Прак. Занятие по теме Аналитическая геометрия в пространстве Раздел Аналитическая геометрия ав пространстве
 Скачать 1 Mb.
|
Лекционно-практическое занятие по темеАналитическая геометрия в пространстве Раздел «Аналитическая геометрия ав пространстве» курса «Высшая математика» включает две основные темы: 1. Плоскость 2. Прямая в пространстве 3. Поверхности 2-го порядка 1. ПлоскостьОсновные уравнения плоскости 1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору 2. Общее уравнение плоскости - вектор нормали 3. Уравнение плоскости « в отрезках» Уравнения плоскости4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и Условие компланарности векторов Построение плоскостей1. Построить плоскость Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.
Z Y X 2 3 4 Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках» 1) Переносим вправо свободный член уравнения 2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части 3) Убираем коэффициенты из числителей Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат Построение плоскостей2. Построить плоскость В уравнении отсутствует переменная z. Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.
Соединяем точки прямой линией и получаем след плоскости на плоскости XOY. Теперь из точек пересечения проводим прямые, параллельные оси OZ. Z Y X 10/3 -2 Аналогично строятся все плоскости, в уравнении которых отсутствует одна переменная X Y Z 7 2 X Y Z 2 3 Построение плоскостей3. Построить плоскость В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ. Z Y X 8/3 0 Аналогично строятся плоскости, в уравнениях которых отсутствуют две переменные Z X Y 0 Z X Y 9/4 3/5 0 Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует одна переменная, то плоскость проходит параллельно той оси координат, переменной которой нет в уравнении. Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то плоскость проходит параллельно координатной плоскости, переменных которой нет в уравнении. Уравнения координатных плоскостей - уравнение плоскости YOZ - уравнение плоскости XOZ - уравнение плоскости XOY Взаимное расположение плоскостей1. Условие параллельности плоскостей 2. Условие перпендикулярности плоскостей 3. Косинус угла между плоскостями Угол между плоскостями – это угол между векторами нормалей этих плоскостей Расстояние от точки до плоскости находится по формуле Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости, разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение взять по абсолютной величине. Расстояние – величина всегда положительная ! Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость 2. Прямая в пространстве. Основные уравнения1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору - канонические уравнения - направляющий вектор 2. Параметрические уравнения 3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и Прямая в пространстве. Основные уравнения4. Общее уравнение прямой в пространстве а) Направляющий вектор б) Нахождение точки на прямой - канонические уравнения прямой Взаимное расположение прямых в пространстве1. Нахождение угла между прямыми. Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому угол между прямыми – это угол между направляющими векторами 2. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых Условие параллельности прямых Условие перпендикулярности прямых Расстояние от точки до прямой в пространствеЗадача о нахождении расстояния от точки до прямой решается так же, как в векторной алгебре находилась высота параллелограмма, построенного на двух известных векторах. На векторах и строим параллелограмм. Высоту находим как отношение площади параллелограмма к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного произведения векторов, а длина основания – это длина вектора Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние. 1. Условие параллельности прямой и плоскости 2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью считается угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. На рисунке это угол . Из уравнений прямой и плоскости известны направляющий вектор прямой и вектор нормали плоскости. Косинус угла между этими векторами легко можно найти. Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как синус угла в данной ситуации может быть только положительным Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно составить систему из уравнений прямой и плоскости Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в параметрический вид Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости Из этого уравнения находим параметр и подставляем его значение в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения Составление уравнений плоскостиСоставить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Исходное уравнение: Подставляем координаты точки и вектора Раскрываем скобки Приводим подобные Получили общее уравнение плоскости. Решение типовых задач контрольной работы № 41. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и Используем уравнение Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных векторов, а значит перпендикулярен и плоскости. Итак, Подставляем все данные в уравнение плоскости Аналогично решаются задачи с такими условиями: 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую Из уравнения прямой можно определить координаты направляющего вектора и точки Чтобы найти вектор нормали плоскости, нужно знать два вектора, параллельных этой плоскости. Один из этих векторов – направляющий вектор прямой, а другой вектор можно получить, соединив две известные точки Итак, вектор нормали Раскрываем скобки и упрощаем 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и Из уравнения каждой прямой можно определить координаты направляющего вектора и точки Задача сводится к предыдущей, если образовать вектор, соединяющий две известные точки на прямых. Тогда для нахождения вектора нормали будут известны координаты двух векторов в этой плоскости. Точку для составления уравнения плоскости можно взять любую. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям и Для составления уравнения плоскости есть точка . Вектором нормали может являться вектор, равный векторному произведению векторов нормалей данных плоскостей. Основное уравнение: Остается только подставить все данные в уравнение. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки В данном случае можно воспользоваться готовой формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки Подставляем в это уравнение координаты точек и раскладываем определитель по элементам первой строки 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали плоскости можно взять направляющий вектор прямой Таким образом, для составления уравнения плоскости есть все данные: координаты точки и вектора нормали Основное уравнение плоскости 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающую на осях координат одинаковые отрезки Для решение задачи используем уравнение плоскости «в отрезках» Отрезки на осях одинаковые, поэтому или Для нахождения подставляем в это уравнение координаты точки Итак, уравнение плоскости 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору Требуется составить канонические уравнения прямой Подставляем исходные данные 9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой Для все параллельных прямых можно использовать один направляющий вектор. Поэтому для искомой прямой имеем точку и направляющий вектор Уравнения прямой 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси OY. Канонические уравнения прямой 11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки В качестве направляющего вектора можно использовать вектор, соединяющий эти точки. Уравнения прямой В качестве направляющего вектора можно использовать любой вектор, параллельный оси OY. Самый простой вектор – это орт оси OY и Точку можно подставить любую. 12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости Из рисунка видно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор нормали плоскости Таким образом, для составления уравнения прямой есть все данные: координаты точки и направляющего вектора Канонические уравнения прямой 13. Перейти от общего уравнения прямой к каноническому виду Как уже отмечалось, для перехода к каноническому виду нужно знать точку на прямой и направляющий вектор а) Находим направляющий вектор б) Находим точку на прямой. Для этого можно положить в системе уравнений одну из координат равной нулю. Итак, Тогда система примет вид Решая ее, найдем Точка и канонические уравнения Итак, направляющий вектор Получим параметрические уравнения 14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и составляющую с осями координат углы и Направляющим вектором в данном случае может являться единичный вектор – орт, координатами которого являются направляющие косинусы Нам известны углы, которые вектор образует с осями OX и OY соответственно. Для нахождения косинуса угла с осью OZ используем основное свойство направляющих косинусов вектора или Направляющий вектор Канонические уравнения прямых (получили уравнения двух прямых) 15. Найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью Для нахождения точки пересечения преобразуем канонические уравнения прямой к параметрическому виду Подставляем в уравнение плоскости и находим параметр t Подставляем t в параметрические уравнения Итак, координаты точки пересечения Угол между прямой и плоскостью находим по формуле - вектор нормали плоскости - направляющий вектор прямой Подставляем в формулу 16. Найти расстояние от точки до плоскости Используем формулу расстояния от точки до плоскости 17. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве d Искомое расстояние – это высота параллелограмма, построенного на векторах и Площадь параллелограмма находим, используя векторное произведение Длина основания – это длина вектора Расстояние от точки до прямой 3. Поверхности 2-го порядкаОбщее уравнение плоскости или прямой в пространстве – есть уравнения линейные относительно переменных и Уравнение поверхности 2-го порядка квадратичная часть линейная часть . К поверхностям 2-го порядка относятся : сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры. Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и построить поверхность в системе координат. , 1. СфераОпределение. Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром Уравнение сферы со смещенным центром Уравнение сферы с центром в начале координат В уравнение сферы входят квадраты трех переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые. ! Построение сферы
Данное уравнение определяет сферу, так как имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых одинаковые. Для построения сферы необходимо знать координаты центра и радиус. Наличие слагаемого с первой степенью переменной y указывает на наличие смещения центра сферы по оси OY Для приведения уравнения к каноническому виду необходимо выполнить преобразования, связанные с выделением полного квадрата - центр сферы - радиус сферы 3 Построение сферы2. Построить сферу Данное уравнение определяет сферу, так как имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых одинаковые. Для приведения уравнения к каноническому виду необходимо выполнить преобразования, связанные с выделением полного квадрата Наличие слагаемых с первой степенью переменных z и y указывает на наличие смещения центра сферы по осям OY и OZ - центр сферы - радиус сферы 1 4,5 ЭллипсоидКаноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид a b c полуоси эллипсоида. Центр этого эллипсоида находится в начале координат. Уравнение эллипсоида с центром в точке имеет вид Признаки уравнения эллипсоида: Наличие квадратов всех трех переменных Одинаковые знаки при квадратах переменных Разные коэффициенты при квадратах переменных Построить поверхностьПостроить поверхность 3 Полуоси эллипсоида - центр эллипсоида В уравнении есть квадраты переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты разные. Это эллипсоид, причем со смещенным центром. Уравнение нужно привести к каноническому виду ГиперболоидыКанонические уравнения гиперболоидов Каноническое уравнение однополостного гиперболоида Признаки уравнения однополостного гиперболоида: Наличие квадратов всех трех переменных Разные знаки при квадратах переменных Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения, в правой части плюс 1. полуоси В зависимости от знака перед единицей в правой части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные. Разные ориентации однополостных гиперболоидовОриентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус. Однополостный гиперболоид с осью симметрии OY Однополостный гиперболоид с осью симметрии OX ГиперболоидыКаноническое уравнение двуполостного гиперболоида Признаки уравнения двуполостного гиперболоида: Наличие квадратов всех трех переменных Разные знаки при квадратах переменных Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной в левой части уравнения, другой в правой части при 1. полуоси Если из уравнения выразить z, то получим Т.к. , то получается, что Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат. Разные ориентации двуполостного гиперболоидаКаноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит два знака минус в уравнении. Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Конусы 2-го порядкаКаноническое уравнение конуса Признаки уравнения конуса:
Разные знаки при квадратах переменных Свободный член в правой части уравнения равен нулю. Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения, то ось симметрии конуса определится также, как и для гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ. Конусы с разными осями симметрииОсь симметрии конуса определяется по уравнению Конус с осью симметрии OY Конус с осью симметрии OX Построить поверхностьПостроить поверхность Перенесем квадраты переменных в левую часть уравнения так, чтобы получился один знак «минус» Это уравнение конуса, так как в правой части стоит ноль. Вершина конуса смещена на 1 по оси OZ вверх. Ось симметрии конуса – OZ, так как перед квадратом переменной z стоит знак минус. ПараболоидыКанонические уравнения параболоидов можно записать в общем виде Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной. В зависимости от знака между квадратами двух других переменных различают эллиптические и гиперболические параболоиды Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида: Отсутствие квадрата одной из переменных Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения Эллиптический параболоид Круговой параболоид Если то Различные ориентации эллиптических параболоидовХарактерным признаком уравнения эллиптического параболоида является присутствие всех трех переменных, но одно из них входит в уравнение только в первой степени, т.е. в уравнении параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось симметрии параболоида параллельна той оси, координата которой в уравнении только в первой степени.
Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной - вершина параболоида Возможна также смена направления чаши параболоида. Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус, то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии. где Построить поверхность - вершина параболоида Для построения эллиптического параболоида нужно знать: Координаты вершины Ось симметрии (определяется по переменной, квадрата которой нет в уравнении) Направление чаши параболоида (определяется по знаку переменной в правой части канонического уравнения) Уравнение определяет круговой параболоид с осью симметрии OY и смещенной также по оси OY вершиной Приведем уравнение к каноническому виду Чаша параболоида направлена влево, т.е. в отрицательном направлении оси симметрии Построить поверхностьПостроить поверхность Уравнение определяет эллиптический параболоид (так как коэффициенты при квадратах переменных различные) с осью симметрии OZ (так как отсутствует квадрат переменной z) и смещенной также по оси OZ вершиной Проведем необходимые преобразования уравнения к каноническому виду - вершина параболоида Чаша параболоида направлена вниз, т.е. в отрицательном направлении оси симметрии Замечание: наличие коэффициентов при квадратах переменных при таком схематичном построении можно не принимать во внимание. Гиперболический параболоидКаноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид Признаки уравнения гиперболического параболоида: Отсутствие квадрата одной из переменных Разные знаки при квадратах переменных в левой части уравнения Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида является то что в левой части уравнения между квадратами переменных знак минус. Эта поверхность имеет форму седла. Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах. Цилиндрические поверхности
Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много. Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в уравнении. Признаки уравнения цилиндрической поверхности:
одна переменная. Виды цилиндровКруговые цилиндры: ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY На рисунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ. Для построения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY, а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии. Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько одинаковых окружностей параллельных друг другу на разной высоте, а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии. Направляющей линией является окружность. Эллиптические цилиндрыЭллиптические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY, а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии. По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой цилиндры выглядят одинаково. Направляющей кривой являются эллипсы Построить поверхностиПостроить поверхности В уравнении отсутствует переменная y. Это круговой цилиндр с осью симметрии OY. Приводим уравнение к каноническому виду В уравнении отсутствует переменная z. Это круговой цилиндр с осью симметрии OZ. Приводим уравнение к каноническому виду Правая половинка цилиндра Гиперболические цилиндрыГиперболические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось симметрии самого цилиндра. В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола. Параболические цилиндрыПараболические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OX ось симметрии OY ось симметрии OY При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы: координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии. Направляющей этих цилиндров является парабола. Построить поверхности Ось цилиндра – OX, Направляющей является парабола с осью симметрии OZ , смещенной на 2 единицы вверх по оси OZ вершиной и ветвями, направленными вниз, вершина Ось цилиндра – OZ, направляющей является парабола с осью симметрии OY, вершиной в точке и ветвями, направленными вправо Построить поверхностиПостроить поверхности Ось цилиндра – OY, направляющей является парабола с осью симметрии OZ, вершиной в точке и ветвями, направленными вверх Верхняя половинка Ось цилиндра – OX, направляющей является парабола с осью симметрии OY, вершиной в точке и ветвями, направленными влево |