Рейтинговая работа №1 Математика часть 1 Университет им. Витте. Кафедра Математика и информатика

• Название: Кафедра Математика и информатика
• Анкор: Рейтинговая работа №1 Математика часть 1 Университет им. Витте
• Дата: 09.01.2022
• Размер: 251.1 Kb.
• Имя файла: Reitingovaya_rabota_6_variant_Matematika.docx
• Тип: Задача; #326633

Кафедра ___Математика и информатика_________________________


Рейтинговая работа _______________________________________________

(домашняя творческая работа, расчетно-аналитическое задание, реферат, контрольная работа)

по дисциплине _________________________________________________
Задание/вариант № 6

Тема* ______________________________________________________________

Выполнена обучающимся группы __________

__________________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)
Преподаватель ____________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Москва – 2021 г.


Содержание

Задача 1 3

Задача 2 4

Задача 3 6

Задача 4 10

Список литературы 13

Вариант 6

Задача 1

Даны матрицы и число . Найти матрицу .
6) ,

Решение:

.
1) находим сначала произведение АВ

Матрица A размера (3 на 2), а другая матрица Вразмера (2 на 3). Тогда произведение матриц A ⋅ B имеет размер (3 на 3). Умножаем:



2) умножаем матрицу С на число (-2):



3) осталось сложить две полученные матрицы:
.

Вывод: .

Задача 2

Дана система линейных алгебраических уравнений

Найти решение этой системы любым методом.


Решение: Применим матричный метод.

Данное матричное уравнение имеет вид АХ = В, где

	-6	2	-5		-5		х1
А =	5	3	-4	; В =	3	; Х =	х2
	4	5	-8		2		х3

Если определитель матрицы отличен от нуля, то решение системы ищем по формуле: Х = А^-1В. Нужно сначала найти обратную матрицу А^-1.

Δ =	-6	2	-5	= -6 ·			– 2 ·			– 5 ·			=
	5	3	-4		3	-4		5	-4		5	3
	4	5	-8		5	-8		4	-8		4	5

Получили определитель 7 ≠ 0, значит матрица А имеет обратную матрицу А^-1. Найдем её по формуле:

= ,
тут - матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы А. Найдем их: , где М_іj – минор элемента а_іj матрицы А.

А11 =	3	-4	=	-4	; А12 = –	5	-4	=	24	; А13 =	5	3	=	13
	5	-8				4	-8				4	5
А21 = –	2	-5	=	-9	; А22 =	-6	-5	=	68	; А23 = –	-6	2	=	38
	5	-8				4	-8				4	5
А31 =	2	-5	=	7	; А32 = –	-6	-5	=	-49	; А33 =	-6	2	=	-28
	3	-4				5	-4				5	3

Искомая обратная матрица:

	-4	-9	7
	24	68	-49
	13	38	-28

Тогда решение найдем путем умножения этой матрицы на матрицу В:

Х = А-1В	-4	-9	7		-5		7		1
	24	68	-49	·	3		-14	=	-2
	13	38	-28		2		-7		-1

Ответ: .

Задача 3

Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

3.1 координаты векторов , и их длины;

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

3.6 каноническое уравнение стороны ;

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Таблица 1

Координаты точек

Решение: Сделаем чертеж треугольника на координатной плоскости:


L


3.1. Координаты и длина :





Координаты и длина :





3.2 Найдем скалярное произведение векторов , и угол между векторами ,



 0,707) ≈ 45.

_{3.3 найдем векторное произведение векторов} , :



Площадь треугольника равна половине от найденного значения:
.

3.4 найдем значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны.





Векторы коллинеарны, если их координаты будут взаимно пропорциональны:

 



.

3.5 найдем координаты точки , делящей отрезок в отношении , если , , т.е. .

Координаты точки :  , т.е.

.

_{3.6 найдем каноническое уравнение стороны .}

   .

3.7 найдем уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

  

Тогда параллельная ей прямая имеет уравнение , где при х = 6: у =1, т.е.   . Угловой коэффициент k = 3.

Задача 4

4) Известны координаты (см. таблицу 2) в прямоугольной системе координат вершин пирамиды .

4.1 найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

4.2 найти каноническое уравнение прямой ;

4.3 найти общее уравнение плоскости .

Таблица 2

Координаты точек

Решение:

4.1. Сначала найдем координаты векторов А₁А₂, А₁А₃ и А₁А₄ .

=(

2

–

0

;

-1

–

7

;

5

–

1

) = (

2

;

-8

;

4

)

.

=(

1

–

0

;

6

–

7

;

3

–

1

) = (

1

;

-1

;

2

)

.

=(

3

–

0

;

-9

–

7

;

8

–

1

) = (

3

;

-16

;

7

)

.

Смешанное произведение векторов по заданным координатам ищем по формуле: Для , , : , у нас:

	2	-8	4	= 2 ·			– (-8) ·			+ 4 ·			=
	1	-1	2		-1	2		1	2		1	-1
	3	-16	7		-16	7		3	7		3	-16

Модуль этого смешанного произведения равен объему параллелепипеда, который построен на этих векторах и , при этом объем пирамиды равен 1/6 от объема всего параллелепипеда.

У нас объем пирамиды равен: V = (ед³).

4.2 каноническое уравнение прямой : , где A₁(0,7,1), A₂(2,-1,5) , подставляем координаты, получаем:

  .
4.3. Уравнение плоскости : (уравнение по трем точкам пространства) 

х	–	0		у	–	7		z	–	1		х		у – 7		z – 1
2	–	0		-1	–	7		5	–	1	= 0 	2		-8		4	= 0 
1	–	0		6	–	7		3	–	1		1		-1		2

Это определитель 3-го порядка, раскроем его:

х	-8	4	– (у – 7)	2	4	+ (z – 1)	2	-8	= 0 
	-1	2		1	2		1	-1

_{Упростим:}



Сократим на (-6):

.

Ответ: .

Список литературы

1. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким.. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Аналитическая геометрия, М: Физматлит, 2017.-224 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов.  – М.: Физматлит, 2005. – 304 с.

4. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Аналитическая геометрия, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015, - 336 с.

5. Кремер, Н.Ш. Линейная алгебра: Учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, М.Н. Фридман. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 306 c.

6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. - М.: Айрис-пресс, 2011. - 608 с.