Высшая математика. Вариант №3. Контрольная работа 2 Вариант 3 по дисциплине Математика Выполнил студент специальности 27. 03. 04 Почтарев Илья Вячеславович

• Название: Контрольная работа 2 Вариант 3 по дисциплине Математика Выполнил студент специальности 27. 03. 04 Почтарев Илья Вячеславович
• Анкор: Высшая математика
• Дата: 27.02.2023
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: Вариант №3.docx
• Тип: Контрольная работа; #957353

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Факультет дистанционного обучения

Контрольная работа № 2
Вариант № 3
по дисциплине

«Математика»


Выполнил студент:

специальности 27.03.04

Почтарев Илья Вячеславович

2023 год

1. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,4) перпендикулярно прямой х+2у+5=0 . Найдите площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.
Решение.
1). Представим уравнение прямой х+2у+5=0 в виде у=kх+b, где k – угловой коэффициент прямой.

х+2у+5=0

2у=-х-5

, угловой коэффициент равен

У нас есть уравнение прямой , найдем перпендикулярную ей прямую.

Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых.

, где и - угловые коэффициенты первой и второй прямой.

. Вычислим :



= 2 – угловой коэффициент искомой перпендикулярной прямой.

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:

у = 2х + b

Нам нужно выбрать прямую, которая проходит через точку М(-2,4).

Подставим координаты точки М в уравнение прямой у =2х + b:

4 = 2*(-2) + b

4 = -4 + b

b = 8

Получаем уравнение:

у = 2х + 8

или

у – 2х – 8 = 0

Это общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,4), перпендикулярно прямой х + 2у + 5 = 0 .

2). Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

При х = 0,

у – 2*0 – 8 = 0

у – 8 = 0

у = 8

Значит, точка пересечения с осью ординат (0;8).

При у = 0,

0 – 2х – 8 = 0

-2х = 8

х = -4

Точка пересечения с осью абсцисс (-4;0).

Т.к. оси пересекаются под прямым углом, то образованный треугольник – прямоугольный. Т.к. мы нашли координаты точек пересечения, то длины катетов равны соответственно 8 и 4.



(кв.ед.)

Ответ: (у – 2х – 8 = 0); S = 16 (кв.ед.)

2. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2,2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S = 4,5 кв.ед.
Решение.

Уравнение прямой в отрезках:


С учетом данных, подставив в первую формулу значение S, а во вторую значения координат точки М, по-лучим систему уравнений, относительно a и b.




По условию задачи, прямая располагается в первом координатном углу, следовательно, принимаем a = 6; b = 1,5 .
Уравнение прямой:




Ответ: (x + 4y – 6 = 0) – общее уравнение прямой.


3. Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Запишите общее уравнение плоскос-ти, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Решение.
Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника:




Составляем уравнение прямой АВ:

Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС:




Ответ: - общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпен-дикулярно к плоскости треугольника АВС.


4. Найдите расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой .
Решение.
Из уравнения прямой получим направляющий вектор прямой:


Из уравнения прямой получим точку, лежащую на прямой:


Найдем вектор прямой:


Площадь параллелограмма, лежащего на двух векторах и :

=


Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту, т.е. расстояние от точки до пря-мой:




Ответ: d = 5 .


5. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6) перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью 12х + 6у + z – 24 = 0 .
Решение:
Находим вершины треугольника с осью Ох:

у = 0; z = 0; 12х – 24 = 0 => х = 2; С (2, 0, 0,)

с осью Оу:

х = 0; z = 0; 6у – 24 = 0 => у = 4; D (0, 4, 0)

с осью Оz:

х = 0; у = 0; z – 24 => z = 24; Е (0, 0, 24)

Найдем уравнения медиан этого треугольника, чтобы найти координаты точки В.

Ищем середину отрезка DE – точку F:

; ;

Точка F(0, 2, 12)

Ищем середину отрезка CD – точку G:

; ;

Точка G(1, 2, 0)

Ищем середину отрезка CE – точку K:

; ;

Точка K(1, 0, 12)

Уравнение медиан:

CF: ;

DK: ;
EG: .

Точка пересечения медиан:

;
;


Таким образом, точка пересечения медиан В .

Координаты вектора АВ =

Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ:

, получим



Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат:


Ответ: b = 36.
6. Две прямые параллельны плоскости 4x + 3y + 6z = 0 . Первая прямая проходит через точку Р(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найдите косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Решение.
Косинус угла между прямыми:


Условие параллельности прямой и плоскости:


Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и :



Находим :

, тогда

Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и :



Находим :

, тогда

Найденные значения направляющих коэффициентов подставляем в первую формулу:

Ответ: .
7. Найдите координаты центра С окружности радиусом 5, касающейся прямой 3x + 4y – 6 = 0 в точке М(2, 0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Решение.

Точка С лежит на перпендикуляре к прямой 3x + 4y – 6 = 0 , т.к. эта прямая является касательной.
Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде:


Тогда уравнение перпендикуляра:


Расстояние от точки С до прямой 3x + 4y – 6 = 0 :


Получим систему уравнений относительно :







Ответ: С(5, 4) .


8. Дана кривая .

8.1. Докажите, что эта кривая – гипербола.

8.2. Найдите координаты её центра симметрии.

8.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

8.4. Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную гиперболу.
Решение:
1. Преобразуем уравнение:










Это каноническое уравнение гиперболы.
2. Координаты центра:





Центр гиперболы: С(1, 7).
3. Действительная полуось ; мнимая полуось .
4. Фокальные оси:


5. Построение гиперболы:

а) отмечаем центр гиперболы;

б) отмечаем полуоси;

в) на основе полуосей строим прямоугольник;

г) асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника



9. Дана кривая

9.1. Докажите, что данная кривая – парабола.

9.2. Найдите координаты её вершины.

9.3. Найдите значение её параметра р.

9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5. Постройте данную параболу.
Решение:
1.


Введем замену , получим - это каноническое уравнение параболы вида , где .
2. Координаты вершины параболы:

;


Точка А(-1, 2) – вершина параболы.
3. Параметр параболы: .
4. Ось симметрии: .
5. Построение параболы:

а) отмечаем вершину;

б) ветви параболы направлены вверх.



10. Дана кривая .

10.1. Докажите, что эта кривая – эллипс.

10.2. Найдите координаты центра его симметрии.

10.3. Найдите его большую и малую полуоси.

10.4. Запишите общее уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную кривую.
Решение:
1. Приведем к главным осям квадратичную форму:




Т.к. , то эта кривая – эллипс
2. Найдем собственные векторы матрицы В.

Для = 5 получаем систему:




Полагая, что , найдем единичный собственный вектор:




Базис ( , ) принят правым.

Переходим от базиса (O, i, j) к ( , ).

Матрица перехода имеет вид:



Новые координаты связаны со старыми соотношениями:



В новой системе координат уравнение кривой имеет вид:








Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало :



В системе координат ( , ) эллипс имеет уравнение:



Координаты центра его симметрии:






(1, 1) – центр симметрии эллипса.
3. Большая полуось , малая полуось .
4. Фокальной осью является прямая:




5. Построение кривой.