Высшая математика. Вариант №3. Контрольная работа 2 Вариант 3 по дисциплине Математика Выполнил студент специальности 27. 03. 04 Почтарев Илья Вячеславович
![]()
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Факультет дистанционного обучения Контрольная работа № 2 Вариант № 3 по дисциплине «Математика» Выполнил студент: специальности 27.03.04 Почтарев Илья Вячеславович 2023 год 1. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,4) перпендикулярно прямой х+2у+5=0 . Найдите площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат. Решение. 1). Представим уравнение прямой х+2у+5=0 в виде у=kх+b, где k – угловой коэффициент прямой. х+2у+5=0 2у=-х-5 ![]() ![]() У нас есть уравнение прямой ![]() Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид: у = 2х + b Нам нужно выбрать прямую, которая проходит через точку М(-2,4). Подставим координаты точки М в уравнение прямой у =2х + b: 4 = 2*(-2) + b 4 = -4 + b b = 8 Получаем уравнение: у = 2х + 8 или у – 2х – 8 = 0 Это общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,4), перпендикулярно прямой х + 2у + 5 = 0 . 2). Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0, у – 2*0 – 8 = 0 у – 8 = 0 у = 8 Значит, точка пересечения с осью ординат (0;8). При у = 0, 0 – 2х – 8 = 0 -2х = 8 х = -4 Точка пересечения с осью абсцисс (-4;0). Т.к. оси пересекаются под прямым углом, то образованный треугольник – прямоугольный. Т.к. мы нашли координаты точек пересечения, то длины катетов равны соответственно 8 и 4. ![]() ![]() Ответ: (у – 2х – 8 = 0); S = 16 (кв.ед.) 2. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S = 4,5 кв.ед. Решение. ![]() Уравнение прямой в отрезках: ![]() С учетом данных, подставив в первую формулу значение S, а во вторую значения координат точки М, по-лучим систему уравнений, относительно a и b. ![]() ![]() ![]() По условию задачи, прямая располагается в первом координатном углу, следовательно, принимаем a = 6; b = 1,5 . Уравнение прямой: ![]() Ответ: (x + 4y – 6 = 0) – общее уравнение прямой. 3. Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Запишите общее уравнение плоскос-ти, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС. Решение. Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника: ![]() ![]() ![]() ![]() Составляем уравнение прямой АВ: ![]() Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС: ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 4. Найдите расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой ![]() Решение. Из уравнения прямой получим направляющий вектор прямой: ![]() Из уравнения прямой получим точку, лежащую на прямой: ![]() Найдем вектор прямой: ![]() Площадь параллелограмма, лежащего на двух векторах ![]() ![]() ![]() ![]() Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту, т.е. расстояние от точки до пря-мой: ![]() Ответ: d = 5 . 5. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6) перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью 12х + 6у + z – 24 = 0 . Решение: Находим вершины треугольника с осью Ох: у = 0; z = 0; 12х – 24 = 0 => х = 2; С (2, 0, 0,) с осью Оу: х = 0; z = 0; 6у – 24 = 0 => у = 4; D (0, 4, 0) с осью Оz: х = 0; у = 0; z – 24 => z = 24; Е (0, 0, 24) Найдем уравнения медиан этого треугольника, чтобы найти координаты точки В. Ищем середину отрезка DE – точку F: ![]() ![]() ![]() Точка F(0, 2, 12) Ищем середину отрезка CD – точку G: ![]() ![]() ![]() Точка G(1, 2, 0) Ищем середину отрезка CE – точку K: ![]() ![]() ![]() Точка K(1, 0, 12) Уравнение медиан: CF: ![]() DK: ![]() EG: ![]() Точка пересечения медиан: ![]() ![]() ![]() Таким образом, точка пересечения медиан В ![]() Координаты вектора АВ = ![]() Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ: ![]() ![]() Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат: ![]() Ответ: b = 36. 6. Две прямые параллельны плоскости 4x + 3y + 6z = 0 . Первая прямая проходит через точку Р(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найдите косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых. Решение. Косинус угла между прямыми: ![]() Условие параллельности прямой и плоскости: ![]() Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и ![]() ![]() ![]() Находим ![]() ![]() ![]() Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и ![]() ![]() ![]() Находим ![]() ![]() ![]() Найденные значения направляющих коэффициентов подставляем в первую формулу: ![]() Ответ: ![]() 7. Найдите координаты центра С ![]() Решение. ![]() Точка С ![]() Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде: ![]() Тогда уравнение перпендикуляра: ![]() Расстояние от точки С ![]() ![]() Получим систему уравнений относительно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: С(5, 4) . 8. Дана кривая ![]() 8.1. Докажите, что эта кривая – гипербола. 8.2. Найдите координаты её центра симметрии. 8.3. Найдите действительную и мнимую полуоси. 8.4. Запишите уравнение фокальной оси. 8.5. Постройте данную гиперболу. Решение: 1. Преобразуем уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это каноническое уравнение гиперболы. 2. Координаты центра: ![]() ![]() Центр гиперболы: С(1, 7). 3. Действительная полуось ![]() ![]() 4. Фокальные оси: ![]() 5. Построение гиперболы: а) отмечаем центр гиперболы; б) отмечаем полуоси; в) на основе полуосей строим прямоугольник; г) асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника ![]() 9. Дана кривая ![]() 9.1. Докажите, что данная кривая – парабола. 9.2. Найдите координаты её вершины. 9.3. Найдите значение её параметра р. 9.4. Запишите уравнение её оси симметрии. 9.5. Постройте данную параболу. Решение: 1. ![]() Введем замену ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Координаты вершины параболы: ![]() ![]() Точка А(-1, 2) – вершина параболы. 3. Параметр параболы: ![]() 4. Ось симметрии: ![]() 5. Построение параболы: а) отмечаем вершину; б) ветви параболы направлены вверх. ![]() 10. Дана кривая ![]() 10.1. Докажите, что эта кривая – эллипс. 10.2. Найдите координаты центра его симметрии. 10.3. Найдите его большую и малую полуоси. 10.4. Запишите общее уравнение фокальной оси. 10.5. Постройте данную кривую. Решение: 1. Приведем к главным осям квадратичную форму: ![]() ![]() ![]() Т.к. ![]() 2. Найдем собственные векторы матрицы В. Для ![]() ![]() ![]() Полагая, что ![]() ![]() ![]() Базис ( ![]() ![]() Переходим от базиса (O, i, j) к ( ![]() ![]() Матрица перехода имеет вид: ![]() Новые координаты ![]() ![]() ![]() ![]() В новой системе координат уравнение кривой имеет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало ![]() ![]() ![]() В системе координат ( ![]() ![]() ![]() Координаты центра его симметрии: ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Большая полуось ![]() ![]() 4. Фокальной осью является прямая: ![]() ![]() 5. Построение кривой. ![]() |