Учебник. Кафедра Математических методов принятия решений

• Название: Кафедра Математических методов принятия решений
• Анкор: wqeeqwq
• Дата: 25.04.2023
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: Учебник.pdf
• Тип: Решение; #1088275
• страница: 2 из 5

Тема 2. Математические методы принятия решений в условиях определенности,
неопределенности и риска
Цели и задачи.
Цель изученияданной темы – получение общетеоретических знаний о математических методах принятия УР в условиях определенности, неопределенности и риска.
Задачи изученияданной темы:
·
ознакомление с постановкой задачи принятия решений в общем математическом виде;
·
изучение методов принятия решений в условиях определенности;
·
изучение методов принятия решений в условиях неопределенности и риска.
Вопросы темы:
1.
Проблема планирования деятельности фирмы.
2.
Математические методы принятия решений в условиях определенности.
3.
Математические методы принятия решений в условиях неопределенности.
4.
Математические методы принятия решений в условиях риска.
Вопрос 1. Проблема планирования деятельности фирмы.
Проблема планирования деятельности фирмы заключается в определении различных альтернатив действий и выборе оптимальной альтернативы, т. е. такой, которая позволяет получить наилучший результат в достижении поставленной цели. В качестве альтернатив могут выступать новые целевые области (товарные рынки), виды выпускаемой продукции, инвестиции в различные сферы деятельности фирмы и т. д. Как правило, они не могут быть реализованы одновременно. Целенаправленный выбор среди подобных альтернатив представляет собой принятие управленческого решения.

Реализация (осуществление) любой возможной альтернативы ведет к одному или нескольким последствиям (результатам). Ожидаемыми результатами могут быть выручка от реализации товаров, издержки производства, доля удовлетворения спроса, прибыль, затраты на продвижение товара, доля рынка и др.
На значение результата обычно оказывают влияние разнообразные факторы, которые не подвержены или почти не подвержены влиянию со стороны ЛПР. Возможное положение дел, не зависящее напрямую от воздействия руководства фирмы, называется ситуацией внешней или окружающей среды. Состояние внешней среды складывается, как правило, в результате имеющейся политической обстановки (стабильная, нестабильная), поведения конкурирующих фирм
(реактивное, нереактивное поведение), социально-экономических условий
(платежеспособного спроса, правительственного регулирования экономики и т. д.). Состояния внешней среды в теории принятия решений называют обычно гипотезами.
Каждой реализуемой альтернативе соответствуют некоторые состояния окружающей среды
. Ожидаемый результат при выборе альтернативы и
принятии гипотезы получается, если применить функцию предпочтения, или, как чаще всего говорят, функцию полезности f, т. е.:
Предполагается, что ЛПР известны получаемые благодаря ей закономерности. Значения функции f наглядно представляются в виде так называемой матрицы ожидаемых результатов.
При этом могут задаваться вероятности появления ситуаций внешней среды (гипотез)
, которые при принятии решений считаются рисками. Таким образом, проблема планирования может быть сведена к получению необходимой информации, размещению ее в виде таблиц, например в виде табл. 4. представляющих собой по существу основные модели задач теории принятия решений, и выбору оптимальной альтернативы.
Таблица 4.
Матрица описания задач принятия решений
Альтернативы, A
i
Состояния внешней среды (гипотезы)
Z
1
Z
2
…
Z
n
А
1
e
11
e
12
…
e
1n
А
2
e
21
e
22
…
e
2n
…
…
…
…
…
A
m
e m1
e m2
…
e mn
Вероятности гипотез, p
j
p
1
p
2
…
p n
Альтернатива A
i
, считается в общем случае доминирующей, если не существует никакой другой альтернативы со значением и
(для наименьшей величины, соответствующей j).

Здесь означает ожидаемый результат от применения альтернативы при наступлении состояния внешней среды . Если в матрице решений имеется доминирующая альтернатива, то она и выбирается в качестве планового решения. Однако, как правило, доминирующие альтернативы отсутствуют и, кроме того, решение приходится принимать в условиях риска и неопределенности. Здесь нужны специальные принципы принятия решений, или решающие правила, или критерии принятия решений, которые используются иногда как синонимы.
Итак, мы имеем задачу принятия решений (ПР). Все задачи ПР группируются в зависимости от набора классификационных признаков. Существует несколько подходов к классификации задач принятия решений (ЗПР). Однако большинство из них опирается на следующие признаки: характер субъекта (ЛПР), содержание ЗПР, количество целей, влияние времени, значимость решений. Каждый из признаков включает несколько параметров классификации ЗПР. Общая схема классификаций ЗПР приведена на рис. 16.
Особый интерес представляет признак «характер субъекта ПР», который описывает степень информированности ЛПР о проблемной ситуации и указывает конкретный тип ЛПР.
Ниже рассмотрим методы принятия решений:
а)
в условиях полной определенности, когда известны все составляющие и характеристики проблемы планирования;
б)
в условиях вероятностной определенности (риска);
в)
в условиях неопределенности.
На первом этапе планирования происходит упорядочение имеющейся (полученной)
информации, которая размещается в соответствующих таблицах, аналогичных рис. 16. Следует заметить, что для каждого типа задач принятия решений создается своя система подготовки информации.
Рис. 16. Классификация ЗПР по уровням и признакам группирования
Вопрос 2. Методы решения задач планирования в условиях полной определенности.
В данном случае необходимо различать однокритериальные и многокритериальные методы выбора плановых решений.
1.
Однокритериальные методы выбора. Считается известным:
·
исходное множество альтернатив
;

·
оценки результатов выбираемых альтернатив f(A
i
);
·
критерий выбора или
Следовательно, выбор характеризуется однозначной связью между принятым решением и его результатом
. В процессе решения задачи определяется альтернатива A*, для которой или
2.
Многокритериальные методы выбора. В достаточно большом количестве практических случаев принятия решений при планировании действий приходится учитывать не один, а несколько критериев. Не умаляя общности, можно считать, что все критерии стремятся к максимуму, так как если некоторые критерии минимизируются, то путем умножения их на (-1)
они будут стремиться к максимуму, причем решение при этом не изменяется. Матрица исходных данных принятия решений имеет вид (табл. 5).
Если в табл. 5 находится доминирующая альтернатива, то проблемы выбора как таковой не существует, а именно данная альтернатива и принимается в качестве планового решения.
Таблица 5.
Матрица исходных данных для многокритериальных методов выбора
Альтернативы, A
i
Критерии (цели)
Z
1
Z
2
…
Z
n
А
1
e
11
e
12
…
e
1n
А
2
e
21
e
22
…
e
2n
…
…
…
…
…
A
m
e m1
e m2
…
e mn
Однако, как было отмечено ранее, доминирующие стратегии т практике встречаются довольно редко. Поэтому приходится применять методы многокритериального выбора, причем решение должно быть наилучшим в определенном смысле. Итак, выделение существенных для модели рассматриваемой экономической системы показателей качества альтернатив выбора,
соответствующих поставленным целям, приводит к задаче векторной оптимизации, которая заключается в нахождении максимума вектор-функции:
,
где D – область допустимых решений модели.
В случае многокритериальной оптимизации возникают три проблемы. Первая проблема связана с выбором принципа оптимальности. В математическом отношении эта проблема эквивалентна задаче упорядочения векторных множеств, а выбор принципа оптимальности –
выбору отношений порядка. Вторая проблема связана с нормализацией векторного критерия
F(х). Дело в том, что частные критерии имеют различные единицы измерения, поэтому их необходимо привести к единому масштабу измерения, т. е. нормализовать(обычно приводят к безразличным величинам). Третья проблема связана с учетом приоритета (степени важности)
частных критериев. Часто для учета приоритета вводится вектор распределения важности или значимости критериев

В задаче многокритериального выбора решение почти всегда ищется в области компромиссов или в области решений, оптимальных по Парето, Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач, которые можно разбить на четыре группы:
1.
Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).
2.
Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.
3.
Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.
4.
Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.
В рассматриваемой постановке множество допустимых планов есть совокупность альтернатив
, а значения критериев равны:
Покажем применение некоторых методов многокритериальной оптимизации к решению задач планирования в системе управления фирмой.
Метод равномерной оптимизации:
(23)
Он применяется, если глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств и, кроме того, все критерии имеют одну и ту же единицу измерения, например денежное выражение либо безразмерные величины. Главный недостаток метода – это возможность компенсации малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.
Метод справедливого компромисса:
(24)
Он применяется, во-первых, потому что существуют разнообразные схемы, приводящие к такому методу, во-вторых, потому что имеется тесная связь с решением в некооперативных играх.
Метод свертывания критериев:
(25)
Здесь каждому из критериев приписываются весовые коэффициенты а, определяющие предпочтения ЛПР.
Метод главного критерия:

(26)
Здесь f1(х) – главный (наиболее важный из всех для ЛПР) критерий, dj – нижняя граница j-го критерия, устанавливаемая ЛПР.
Метод идеальной точки.
Ищется план, удовлетворяющий условию равномерного сжатия:
(27)
Метод последовательных уступок (или пороговых значений):
где hj – уступка по критерию
, т. е. величина, на которую ЛПР согласен уменьшить значение данного критерия по сравнению с его максимальным значением.
Метод группировки критериев.
Суть метода заключается в том, что множество критериев, значения которых предварительно вычислены на некотором оптимальном по Парето плане x°, разбивается на три группы. Первая группа включает критерии, значения которых могут быть уменьшены по сравнению со значениями, вычисленными на плане x° Вторая группа состоит из критериев,
значения которых желательно увеличить. Третья группа включает критерии, значения которых не хотелось бы уменьшать по сравнению с достигнутыми на плане x°. Далее отыскивается план уже в новой системе ограничений, который позволяет максимально увеличить значение критерия второй группы.
Так как критерии могут иметь различные масштабы и шкалы измерения, то прежде, чем приступить к решению многокритериальной задачи, их необходимо привести к одной единице измерения (обычно к безразмерному виду). Этот процесс называется нормализацией.
Существуют различные методы нормализации. Предлагается следующий способ получения безразмерной формы критериев:
(28)
где
Рассмотрим следующую многокритериальную задачу планирования. Пусть фирма имеет возможность реализовывать свои товары на 4-х различных рынках (альтернативы А
1
, А
2
, А
3
,
А
4
). При этом ставятся одновременно следующие цели: минимизация затрат на рекламу,
завоевание максимальной доли рынка и максимальный объем продаж в течение планируемого периода. Исходные данные приведены в табл. 6.
Таблица 6.

Исходные данные многокритериальной задачи (пример)
Альтернативы, рынки
Цели (критерии)
затраты на
рекламу,
тыс.ден.ед., f1
доля рынка,
%, f2
объем продаж,
тыс.ден.ед., f3
А
1
7 45 90
А
2
5 40 85
А
3
9 50 80
А
4
6 45 83
Значения критериев даны в различных единицах измерения, поэтому согласно формуле
(28) приведем их к безразмерному виду:
Так как критерий f1, минимизируется, то для того, чтобы все критерии стремились к максимуму, умножим безразмерные величины критерия f1, на (-1) и сформируем табл. 7. Решим задачу несколькими методами.
Таблица 7.
Преобразованные исходные данные (пример)
Альтернативы
Цели (критерии)
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Метод равномерной оптимальности.
В соответствии с (23) имеем:
Таблица 8.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
-0,5+0,5+1=1
А
2 0
0 0,5 0,5

А
3
-1 1
0 0
А
4
-0,25 0,5 0,3
-0,25+0,5+0,3=0,55
Следовательно, согласно принципу равномерной оптимальности предприятию выгоднее работать на рынке А
1
Метод справедливого компромисса.
Чтобы воспользоваться данным методом, избавимся от отрицательности критерия f1,
добавив константу, например 1. Тогда значения первого критерия будут равны:
На основании (24) имеем:
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5+1=0,5 0,5 1
0,5*0,5*1=0,25
А
2
0+1=1 0
0,5 1*0*0,5=0
А
3
-1+1=0 1
0 0
А
4
-0,25+1=0,75 0,5 0,3 0,75*0,5*0,3=0,1125
Результат получился аналогичный предыдущему, а именно выгоднее работать на рынке
А
1
Метод свертывания критериев.
Сначала положим следующие значения весовых коэффициентов:
.Тогда функции свертки в соответствии с (25) будут равны:
Таблица 10.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Таблица 9.

При таком значении коэффициентов значимости критериев выгоднее работать на рынке
A1.
Если доложить
, то получим:
Таблица 11.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Таким образом, если приоритет отдается доле рынка (
), то фирме имеет смысл работать на рынке А
3
Если же фирма находится в затруднительном положении с точки зрения средств,
выделяемых на рекламу, другими словами, для нее в данный момент самым важным является минимизация затрат на рекламу, то коэффициенты значимости могут быть, например, выбраны такие:
;
Следовательно, в такой ситуации лучше всего работать на рынке А
2
Если задать весовые коэффициенты
, то
При таких значениях весовых коэффициентов выгоднее работать на рынке А
1
Приведем два последних варианта решений в следующей таблице:
Таблица 12.
Альтернативы
Цели
(критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
-0,25
0,35
А
2
0 0
0,5
0,05
0,15
А
3
-1 1
0
-0,7 0,1
А
4
-0,25 0,5 0,3
-0,12 0,215
Метод главного критерия.

Пусть главный критерий f1 – затраты на рекламу, а остальные критерии выступают в роли ограничений, причем доля рынка должна быть не меньше 45%, а объем продаж не меньше 85
тыс.ден.ед. Тогда в соответствии с (26) минимальное значение главного критерия f1 равно 5
тыс.ден.ед. и соответствует альтернативе А
2
однако с учетом ограничения на долю рынка следует выбрать альтернативу A4, но так как еще требуется, чтобы объем продаж был не меньше 85 тыс.ден.ед., то наилучшей альтернативой в этом случае будет рынок A1.
f
1
-главный критерий,
,
Таблица 13.
Альтернативы,
рынки
Цели (критерии)
затраты на рекламу,
тыс.ден.ед., f1
доля рынка, %, f2
объем продаж,
тыс.ден.ед., f3
А
1 7
45
90
А
2
5=min
40 85
А
3 9
50 80
А
4 6
45
83
Метод идеальной точки (критерий равномерного сжатия (27) соответствует принципу
Сэвиджа). Определим сначала максимальные значения критериев. А именно
Матрица отклонений значений критериев от наилучших значений имеет вид:
Максимальные отклонения по каждой из 4-х альтернатив имеют следующие значения: 0,5;
1; 1; 0,7. Выберем минимальное из этих отклонений:
Таблица 14.
Цели (критерии)
Отклонения от max
Max
отклонения
А
1
А
2
А
3
1=
А
4

Минимальное значение 0,5 соответствует альтернативе A1 следовательно, используя данный метод, получим решение, которое рекомендует фирме планировать работу на рынке A1.
Вопрос 3. Принятие решений в условиях неопределенности.
Большинство задач планирования зависит от ряда неизвестных заранее и неуправляемых факторов. Эти задачи обладают той или иной степенью неопределенности, которая может быть как объективной, так и субъективной, зависящей от индивидуальных психофизических параметров ЛИР. В таких задачах неизвестно распределение вероятностей
, с которыми внешняя среда может находиться в одном из возможных состояний
. В этом случае
ЛДР выдвигает только определенные гипотезы относительно состояний внешней среды.
Таким образом, для ЛПР, действующего в условиях неопределенности и невозможности получения дополнительной информации о неопределенных факторах, элементами описания ситуации планирования являются:
·
множество допустимых стратегий (множество возможных альтернатив действий ЛПР)
;
·
множество возможных состояний внешней среды (множество гипотез)
Предполагается, что на множестве отношений А х Z можно задать некоторую функцию полезности
, которая выступает в качестве меры желательности или полезности соответствующей альтернативы. Если множества A и Z конечны, то мера для оценки эффективности действий ЛПР (полезность исходов) представима в виде матрицы. Каждое конкретное значение элемента матрицы
(см. табл. 5) характеризует выбор i-й стратегии (альтернативы
) при состоянии внешней среды
. Для выбора лучшей стратегии имеется ряд специальных методов, ориентированных на использование в условиях неопределенности, которые рассмотрены и проиллюстрированы ниже.
Критерий максимина (принцип гарантированного результата, или критерий
Вальда). Данный принцип заключается в выборе в качестве оптимальной (наиболее эффективной) той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее среди наименее благоприятных состояний внешней среды значение функции полезности. Таким образом,
оптимальной, считается альтернатива A*, для которой выполняется соотношение:
(29)
Здесь есть значение функции полезности при альтернативе и состоянии внешней среды
. Найденная оптимальная альтернатива A* выбранная по критерию
Вальда, обеспечивает гарантированный выигрыш (успех в достижении цели) при наихудшем для данной фирмы состоянии внешней среды.
Рассмотрим следующий пример. Исходная таблица решений характеризуется данными,
привёденными в табл. 15.
Таблица 15.
Ожидаемые значения прибыли (тыс.ден.ед.) для трех товарных рынков

Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220
Рынок, А
2 490 390 300 270
Рынок, А
3 575 420 260 190
Сначала для каждой альтернативы выбираем по соответствующей строке минимальное значение функции полезности, т.е.
Далее из полученных минимальных значений в соответствии с (29) выбирается максимальное:
Таблица 16.
Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
Min по
строке
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220 220
Рынок, А
2
490 390 300 270
270=max
Рынок, А
3 575 420 260 190 190
Следовательно, оптимальной по критерию максимина является альтернатива А
2
, т.е.
фирме целесообразно выходить со своим товаром на рынок А
2
. Это самая осторожная стратегия,
так как при любом состоянии внешней среды фирма получит прибыль не менее 270 тыс.ден.ед.
Критерий максимакса (принцип безудержного оптимизма). Если критерий максимина ориентирован на получение гарантированного минимума желаемого результата (правило
«лучший» из «худших”), то критерий оптимизма предполагает возможность получения максимального уровня желательности результата. Эта альтернатива А* выбирается исходя из выражения
(30)
Рассматривая исходные данные (табл. 15) с точки зрения принципа оптимизма (30),
получим:

Таким образом, оптимальной по критерию оптимизма будет альтернатива А
3
, для которой справедливо соотношение:
Таблица 17.
Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
Max по
строке
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220 530
Рынок, А
2 490 390 300 270 490
Рынок, А
3
575 420 260 190
575=max
Критерий Гурвица. Данный критерий представляет собой комбинацию принципа гарантированного результата и принципа оптимизма. Функция, описывающая критерий
Гурвица, представляется в виде:
(31)
где
– стратегия выбора альтернативы, характеризующая принцип гарантированного результата, а
– принципа оптимизма;
– весовой коэффициент.
Так как то общее выражение для принципа Гурвица на основании (31) будет иметь следующий вид:
или
Здесь используются две гипотезы: первая – среда находится с вероятностью а в самом невыгодном состоянии и вторая – среда находится с вероятностью в самом выгодном состоянии.

В зависимости от значения весового коэффициента можно получить различные предпочтительные альтернативы. Причем если
, то имеем принцип оптимизма, если
,
то получим принцип гарантированного результата.
Используя этот критерий, обратимся опять к нашим данным (табл. 15). Пусть весовой коэффициент, характеризующий степень важности соответствующей альтернативы, равен 0,7.
Тогда получим:
(32)
Подставляя значения из табл. 15 в выражение (6.10), имеем:
Далее производим выбор на основе следующей стратегии:
Подставляя вычисленные ранее значения, получим:
Таким образом, оптимальной по принципу Гурвица при коэффициенте будет альтернатива A2.
Приведем решение данным методом в следующей таблице:
Таблица 18.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2
490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3 575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Если же весовой коэффициент равен 0,2 то решение изменится следующим образом:
Оптимальной стратегией в этом случае будет работа фирмы на рынке A3.
Приведем решение в виде таблицы:

Таблица 19.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2 слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2 490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3
575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Наконец, если положить
, то получим следующее решение:
И в этом случае оптимальной стратегией будет работа на рынке A3.
Приведем решение в виде таблицы:
Таблица 20.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2 слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2 490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3
575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Заметим, что если фирма желает, например, работать на всех трех рынках, то, используя принцип Гурвица, можно принять следующее решение по распределению долей продукции
(долей объемов продаж) между рынками, применив формулу:
где d i
. – доля товара в натуральном или денежном выражении, реализуемого на рынке A
i
,
В общем случае процентное соотношение распределения товара по рынкам с использованием критерия Гурвица может быть вычислено по аналогичной формуле:
(33)

где D
i
– доля товара, реализуемого на рынке A
i
, выраженная в процентах; m – количество рассматриваемых рынков.
В нашем примере при
, если рассматривать все три рынка, то, используя формулу
(33), получим следующее процентное распределение товара между рынками:
Однако представляется более рациональным распределить товар между рынками A2 и А
3
,
так как рынок A2 должен быть выбран согласно принципу гарантированного результата, а рынок A3 – согласно принципу оптимизма, причем изменение весового коэффициента в принципе Гурвица приводит к тем же альтернативам A2 и A3. Поэтому, используя формулу (33)
для двух рынков и
, получим следующее процентное распределение товара между ними:
Вообще говоря, здесь мы имеем пропорциональное распределение рисков. Данный подход может быть использован в практических расчетах.
Критерий минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа). Стратегия выбора по принципу Сэвиджа характеризует те потенциальные потери, которые фирма будет иметь, если выберет неоптимальное решение. Детализированная процедура выбора в этом случае производится в три этапа.
1.
Для каждого состояния внешней среды по конкретной альтернативе определяется максимальное значение функции полезности:
(34)
Это есть, возможно, наилучший уровень полезности, который можно получить для конкретного состояния внешней среды Z
j
2.
На основании значений, вычисленных по формуле (6.12), для каждой альтернативы строится показатель:
(35)
Данный показатель характеризует потенциальный риск, а точнее потерянную выгоду от выбора неоптимальной альтернативы. В результате этого действия формируется матрица

потенциальных потерь.
3.
Используя полученную на предыдущем этапе матрицу потерь (или, как еще говорят,
матрицу сожалений), производится выбор стратегии с наименьшим показателем риска:
(36)
Данный критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние внешней среды наихудшим образом отличается от предполагаемого. Рассмотрим применение принципа
Сэвиджа на исходных данных (табл. 15) в соответствии с описанной выше процедурой.
1.
Для значений функции полезности по каждому состоянию внешней среды Z1, Z2, Z3,
Z4 на основании (34) определим максимальный уровень полезности:
Таблица 21.
Возможные
новые
товарные
рынки
Политическая обстановка
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460=max(Z2)
240 220
Рынок, А
2 490 390 300=max(Z3)
270=max(Z4)
Рынок, А
3 575=max(Z
1
)
420 260 190 2.
Вычислим элементы матрицы потенциальных потерь согласно формуле (35):
Таким образом, матрица потерь будет иметь следующий вид (табл. 22).
Таблица 22.
Матрица потенциальных потерь
Альтернативы
Состояния внешней среды
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1
575-530=45 460-460=0 300-240=60 270-220=50
А
2
575-490=85 70 0
0
А
3
575-575=0 40 40 80

3.
На основании матрицы потерь (табл. 22) можно определить максимальные потери по каждой альтернативе. Для этого применим правило:
Для каждого определим:
Таблица 23.
Альтернативы
Состояния внешней среды
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1
45 0
60=max(A1)=min(max)
50
А
2 85=max(A
2
)
70 0
0
А
3 0
40 40 80=max(A3)
Оптимальной будет та альтернатива, которая имеет минимальные потери согласно выражению (36):
Следовательно, оптимальна альтернатива A1 имеющая минимальные потери выгоды.
Критерий Лапласа. Данный критерий применяется, если состояния внешней среды неизвестны, но их можно считать равновероятными, т. е.
Решающее правило в этом случае имеет следующий вид:
В рассматриваемом примере:
Следовательно, с точки зрения критерия Лапласа можно выбрать как рынок A1, так и рынок A2.

Таблица 24.
Политическая обстановка
Критерий е(А) по строкам
стабильная
стаб.
нестаб.
нестаб.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
А
1
530 460 240 220
А
2 490 390 300 270
А
3
575 420 260 190
Сделаем несколько практических рекомендаций по применению рассмотренных выше критериев (принципов).
1.
Критерий Вальда лучше всего использовать тогда, когда фирма желает свести риск от принятого решения к минимуму.
2.
Коэффициент в критерии Гурвица выбирается из субъективных соображений: чем опаснее ситуация, тем больше ЛПР желает подстраховаться.
3.
Критерий Сэвиджа удобен, если для предприятия приемлем некоторый риск.
4.
Критерий Лапласа может быть применен, когда ЛПР не может предпочесть ни одной гипотезы.
Вопрос 4. Методы планирования в условиях риска.
Когда выбор планового решения осуществляется в условиях риска, известны или задаются субъективные вероятности возможных состояний внешней среды. При этом постановка задачи будет следующей:
а)
имеется множество альтернатив и множество состояний внешней среды
;
б)
известны субъективные вероятности состояния среды
, причем в)
для каждого сочетания альтернативного решения A
i и состояния задана функциональная полезность .
Существующие методы выбора базируются в основном на использовании вероятностных мер в качестве критериев выбора. В теории статистических решений обычно используются принцип Байеса. принцип Бернулли и принцип энтропии математического ожидания функции полезности.
Принцип Байеса. В качестве критерия выбора стратегии (альтернативы) A
i применяются взвешенные по вероятности суммы полезностей, т. е.
(37)

Оптимальным считается решение A*, для которого значение критерия e i
будет максимальным или минимальным в зависимости от постановки задачи:
(38)
или
Если в примере (табл. 15) задать вероятности то на основе (6.15) и (6.16) получим:
Следовательно, оптимальной является альтернатива A3.
Таблица 25.
Новые
рынки
Политическая обстановка
Значение критерия е
по строкам
стабильная
стаб.
нестаб.
нестаб.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
А
1 530 460 240 220 530*0,4+460*0,2+
240*0,1+220*0,3=394
А
2 490 390 300 270 385
А
3
575 420 260 190
397=max
Вероят-ть,
p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Иногда каждому решению A1, ставят в соответствие не значение функции полезности e ij
, а величину потерь wij = |e ij
-max{e ij
}| , которая характеризует упущенные возможности. Тогда
(39)
Используя матрицу потенциальных потерь, вычислим с учетом вероятностей наступления тех или иных состояний среды общие потери:
На основе формулы (39) имеем:

Оптимальной альтернативой является A3.
Таблица 26.
Альтернативы
Состояния внешней среды
Критерии w по строкам
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1 45 0
60 50 45*0,4+0*0,2+60*0,1+50*0,3=39
А
2 85 70 0
0 48
А
3
0 40 40 80
36=min
Вероят-ть, p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Принцип Бернулли. При использовании данного принципа исходят из того, что известна некоторая функция полезности u(е). Эта субъективная функция полезности Бернулли ставит в соответствие каждому возможному вероятностному значению альтернативы определенную величину полезности. Для каждой альтернативы можно определить ожидаемое значение полезности ее вероятностного результата. Оптимальной считается альтернатива с наибольшим ожидаемым значением полезности, т. е. оптимальной стратегии соответствует
Вид функции полезности Бернулли зависит от отношения ЛПР к риску. Принципиальный вид функции полезности:
а)
при нейтральном (безразличном) отношении к риску;
б)
при существенном учете риска;
в)
при малой значимости риска представлен на рис. 17.
Здесь следует заметить, что на различных интервалах изменения аргумента функция полезности может иметь различный вид с точки зрения отношения к риску.
Рассмотрим принцип Бернулли применительно к задаче, исходные данные которой представлены в табл. 15, а вероятности состояния внешней среды такие же, как и в примере,
иллюстрирующем принцип Байеса, а именно р
1
= 0.4; p2= 0,2; p3=0,1; р
4
=0,3.
В результате проведенных расчетов функция полезности Бернулли имеет следующий вид:
Рис. 17. Вид функции полезности Бернулли при различных точках зрения на риск

График данной функции изображен на рис. 18. Результаты определения оптимальной альтернативы (нового целевого рынка) по принципу Бернулли помещены в табл. 27.
Таблица 27.
Значения функции полезности Бернулли
Альтернативы
Состояния внешней среды
Ожидаемые значения
полезности
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
A
1
222 192 96 88 163,2
A
2
205 156 120 108 157,6
A
3
237 171 104 76 162,2=max(A)
Вероятность, p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Рис. 18. Функция полезности Бернулли u(е)
Согласно принципу Бернулли, оптимальной стратегией будет A1.
Замечание. Рассмотренные выше методы представляют собой индивидуальный выбор альтернатив, т.е. когда решение принимает одно лицо или несколько лиц, имеющих единое мнение. Однако могут быть применены и методы группового выбора.
Литература.
Основная литература:
1.
Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в
Волшебных странах: Учебник. – М.: Логос, 2008. – 392 с.
2.
Литвак Б.Г. Управленческие решения. – М.: Дело, 2008. – 254 с.
3.
Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 272 с.
4.
Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учеб. пособ. – М.: Бизнес- школа, Интел-Синтез, 2007. – 272 с.
Дополнительная литература:

1.
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, принятие решений в экономике
– М.: Финансы и статистика, 2007. – 368с.
2.
Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: Научно-практическое издание. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
3.
Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих решений: Учеб пособие для вузов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2007. – 288 с.
4.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.
5.
Ашихмин А.А. Разработка и принятие управленческих решений: формальные модели и методы выбора. – М.: МГТУ, 2005.
6.
Вентцель Е.С. Исследование операция. – М.: Советское радио, 1972.
7.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985.
8.
Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. – М.: Радио и связь, 1982/
9.
Давыдов Э.Г. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 1990.
10.
Лапшин К.А., Светлов Н.М. Прогграммный комплекс «Линейная оптимизация» –
методические указания для студентов экономического факультета. – М.: МСХА, 1994.
11.
Лесик, А. И., Чистяков, Ю. Е. Теоретико-игровые модели взаимодействия экономических субъектов производственной системы. – М. : ВЦ РАН, 1994.
12.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985.
13.
Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998.
14.
Платов В.Я. Деловые игры: разработка, организация, проведение. – М.: Профиздат,
1991.
15.
Сысоев, В. В. Теоретико-игровые модели принятия решений многоцелевого управления в задачах выбора и распределения ресурсов / Воронеж : Воронеж. гос. технол. акад.,
2000.
16.
Giblons R. Game theory for applied economists. Princeton University press, Princeton, New
Gersey, 1992.
Вопросы для самопроверки:
1.
Какими условиями характеризуется среда принятия решений?
2.
В чем особенность информационных ограничений процесса принятия решений?
3.
Что можно отнести к внешним факторам, оказывающим влияние на процесс принятия решений?
4.
Что можно отнести к внутренним факторам, оказывающим влияние на процесс принятия решений?
5.
Расчетом какого показателя отличается неопределенность и риск?