рейтинговая работа математических и естественно-научных дисциплин. Рейтинговая работа №1. Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

• Название: Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
• Анкор: рейтинговая работа математических и естественно-научных дисциплин
• Дата: 07.09.2020
• Размер: 181.55 Kb.
• Имя файла: Рейтинговая работа №1.docx
• Тип: Документы; #136993

Кафедра математических и естественно-научных дисциплин


Рейтинговая работа Контрольяная работа

по дисциплине «Математика»

Задание/вариант №7
Выполнена обучающимся группы Тепаевой Татяной Андреевной

Преподаватель Сурина Елена Евгеньевна

Москва – 2019 г.

1) Даны матрицы и число . Найти матрицу .

7). ,

Решение:

AB = * = число столбцов 1 матрицы (A) = числу строк 2 матрицы (B) = = == .

D = + = .

Ответ: D = .

2) Дана система линейных алгебраических уравнений. Найти решение этой системы любым методом.

7).

Решение:

Для нахождения (x;y;z) используем метод Крамера

1. 
   Найдем определитель:
   

1 способ:

Δ = = 8 * + 5 * + 4 * = = 8 * (24 + 40) + 5 * (–42 – 45) + 4 * (–56 + 36) = 8 * 64 + 5 * (–87) + 4 * * (–20) = 512 – 435 – 80 = –3 ≠ 0.

2 способ:

Δ = 8 * 4 * 6 + (–5) * (–5) * (–9) + (–7) * 8 * 4 – 4 * 4 * (–9) – (–5) * 8 * * 8 – (–5) * (–7) * 6 = 192 – 225 – 224 + 144 + 320 – 210 = –3 ≠ 0.

Данная система невыраженная.

2. 
   Δ_x = = 5 * + 4 * – 2 * = = 5 * (24 + 40) + 4 * (–42 – 45) – 2 * (–56 + 36) = 5 * 64 + 4 * (–87) – 2 * * (–20) = 320 – 348 + 40 = 12;
   

Δ_y = = 8 * + 5 * + 4 * = = 8 * (–24 + 16) + 5 * (30 – 18) + 4 * (40 – 36) = –64 + 60 + 16 = 12;

Δ_z = = 8 * + 5 * + 4 * = = 8 * (–8 + 20) + 5 * (14 + 25) + 4 * (28 – 20) = –224 + 195 + 32 = 3.

3. 
   x = ; x = = –4;
   

y = ; y = = –4;

z = ; z = = –1.

Ответ: (–4; –4; –1).

3) Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

3.1 координаты векторов , и их длины;

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

3.6 каноническое уравнение стороны ;

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

Таблица 1

Номер варианта	Координаты точек
7

Решение:

Координаты точек A(-4;2); B(-6;6); C(6;2) – вершины _ΔABC в прямоугольной системе координат.



Изображение №1. _ΔABC в прямоугольной системе координат.

3.1 координаты векторов , и их длины;

Решение:

= {–6 – (–4); 6 – 2} = {–2; 4};

| = { } = = 3 .

= {6 + 4; 2 – 2} = {10; 0};

| = { } = = 10.

Ответ: 3 ; 10.

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

Решение:

* = | * | .

* = –2 * 10 + 4 * 0 = –20;

= = = ;

φ=arccos ( ) = π – arccos .

Ответ: π – arccos .

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;

Решение:

= {–2; 4};

= {10; 0};

* = | * | * * = ;

= = = ;

* = 3 * 10 * = 10 ;

S_ΔABC = * * * ;

S_ΔABC = * 10 = 5 .

Ответ: * = 10 ; S_ΔABC = 5 .

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;

Решение:

Если существует прямая, которой данные вектора параллельны, то эти вектора коллинеарны (координаты пропорциональны).

= = k.

= {–2; 4};

= {10; 0}; β = {10β; 0}.

= {6 – (–6); 2 – 6} = {12; –4}.

+ β = {–2 + 10β; 4 + 0}.

= ;

= –1;

= –6;

= –5;

β = –1.

Ответ: β = –1.

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

Решение:



Изображение №2. Отрезок AB в отношении λ = .

= ; = = –5.

= ; = = 4.

Ответ: P(–5; 4).

3.6 каноническое уравнение стороны ;

Решение:

A(-4;2);

B(-6;6).

= ;

= ;

= ;

4x + 16 = –2y + 4;

2y + 4x + 12 = 0;

y + 2x + 6 = 0;

k = –2.

Ответ: k = –2.

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

Решение:

Уравнение прямой проходящей через точку C параллельно прямой AB (коэффициенты параллельных прямых равны).

Уравнение с прямой AB:

y + 2x + 6 = 0;

y = –2y – 6;

k = –2.

Уравнение прямой, проходящей через точку C: y = –2y + 6.

Ответ: y = –2y + 6.

4) Известны координаты (см. таблицу 2) в прямоугольной системе координат вершин пирамиды .

4.1 найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

4.2 найти каноническое уравнение прямой ;

4.3 найти общее уравнение плоскости ;

Таблица 2

Номер варианта	Координаты точек
7

Решение:

4.1найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

Решение:

Координаты векторов

* ( * ) = * (–4) – * (–6) + + * 0 = (0 + 9) * (–4) – 10 * (–6) + (–6) * 0 = –36 + 60 + 0 = 24;

V_пир. = * 24 = 4.

Ответ: 24; V_пир. = 4.

4.2 найти каноническое уравнение прямой ;

Решение:

Пусть A₁(5; 5; 4), а A₂(1; –1; 4)

Пусть { – ; – ; – } = {1 – 5; –1 – 5; 4 – 4} = {–4; –6; 0} – направляющий вектор прямой .

= = или = = т.е. = = или = = .

Ответ: = = или = = .

4.3 найти общее уравнение плоскости ;

Пусть A₁(5; 5; 4), A₂(1; –1; 4), A₃(3; 5; 1).

Уравнение прямой, проходящая через три точки записывается в таком виде:

= = = = 18 * (x – 5) + 0 * (y – 5) + 0 * (z – 4) – (12 * (z – 4) + + 0 * (x – 5) + 12 * (y – 5)) = 18 * (x – 5) + 12 * (z – 4) + 12 * (y – 5) = 18x – 90 – 12z + 48 – 12y + 60 = 18x – 12y – 12z + 18.

Следовательно, 18x – 12y – 12z + 18 = 0.

Ответ: 18x – 12y – 12z + 18 = 0.