Матлаб. К. Ю. Петрова введение в matlab учебное пособие
 Скачать 2.57 Mb.
|
|
Задачи и упражнения 1. Для приведенных ниже систем второго порядка найти дифференциальное уравнение, передаточную функцию, весовую функцию, описание в пространстве состояний и выполнить моделирование в MATLAB. а) Механическая система с трением m – масса груза, k – жесткость пружины, – коэффициент трения, v F сопр – сила трения Входной сигнал – сила F, выход – координата x или скорость x v б) Электрическая схема (параллельный колебательный контур). в) Электрическая схема (последовательный колебательный контур). Входной сигнал i, выходной сигнал i L Входной сигнал u; выходной сигнал u c или u R Численные значения параметров L, m принять равными числу букв в Вашей фамилии; R, – числу букв в имени/10; с, k – числу букв в отчестве. Указание. При построении математической модели использовать уравнения: второй закон Ньютона , F kx v ma где x a x v , ; законы Кирхгофа и Ома u R u c R C L u L I u L C R i(t) i L i C i R m F x 37 , 1 , ), ( / , ), ( Lp z Cp z R z p z u i u u u u t i i i i L C R R c L R C L 2. Используя команду dsolve, найти решение дифференциального уравнения , 0 x x x x с начальными условиями а) , 2 , 1 0 0 0 x x x б) 0 , 60 0 0 0 x x x Ответ: а) t e x t sin , б) ) 45 sin( 4 , 42 30 ) cos sin ( 30 o t t t e t t e x 3. Решить в символьном виде следующие дифференциальные уравнения: а) ; ) ( x , ) ( x , ) ( x , x x x 2 0 2 0 1 0 4 2 б) . ) ( x ) ( x ), nt sin( a x n x 0 0 0 2 Ответ: а) , 2 3 4 ) ( t e t t x б) x t a n nt nt nt ( ) sin cos cos( ) . 2 2 4. Найти реакцию апериодического звена с передаточной функцией a p p Q 1 ) ( на входной сигнал t e u . Определить максимум выходного сигнала. Выполнить численное и символьное моделирование в MATLAB, приняв a=1; b=2; T=3. Решение. а) Программа моделирования в MATLAB (тулбокс CONTROL): a = 1; b = 2; T = 3; % Задание параметров t = linspace(0, T); u = exp(-b*t ); % Входной сигнал sys = tf(1, [1 a]); % Описание системы y = lsim(sys, u, t); % Моделирование ym = max(y); plot(t, y). % Вывод результатов б) Аналитическое решение (тулбокс SYMBOLIC); t at e e a t y 1 ) ( При a (особый случай) решение принимает вид: ) ( ; ) ( 1 ) ( 2 at te t y a p p y При этом t M =1/a, y(t M )=1/ae. 5. Дано дифференциальное уравнение y (4) – y = e -t , с начальными условиями: 75 5 , 5 7 , 25 5 , 3 0 0 0 0 y y y y Найти аналитическое решение в MATLAB. Рассмотреть три варианта численного моделирования и сравнить их по точности. Возможная техническая интерпретация задачи – управление неустойчивым объектом, считая у отклонением, а u = e -t – управлением. Ответ: Аналитическое решение исходного уравнения: t e t y t cos 2 ) 25 , 0 5 ( Отметим, что в решение не вошла неустойчивая мода C 1 e t . Это означает, что программное управление e -t обеспечивает колебательное движение объекта около неустойчивого положения равновесия. На практике неизбежно появление малых отклонений, которые со временем будут лавинообразно нарастать. Три варианта численного моделирования. а) Раздельная реализация управления и системы. 38 sys=tf(1,[1 0 0 0 -1]); s=ss(sys); T=10;t=0:.1:T; u=exp(-t); X0=[-5.75;7.5;-5.25;3]; y=lsim(s,u,t,X0); z=(5-t/4).*exp(-t)-2*cos(t); plot(t,y,t,z) 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 3 4 Компьютер выдает правильное решение при Т< 8 сек., далее машинное решение «разваливается». б) Совместная реализация управления и системы. Входной сигнал u = e -t формируется с помощью апериодического звена, в качестве вектора b используется вектор Х 0 . Общий порядок системы равен пяти. Ранг матрицы управляемости ] ..., , , [ 4 b A Ab b R равен 4, т.е. реализация неминимальна. Тем не менее, теперь правильное решение сохраняется втрое дольше (на интервале 25 сек.). в) Дальнейшего увеличения точности решения можно достичь, если выполнить редукцию и перейти к минимальной реализации 4-го порядка. В пакете MATLAB такая редукция выполняется с помощью команды minreal. Аналитически редукцию можно выполнить, вычислив передаточную функцию ) 1 )( 1 ( 4 25 , 2 25 , 2 75 , 1 75 , 5 ) ( 4 2 3 4 p p p p p p p Q и затем сократив числитель и знаменатель на общий множитель р–1. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ в SIMULINK 3.1. Запуск и начало работы в SIMULINK Наиболее простым и удобным средством для моделирования динамических систем в пакете MATLAB является SIMULINK. Он поставляется в виде отдельного приложения и содержит библиотеки различных блоков, из которых в рабочем окне строится структурная схема модели. Процесс программирования в явном виде отсутствует, поэтому иногда говорят о визуальном моделировании. Особенно удобен такой подход для моделирования систем автоматического управления, заданных структурными схемами, дифференциальных уравнений (схемы для них строятся по методу понижения производных), механических систем и электрических схем. SIMULINK можно запустить, набрав команду simulink или нажимая на кнопку в линейке меню. При этом открывается окно браузера библиотек. Для создания новой модели выбираем пункт меню “File/New/Model”. То же самое можно сделать при помощи кнопки на панели инструментов. После выделения одной из библиотек (например, непрерывные блоки – Continuous) на правой панели появится список доступных блоков. Выбранный блок следует 39 перетащить мышью в окно модели. Если щелкнуть мышью по блоку в модели, то откроется окно параметров блока. При нажатии правой кнопки мыши на блоке открывается меню с перечнем операций, описанных в табл. 1. Таблица 1 Название Перевод Пример Cut, Paste, Clear Вырезать, Вставить, Удалить Format/Flip name Формат/Развернуть имя 1 s Integrator1 1 s Integrator Format/Hide name Формат/Спрятать имя 1 s 1 s Integrator Format/Flip block Формат/Развернуть блок 1 s 1 s Format/Rotate block Формат/Повернуть блок 1 s 1 s На рис.3.1 показана простейшая схема моделирования. Она содержит три блока: Sine wave (генератор синусоиды) из группы Sources (генераторы входных сигналов), Scope (осциллограф) из группы Sinks (регистрация выходных сигналов) и Integrator (интегратор) из группы Continuous (непрерывные модели). Блоки можно соединить, протянув линию от одного блока к другому при нажатой левой кнопке мыши. Чтобы удалить связь, достаточно выделить ее мышью, а затем нажать клавишу DEL. Блоки можно удалять точно таким же способом. Sine Wave Scope 1 s Integrator Рис.3.1 Для запуска модели следует нажать кнопку или выбрать пункт меню Simulation/Start. Если во время моделирования или после его окончания совершить двойной щелчок мышью по блоку Scope , откроется окно с графиком сигнала. Для разумного выбора масштаба графика нужно нажать мышкой на кнопку c изображением бинокля. 3.2. Генераторы входных сигналов и регистрация результатов Для моделирования входных и управляющих воздействий (синусоидальных, ступенчатых, импульсных и других) используются генераторы сигналов. Все они сосредоточены в библиотеке (группе блоков) Sources (источники). Часть из них показана на рис.3.2. 40 Step Sine Wave Ramp Pulse Generator untitled.mat From File simin From Workspace 1 Constant Band-Limited White Noise Рис. 3.2 Описание их параметров приведено в табл. 2. Таблица 2 Название блока Тип сигнала Параметры Step Ступенька Step time Момент скачка Initial value Начальное значение Final value Величина скачка Sine wave Гармонический сигнал b t A y ) sin( Amplitude Амплитуда A Bias Смещение b Frequency Частота радиан/сек Phase Сдвиг по фазе в радианах Ramp Линейно изменяющийся сигнал 0 0 0 0 , 0 ), ( t t t t t t k y y Slope Коэффициент наклона k Start time Начальное время 0 t Initial output Начальное значение 0 y Pulse generator Последовательность прямоугольных импульсов Amplitude Амплитуда Period Период колебаний в секундах Pulse width Ширина импульса Phase delay Сдвиг по фазе в секундах Band-limited white noise Белый шум, ограниченный по полосе Noise power Мощность Sample time Частота дискретизации Seed Параметр инициализации Constant Константа Constant value Величина константы From File Загрузка из файла File name Имя файла Sample time Частота дискретизации From Workspace Загрузка из рабочего пространства MATLAB Data Имя переменной Sample time Частота дискретизации В последних версиях SIMULINK в число генераторов входных сигналов включен блок Signalbuilder , позволяющий формировать кусочно-линейные сигналы произвольной формы. Для представления результатов моделирования используются блоки, расположенные в группе Sinks. Наиболее важными из них являются блоки Scope, Graph (осциллографы), Display, To File и To Workspace . Их изображения приведены на рис. 3.3. XY Graph simout To Workspace untitled.mat To File Scope 0 Display Рис. 3.3 Блок Scope предназначен для вывода графиков сигналов. Блок XY Graph необходим для изображения параметрических графиков, например, фазовых траекторий динамических систем. Блок Display выводит в окне числовое значение сигнала. Блок To File предназначен для сохранения результатов моделирования в файле. Пользователь может выбрать имя файла и имя 41 переменной. После выполнение моделирования содержимое файла можно загрузить в рабочее пространство командой load. Результаты моделирования можно передать в рабочее пространство MATLAB при помощи блока To Workspace . Пользователь должен ввести имя переменной (по умолчанию simout ). Имеется три варианта представления результатов – массив (array), структура (structure), структура со временем (structure with time). В первом случае в рабочем пространстве MATLAB появляется массив значений переменной simout и соответствующий массив времени timeout . Во втором и третьем случаях результат возвращается в виде структуры и помещается в рабочее пространство MATLAB. Извлечение переменных из полей структуры производится с помощью команд типа simout.time и simout.signal 3.3. Основные линейные и нелинейные блоки На рис. 3.4 приведены обозначения основных непрерывных блоков из библиотеки Continuous. (s-1) s(s+1) Zero-Pole 1 s+1 Transfer Fcn x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space 1 s Integrator du/dt Derivative Рис. 3.4 Описание их назначения и смысл некоторых параметров указан в табл. 3 Таблица 1 Название блока Тип блока Параметры Derivative Производная нет Integrator Интегратор External reset: none rising falling either level Внешний сброс: отсутствует по растущему фронту по падающему фронту по любому фронту по уровню Initial condition Начальные условия Limit output: upper saturation limit lower saturation limit Ограничения по выходу: верхний предел насыщения нижний предел насыщения State-space Описание в пространстве состояний (ОПС) D C B A , , , Матрицы системы Initial conditions Вектор начальных условий Transfer Fcn. Передаточная функция Numerator Массив коэффициентов числителя Denominator Массив коэффициентов знаменателя Zero-pole Нуль-полюсное описание системы Zeros Массив нулей Poles Массив полюсов Gain Коэффициент усиления На рис. 3.5 приведены аналогичные дискретные блоки (библиотека Discrete). Среди них есть два блока, не имеющих аналога среди непрерывных блоков. Это блок задержки Unit delay и 42 блок Discrete Filter – дискретный фильтр, который определяет рациональную функцию от оператора задержки z / 1 z 1 Unit Delay T z-1 Discrete-Time Integrator y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) Discrete State-Space 1 1+0.5z -1 Discrete Filter (z-1) z(z-0.5) Discrete Zero-Pole 1 z+0.5 Discrete Transfer Fcn Рис. 3.5 На рис. 3.6 показаны изображения блоков для выполнения математических операций. Они входят в группу «математических функций» (Math Operations). Рис. 3.6 Их описание и назначение параметров представлено в табл. 4. Таблица 4 Название блока Тип блока Параметры Math function Математическая функция Function: exp, log, 10^u, log10, sqrt, …. Вид функции Output signal type Auto Real Complex Тип выходного сигнала Не определен Вещественный Комплексный Sign Знак нет Sum Сумма Icon shape: Rectangular Round Изображение блока: Прямоугольное Круглое List of signs Знаки при входах Trigonometric function Тригонометриче ская функция Function: sin, cos, tan, asin, acos, sinh, cosh, …. Вид функции Output signal type Auto Real Complex Тип выходного сигнала Не определен Вещественный Комплексный Gain Усилитель Gain Коэффициент усиления Multiplication: Element-wise (K.*u) Matrix (K*u) Matrix (u*K) Способ умножения: Поэлементное Матричное (K*u) Матричное (u*K) Abs Модуль нет 3.4. Пример моделирования в SIMULINK sin Trigonometric Function Sum1 Sum Sign e u Math Function Gain |u| 43 Основной способ исследования систем в SIMULINK – составление структурной схемы на усилителях, сумматорах, интеграторах и других блоках, последующее моделирование и наблюдение результатов на имитаторах осциллографов и других регистрирующих приборов. Рассмотрим процедуру моделирования на примере дифференциального уравнения 2 / 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 sin y y y y Оно описывает свободное колебание математического маятника, который отклонили от положения равновесия на угол около 30 0 и отпустили без начальной скорости. Соответствующая схема моделирования приведена на рис.3.7, a. Она содержит два интегратора, тригонометрический блок для получения функции siny и инвертирующий усилитель. Начальные условия на интеграторах устанавливаются при задании внутренних параметров блока. Внесем в эту схему дополнительные блоки, позволяющие: Наблюдать фазовые траектории, т.е. графики зависимости y от y . Получать два графика ) (t y и ) (t y на одном осциллографе. Передавать результаты моделирования в MATLAB. Измененная схема показана на рис.3.7, б. Для наблюдения фазовых траекторий введен блок XY Graph . Для совмещения двух графиков на вход осциллографа Scope подан «сдвоенный» сигнал. Он получен с помощью блока «мультиплексор» ( Mux ) из группы блоков «маршрутизация сигналов» ( |