Влвл. Изучение законов вращательного
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА» Кафедра общей и ядерной физики ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА Лабораторная работа по физике № 1-7 для студентов всех специальностей, всех форм обучения Нижний Новгород 2014 Составители: А.Н.Мешков, Г.М.Соколова, А.Н.Яшина УДК 621.3.018 Изучение законов вращательного движения с помощью маятника Обербека: лаб. работа № 1-7 по физике для студентов всех специальностей, всех форм обучения / НГТУ; сост.: А.Н.Мешков, Г.М.Соколова, А.Н.Яшина - Н.Новгород, 2014. - 13 с. Приведены основные характеристики вращательного движения твердого тела. Изложена методика выполнения лабораторной работы на установке «Маятник Обербека». Составлены экспериментальные и теоретические задания и контрольные вопросы. Научный редактор А.А.Радионов Редактор Э.Б.Абросимова Подп. к печ. 06.2014. Формат 60х84 1 /16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л.0,75. Уч.- изд. л. 0,5. Тираж 400 экз. Заказ . ___________________________________________________________ Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева.Типография НГТУ. 603950, Н.Новгород, ул. Минина,24. ©Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева, 2014 3 Цель работы: изучение основного закона динамики вращения твердого тела относительно неподвижной оси, исследование зависимости момента инерции тела от положения тела относительно оси вращения. Теоретическая часть Тело, расстояния между частицами которого не меняются с течением времени, называется абсолютно твердым. Используемые в работе тела полагаются абсолютно твердыми. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, в плоскостях, перпендикулярных оси. При этом вращение вызывают лишь силы, не расположенные в плоскости, проведенной через ось вращения и точку приложения силы. Угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от его массы, но и от распределения массы относительно оси вращения (от момента инерции). Основное уравнение динамики вращения твердого тела относительно неподвижной оси z имеет вид dt z dL z M , (1) где М z – момент относительно оси z силы, действующей на тело, L z – момент импульса тела относительно той же оси. При неизменном моменте инерции тела относительно оси вращения это соотношение переписывается: , ) ( z I dt z d I dt z I d z M (2) где I – момент инерции тела, ω z и β z – проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z . Из (2) следует: 1)при неизменном моменте инерции системы угловое ускорение пропорционально моменту силы: 2 1 2 1 β β M M , (3) где β 1 - угловое ускорение системы при действии на нее момента силы М 1, β 2 при действии М 2 (соотношение справедливо, если момент силы относительно оси равен модулю момента, а проекция углового ускорения на ось z – модулю ускорения; это условие выполнено для установки, используемой в работе); 4 2)при постоянстве момента действующих сил угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции: 1 2 2 1 β β I I , (4) где β 1 - угловое ускорение системы, имеющей момент инерции I 1 , β 2 I 2 ; 3)если момент сил, действующих на систему, не зависит от времени, то соотношение (1) можно переписать: t z M z L , где ∆𝑡- произвольный промежуток времени, а ∆𝐿 𝑧 - изменение проекции момента импульса системы за ∆𝑡. Если в начальный момент времени ( 𝑡 0 = 0) система была неподвижна и в дальнейшем не изменяла направления своего вращения, то при условии, что ось z совпадает с направлением угловой скорости, I L z L z L . Тогда Iω=Mt, (5) где ω – угловая скорость системы в момент времени t . Тогда для двух тел, имеющих моменты инерции I 1 и I 2 , получаем: 2 2 1 1 2 2 1 1 ω ω t M t M I I , (6) где ω 1 - угловая скорость первого тела в момент t 1 , М 1 – момент силы, действующей на первое тело. В знаменателях – аналогичные параметры для второго тела. Вывод рабочих формул Принципиальная схема установки показана на рис.1. Установка состоит из блока радиусом r и жестко связанной с ним крестовины, на которую насажены четыре одинаковых грузика массой m 0 , расположенных симметрично относительно оси вращения. На блок намотана нить, к концу которой прикреплен груз массой m. Груз, опускаясь, разматывает нить и приводит во вращение блок с крестовиной. В работе измеряют одну величину – время падения груза с известной высоты h. На рис.1 обозначены силы, действующие на различные элементы установки: на груз m действует сила тяжести m 𝑔⃗ и сила со стороны нити 𝐹 ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗; 5 на вращающуюся часть установки – сила тяжести блока, крестовины и четырех грузов G , сила реакции со стороны оси N и сила F со стороны нити. Рис.1 Принципиальная схема установки Поступательное движение груза описывается уравнением: a m F g m (7) Вращение крестовины описывается уравнением z z I M β , (8) где β z проекция углового ускорения крестовины на ось z, I – момент инерции вращающейся части установки относительно оси z (на рис.1 ось z направлена перпендикулярно плоскости рисунка), a ускорение груза m. При записи этих уравнений мы пренебрегли силами трения и сопротивления воздуха. Полагая нить нерастяжимой и не скользящей по блоку, получаем a a , где а τ – тангенциальное ускорение точек обода блока. Тогда r a r a z (9) Из невесомости нити следует F F 6 Моменты сил N и G равны нулю, а момент силы F (при выбранном направлении оси z) 𝑀 𝑧 = 𝐹𝑟 = 𝑀. (10) Таким образом, система (7,8) после проецирования первого уравнения на вертикальную ось y и с учетом (9) примет вид: ma F mg , (11) β I Fr M (12) Если ускорение а известно, то из (11) и (12) следуют расчетные формулы: r a g m M , (13) 𝐼 = = 𝑟 𝑎 (14) Движение груза m можно считать равноускоренным, полагая, что сила F не меняется. Тогда его ускорение определяется по формуле 2 2 t h a , (15) где h - высота, с которой опускается груз, t - время его движения. Поскольку крестовина начинает вращаться из состояния покоя, ее угловую скорость в конечный момент падения груза m можно определить: t , (16) а изменение ее момента импульса за это время: |∆𝐿⃗⃗| = ∆𝐿 = 𝐿 = 𝐼𝜔. (17) Устройство и принципы работы установки Установка включает в себя механическую систему с маятником Обербека и электронный блок. Механическая система состоит из основания, опирающегося на регулируемые опоры, вертикальной стойки, укрепленной на основании с помощью зажима, и трех кронштейнов. На среднем кронштейне помещен подшипниковый узел (1). На его оси с одной стороны расположен двухступенчатый шкив (2), на котором закреплена нить, а с другой стороны – крестовина (3), представляющая собой четыре одинаковых металлических стержня, закрепленных в бобышке (4) под прямым углом друг к другу. На стержнях через каждые 10мм нанесены риски. На этом же кронштейне располагается электромагнитный тормоз (5). На металлических стержнях закреплены грузы (6) массой m 0 =114 г, которые могут свободно перемещаться и фиксироваться на каждом из стержней, что дает возможность ступенчатого изменения момента инерции системы. 7 Измерение времени падения груза осуществляется электронным блоком ФМ 1/1. На выходе электронного блока имеются два проводника. Один из них подключен к электромагниту (5), другой к фотоэлементу (8). На верхнем кронштейне помещен узел подшипников с малоинерционным шкивом для изменения направления движения нити, ко второму концу которой подвешен наборный груз (7), состоящий из двух грузиков массой по 50г, двух – по 20г и одного 10г. Рис.2 Общий вид установки 8 На нижнем кронштейне расположены элементы фиксации фотодатчика, работающего от электронного блока. С помощью этой системы измеряется время падения груза, прикрепленного к нити. Порядок выполнения работы Установить грузы на стержнях крестовины на одинаковом расстоянии R от оси вращения. В этом опыте грузы располагать на середине стержней. Для определения R необходимо знать ρ – радиус бобышки, в которой укреплены стержни крестовины, толщину грузов d, расстояние от бобышки до груза l. Тогда 2 ρ d l R Для данной установки ρ=20мм, d=20мм, диаметр груза D = 30мм. Рис.3. Груз на стержне крестовины К концу нити, перекинутой через верхний шкив, подвесить груз заданной массы m. Электронный блок на задней панели имеет выключатель сети, на передней панели кнопку «пуск» (другие кнопки «сброс», «стоп» в данной работе не используются). Порядок действий при измерении времени падения груза следующий: 1.Выключить блок выключателем сети. При этом светящееся цифровое табло отсчета времени на передней панели погаснет, а крестовина освободится от тормоза. 2.Вращая крестовину, установить груз в крайнем верхнем положении. Включить блок выключателем сети. При этом загорится цифровое табло и включится тормоз, фиксирующий положение крестовины. ρ 𝝆 9 3.Нажать кнопку «пуск». Тормоз отключится, груз начнет падать, на табло начнется отсчет времени. Когда груз опустится до фотодатчика, автоматически включится тормоз, груз остановится (не доходя до нижней защитной площадки), на табло высветится время падения. Для повторного измерения снова выключить блок выключателем сети и провести аналогичные операции. Высота падения груза h – это расстояние от нижней плоскости груза в верхнем положении до оси фотодатчика. В работе величину h не меняют и берут близкой к максимальной. Расстояние от нижних меток до оси фотодатчика равно 5 см. Величина r радиуса шкива, на который намотана нить, известна: для малого шкива r = 2 см, для большого r = 3,5 см). В работе применяют большой шкив. Величину l (рис.3) измеряют по рискам. Задание 1. Экспериментальная проверка соотношений (3), (4), (6), вытекающих из закона динамики вращения относительно неподвижной оси. По указанию преподавателя или лаборанта взять два значения R (рис.3), существенно отличающиеся друг от друга, и два значения массы груза m, подвешиваемого к нити. Наборный груз (7 на рис.2) имеет основание со стержнем, прикрепленным к нити, и дополнительные грузики, которые надеваются на стержень. При этом следует учитывать, что основание, на которое ставят грузики, имеет массу 50 г. Поэтому максимальное значение m = 200 г (2 грузика по 50 г, 2 грузика по 40 г, 1грузик – 10г), минимальное m = 50 г (если не ставить ни одного грузика). Для каждой пары: R 1 ,m 1 ; R 1, m 2 ; R 2, m 1 ; R 2, m 2 , - пять раз измерить время t падения груза и найти среднее из пяти измерений ‹t›. Данные занести в табл.1. Таблица 1 h,см r,см l,см R,см m,г t,с <t>,с 35 3,5 l 1 = R 1 = m 1 = l 1 = R 1 = m 2 = l 2 = R 2 = m 1 = l 2 = R 2 = m 2 = По результатам измерений, приведенных в табл.1, для каждой пары R i ,m i рассчитать и занести в табл. 2 следующие величины: а ускорение груза m по формуле (15), где ‹t› – среднее из пяти измерений; 10 β угловое ускорение вращающейся части по формуле (9); M момент сил, действующих на блок, по формуле (13); I момент инерции вращающейся части установки по формуле (14); ω угловую скорость в конце падения груза по формуле (16); L момент импульса вращающейся части установки в конце падения груза по формуле (17). Таблица 2 R,м (10 −2 ) m,кг (10 −3 ) <t>,с a, м с 2 β, рад с 2 M, Н м I,кг м 2 (10 −3 ) ω, рад с L, кг м 2 𝑐 (10 −3 ) R 1 = m 1 = R 1 = m 2 = R 2 = m 1 = R 2 = m 2 = По результатам измерений, приведенных в табл. 2, проверить: - соотношение (3), выбрав два одинаковых значения I; - соотношение (4), выбрав два одинаковых значения М; - соотношение (6), выбрав два произвольных значения t 1 и t 2 (т.е. два произвольных значения а 1 и а 2 ). При проверке соотношения 2 1 2 1 β β M M (3) должен быть неизменным R, т.е. в табл.2 нужно рассматривать значения из двух верхних или из двух нижних строчек. При проверке соотношения 1 2 2 1 β β I I (4) должно быть неизменным значение m, т.е. в табл.2 нужно брать значения из первой и третьей или второй и четвертой строчек. При проверке соотношение 2 2 1 1 2 2 1 1 ω ω t M t M I I (6), нужно выбрать одну строчку в табл.2 (например, R 1 , m 1 ). Получим I 1 , ω 1 , M 1 , t 1 Затем, рассматривая любую другую строчку , получим I 2 , ω 2 , M 2 , t 2 Далее проверяем, равны ли левая и правая части (6). 11 Задание 2. Определение зависимости момента инерции вращающейся части установки от расположения грузов на крестовине. Определение момента инерции крестовины. При выполнении задания 2 высота h остается неизменной, близкой к максимальной; масса груза m, подвешенного к блоку, тоже остается неизменной. Изменяют расстояние R грузов на крестовине на оси вращения (5 значений l, т.е. R). Минимальное значение l взять равным нулю (грузики прижаты к бобышке R = 3 см), максимальное значение l должно соответствовать положению грузиков на концах сткржней. При каждом значении R производят пять измерений t и находят среднее ‹ t ›. Для каждого значения R по среднему значению ‹ t › рассчитать: α – по формуле (15), β – по формуле (9), М – по формуле (13), І – по формуле (14). Заполнить табл. 3. Таблица 3 𝑁 𝑁 ⁄ l,м, (10 −2 ) R,м (10 −2 ) m, кг h,м R 2 , м 2 (10 -4 ) t , c ‹t›,с I,кг м 2 (10 −3 ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 0,100 2 3 4 5 Построить график зависимости I(R 2 ). Чтобы определить предполагаемую форму графика, следует учесть следующее. Момент инерции тела зависит от расстояния отдельных элементов его массы от оси вращения: m dm r I 2 (18) Согласно теореме Штейнера, если тело имеет момент инерции I o отноcительно его оси симметрии, то относительно оси, параллельной оси симметрии и находящейся на расстоянии a от нее, будет I=I o + ma 2 (19) В нашей работе a=R. Если последовательно применить соотношения (18) и(19) к крестовине и расположенными на ней грузами – цилиндрами, получим, что момент инерции вращающейся части установки будет: 12 , 4 4 16 12 4 16 12 4 2 0 0 2 0 2 0 2 0 кр 2 0 2 0 2 0 кр R m I R m D m d m I D m d m R m I I , (20) где I кр – момент инерции крестовины с бобышкой, m 0 – масса каждого из четырех грузов. Как видно из (20), теоретический график I(R 2 ) будет иметь вид, показанный на рис. 4. Чтобы построить график по результатам эксперимента, нужно на листе миллиметровой бумаги в достаточном для отображения погрешностей масштабе нанести пять точек, соответствующих значениям I и R 2 из табл.3. В пределах погрешности они соответствуют линейной зависимости (сплошная прямая на рис.4). Продлив линию до пересечения с осью I, найти I 0 . Для данной установки удобно задать на осях значения, показанные на рис.5. Как следует из (20), ) 16 12 ( 4 2 0 2 0 кр 0 D m d m I I Зная, что m 0 = 114 г, а также значения d и D, можно найти искомый момент инерции крестовины: ). 16 12 ( 4 2 0 2 0 0 кр D m d m I I Место для формулы. 𝐼 0 𝑅 2 Рис.4 Теоретический вид зависимости 𝐼(𝑅 2 ) 13 Контрольные вопросы 1. Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как рассчитать его для симметричных тел относительно неподвижной оси? 2. Что такое момент силы относительно точки? Модуль и направление момента силы? 3. Момент силы относительно оси. Какая сила создает вращающий момент и как он определяется в данной работе? Выполнение каких условий необходимо, чтобы момент силы был постоянным? 4. Угловое ускорение. Его направлении, модуль. Как в работе определяется величина и направление углового ускорения вращающейся части установки? 5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. 6. Что такое момент импульса относительно точки и относительно оси? От чего зависит момент импульса вращающейся части установки в работе? 7. Какие факторы влияют на величину момента инерции в данной работе? График зависимости I от R 2 . Какие величины можно определить, используя этот график? 8. Теорема Штейнера. Как рассчитать момент инерции груза на крестовине относительно заданной оси? Список литературы 1. Савельев, И.В. Курс общей физики. Механика, молекулярная физика/ И.В.Савельев – М.: «КноРус», 2012. 2. Иродов, И.Е. Основные законы механики/ И.Е.Иродов – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 3. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Механика/ Д.В.Сивухин – М. ФИЗМАТЛИТ, изд МФТИ, 2005. 4. Трофимова, Т.И. Курс физики. /Т.И. Трофимова. - М.: Издательский центр «Академия», 2006. |