учитывая, что
![](24049_html_m3f8e60da.gif)
и
![](24049_html_1a581bc7.gif)
, имеем
![](24049_html_1e081385.gif)
, (18)
где
![](24049_html_d7b0073.gif)
-
сила натяжения нити;
![](24049_html_m15b7fbbb.gif)
- радиус действия силы, совпадающий с радиусом валика
![](24049_html_70178f12.gif)
.
Натяжение нити можно определить так. Запишем 2-ой закон Ньютона для падающего груза:
![](24049_html_3037e747.gif)
. (19)
Учитывая выбранное направление
![](24049_html_bccf8fe.gif)
(рис. 5), выражение (19) можно записать в виде:
![](24049_html_m2d3b0fa7.gif)
,
откуда
![](24049_html_mdb60236.gif)
,
а момент сил равен
![](24049_html_521e70a0.gif)
. (20)
Момент инерции. Так как момент инерции – величина аддитивная, то полный момент инерции системы равен:
![](24049_html_m17e5dc02.gif)
. (21)
Если составляющие маятник части являются геометрически правильными и простыми по своей форме, то все три составляющие можно рассчитать теоретически. В настоящей конструкции прибора такой расчет для
![](24049_html_m2664a641.gif)
(стержня) и
![](24049_html_893d362.gif)
(валика) несколько затруднен. Поэтому теоретически рассчитывается только
![](24049_html_5f1ac563.gif)
(цилиндра). По теореме Штейнера для
четырех цилиндров момент инерции равен:
![](24049_html_67bf0a16.gif)
, (22)
где
![](24049_html_m5ca3cea2.gif)
- масса одного цилиндра;
![](24049_html_27ec0ee6.gif)
- расстояние от оси вращения до центра масс цилиндра;
![](24049_html_62f79697.gif)
- длина цилиндра (рис. 5).
Момент инерции системы будет равен
![](24049_html_bc4e9b3.gif)
. (23)
Значение
![](24049_html_4c79a65a.gif)
можно определить опытным путем. Для этого со стержней маятника снимаются 4 цилиндра и система приводится во вращательное движение под действием груза массой
![](24049_html_7a2ea03e.gif)
. Момент инерции
![](24049_html_4c79a65a.gif)
равен
![](24049_html_m40c6ecaa.gif)
. (24)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Определить момент инерции
![](24049_html_4c79a65a.gif)
.
Снять со стержней маятника цилиндрические грузы.
Измерить диаметр
вала штангенциркулем и определить
.
Определить массу
груза, подвешенного к нити, которая наматывается на вал.
Предоставить возможность грузу падать и зафиксировать время
падения груза с высоты
(
измеряется с помощью вертикального масштаба).
Измерения
![](24049_html_1d931353.gif)
нужно выполнить несколько раз (не менее трех), оставляя высоту падения постоянной. Данные занести в таблицу 1.
По формулам 14, 17, 20, 24 рассчитать линейное ускорение
, угловое ускорение
, момент сил
, момент инерции
и результаты занести в табл. 1 для двух различных падающих масс
и
.
Таблица 1
, кг
|
![](24049_html_m2e995c9b.gif)
|
, м
|
, м
|
, с
|
,
м/с2
|
,
рад/с2
|
,
Нм
|
,
кгм2
| ∆ , кгм2
| σ, кгм2
|
![](24049_html_5d2676de.gif)
| 1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
средние значения
|
|
|
![](24049_html_76851a5a.gif)
| 1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
среднее значение
|
|
|
|
|
Изменяя массу подвешенного к нити груза, можно изменить силу натяжения нити, а, следовательно, и момент сил. Однако момент инерции маятника не должен зависеть от изменения этих внешних воздействий, и с учетом погрешностей момент инерции должен принимать одинаковые значения. Это дает возможность найти среднее значение
![](24049_html_m45d0fea5.gif)
.
Оценить погрешность измерений
Записать конечный результат в виде J0=J0ср±2σ.
ЗАДАНИЕ 2. Проверка основного закона динамики вращательного движения. Проверка соотношения
(26)при
![](24049_html_m2fffe02c.gif)
.
Для проверки этого соотношения можно воспользоваться данными из табл. 1. Найдем отношения
![](24049_html_m47a2fd57.gif)
,
![](24049_html_ma76ee2.gif)
и сравним их между собой. Должно выполняться равенство (26).
ЗАДАНИЕ 3. Изучение зависимости момента инерции крестообразного маятника от положения грузов на стержнях, т.е. от распределения его массы по отношению к оси вращения. Проверка соотношения
(27)при
![](24049_html_43528157.gif)
.
Надеть на стержни цилиндрические грузы и расположить их на определенном расстоянии
от оси вращения. После закрепления грузов необходимо убедиться в том, что маятник достаточно сбалансирован, т.е. привести его в состояние безразличного равновесия путем перемещая грузов на стержнях на небольшие расстояния.
Подвесить груз массой
1 и провести все измерения, необходимые для определения момента инерции маятника (см. табл. 1).
Рассчитать по формуле (17) угловое ускорение
и по формуле (24) момент инерции
маятника с цилиндрами массой
(все измерения производить в соответствии с заданием 1, но только лишь с одной падающей массой
).
Измерив
и
(время падения груза массой
), рассчитать по формуле (17) угловое ускорение
.
Расположив цилиндрические грузы на другом расстоянии
![](24049_html_m37a62199.gif)
от оси вращения
![](24049_html_m5decdeb3.gif)
, провести аналогичные измерения.
По формуле (17) рассчитать угловое ускорение
(если
, то необходимо только зафиксировать время
падения груза массой
).
Полученные данные занести в таблицу 2.
Таблица 2
При ![](24049_html_341fafd0.gif)
|
|
, кг
|
![](24049_html_m748d59cb.gif)
|
, м
|
, м
|
, с
|
,
м/с2
|
,
рад/с2
|
,
![](24049_html_23817a8c.gif)
|
,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
| ∆ ,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
| σ,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
|
| 1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние значения
|
|
|
|
|
При ![](24049_html_m5be70d63.gif)
|
|
, кг
|
![](24049_html_m748d59cb.gif)
|
, м
|
, м
|
, с
|
,
м/с2
|
,
рад/с2
|
,
![](24049_html_23817a8c.gif)
|
,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
| ∆ ,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
| σ,
![](24049_html_m2b926ab7.gif)
|
| 1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние значения
|
|
|
|
|
Оценить погрешность измерений и запишите результаты в виде
J
1=J
1ср±2σ.
J
2=J
2ср±2σ.
Найти отношения
и
и проверить справедливость соотношения (27).
Сравнивая значения
и
, сделать вывод о том, как момент инерции маятника зависит от распределения его массы по отношению к оси вращения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Проверьте аналогию между величинами, характеризующими поступательное и вращательное движение, составив таблицу соответствия
Примечание: 1) таблица заполняется обязательно при оформлении отчета;
2) необходимо знать определение направления векторных величин.
Между какими величинами устанавливает связь основной закон динамики вращательного движения? Сформулируйте его.
Как определяется величина и направление моментов сил? В каких единицах измеряется эта величина?
От чего зависит момент инерции
, в каких единицах измеряется? Как понимать, что момент инерции величина аддитивная? Из чего состоит момент инерции маятника Обербека?
Сделайте вывод формулы момента инерции цилиндра относительно оси, совпадающей с его осью симметрии.
Сформулируйте теорему Штейнера. Для чего она используется в работе?
Опираясь на схему установки, получите формулу, с помощью которой рассчитывали момент инерции маятника (24).
В ходе каких измерений мы убедились в зависимости момента инерции маятника от расстояния, на котором располагаются цилиндры относительно оси вращения и массы маятника?
В ходе каких измерений мы убедились в независимости момента инерции маятника от сил, приводящих в его вращению?