Вычисление площадей образованных заметанием отрезка. Хуснутдинова Л.Б. Кафедра математики и методики обучения математики
![]()
|
![]() МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО «ЮУрГГПУ») ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ОБРАЗОВАННЫХ ЗАМЕТАНИЕМ ОТРЕЗКА Математика (исследовательская работа) Автор: Хуснутдинова Лилия Биктимировна, Научный руководитель: Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет Челябинск, 2019 ВВЕДЕНИЕВ настоящее временя задачи на вычисление площадей образованных заметанием отрезка относится к довольно узкой олимпиадной тематике. Они встречаются в математических сборниках профильного уровня, на вступительных экзаменах, например, в ЮУрГУ, а задачи повышенной трудности встречаются на национальных и международных олимпиадах. При этом нужно отметить, что теоретического материала по данной теме ограниченное количество. А формулировок для данного типа задач может быть огромное количество. Этим определяется актуальность нашей темы. В работе была поставлена следующая цель: исследовать понятия эвольвенты и заметания, а так же различные методы решения задач на заметание отрезком, выявить зависимость между длиной отрезка и площадью заметаемой фигуры. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи: 1) Изучить теоретический материал по теме эвольвента и заметание отрезком, на основе анализа и систематизировать материал по проблеме; 2) Предложить способ вычисления заметаемых отрезком фигур; 3) Описать действия для решения задачи на нахождение площади заметаемой отрезком фигуры. ОглавлениеВВЕДЕНИЕ 2 1.АНАЛИЗ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ЭВОЛЬВЕНТА И ЗАМЕТАНИЕ ОТРЕЗКОМ 4 6 Рис. 2. Построение завитков: а — двухцентровый завиток; б — эвольвента квадрата 6 6 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14 1.АНАЛИЗ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ЭВОЛЬВЕНТА И ЗАМЕТАНИЕ ОТРЕЗКОМЭвольвентойокружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту. Параметрические уравнения эвольвенты окружности: ![]() ![]() {\displaystyle y=r\sin \phi -r\phi \cos \phi \,\!,}где ![]() ![]() Натуральное уравнение эвольвенты окружности, т.е. зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: {\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.} ![]() ![]() Рис. 1. Эвольвента окружности Коробовой или центровойлинией называется составная плавная кривая, состоящая из последовательного ряда дуг окружностей с разными радиусами. В вершинах коробовой линии (точках стыка) может быть проведена только одна касательная. Примером коробовой кривой линии может быть линия, построенная путем сопряжения двух окружностей. Рассмотрим построение некоторых коробовых линий. Эвольвента многоугольника. В некоторых случаях эвольвенту окружности аппроксимируют коробовой линией, получаемой при замене окружности многоугольником. Эту кривую называют эвольвентой многоугольника или завитком, а сам многоугольник — «глазком». Получается кривая, приближающаяся по форме к спирали, но выполняемая дугами окружностей. На рис. 2(а) построен простейший двухцентровый завиток, образуемый "развертыванием" отрезка О1О2 длиной а. Из центра О1 радиусом R1=а проводим полуокружность. Затем из центра О2 описываем следующую полуокружность радиусом R2=2а. Далее снова из центра О1 радиусом R3=3а проводим следующую полуокружность и т. д. Точки сопряжений 10, 20, 30, ... дуг завитка находятся на прямой, соединяющей центры окружностей На рис.11.45( б) дано построение эвольвенты квадрата (четырехцентрового завитка) со стороной, равной а. Центры дуг окружностей лежат в вершинах квадрата О1, О2, О3, ..., а их радиусы соответственно равны R1=а, R2=2а, R3 =3а... . ![]() Заметающая прямая — это вспомогательный объект, представляющий собой вертикальную прямую линию. Метод заметающей прямой (метод выметания) является одним из основных методов вычислительной геометрии. Идея метода состоит в переходе от двумерного пространства к произведению (одномерное) пространство-время. После этого отрезки становятся точками, движущимися по прямой, и их можно упорядочивать. 2. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОЛУЧЕННЫХ ЗАМЕТАНИЕМ ОТРЕЗКА Задача 1. ![]() ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Части выпаса 2 и 3 ограничены эвольвентами окружности. Найдём площадь фигуры, ограниченной одной из эвольвент и прямой ![]() Параметрическое уравнение эвольвенты: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 2. Коза – животное прожорливое. Она ест всю траву, до которой может дотянуться. Поэтому козу держат на привязи. Прожорливость козы издревле используется в ландшафтном дизайне. 1. Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная веревкой a) к одиноко стоящему на лугу колышку; б) к натянутой между двумя колышками веревке, вдоль которой свободно передвигается еще одна веревка? ![]() Испокон веков козу привязывают только комбинациями описанных выше способов. Общеизвестно, что коза - животное бесконечно хитрое: она в верёвках никогда не путается, ловко отодвигая их копытцами и поддевая рогами. . . А никаких заборов и преград использовать нельзя. 2. Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза. Какой вид имеет область, где может пастись коза? Нарисуй эту область для случаев, когда длина верёвки равна: а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам. 3. Петрович привязал к себе козу верёвкой длины 1 метр, и ходит по одной из следующих траекторий. Какую фигуру выест коза, если траектория имеет вид: а) окружности радиуса 5; б) прямоугольника 3 × 4;. в) креста (длина 6, ширина 4). 4. Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная двумя веревками длиной 2 м каждая к двум одиноко стоящим колышкам, находящимся друг от друга на расстоянии: а) 2 метра; б) 4 метра. 5. Привязывать козу можно либо к колышкам, либо к горизонтальной палке. Как привязать с помощью веревок козу так, чтобы она съела всю траву на участке в форме: a) полукруга; б) квадрат; в) прямоугольник размером 7 × 17; г) правильный треугольник; д) фигуры, изображенной на рисунке 1; е) фигуры, изображенной на рисунке 2; ж) правильного шестиугольника. 6. Введём в действие собак: будем привязывать их к колышкам, а они будут мешать козе есть (то есть козе нельзя находиться в зоне действия собак). а) Как одной собакой удержать козу в кольце? б) А как – в полукруге? в) в фигуре, изображенной на рисунке 3? 7. а) Один конец шеста длиной 4 метра прикреплен к столбу и свободно вокруг него вращается. К другому концу шеста веревкой длиной 1 метр привязана коза. Какую фигуру выест коза? А если веревка имеет длину 5 метров? б) А если веревку заменить шестом соответствующей длины? 8*. Государственная Дума приняла закон, по которому коза имеет право есть травинку только в том случае, когда все веревки, которыми она привязана, находятся в натянутом состоянии. Как привязать козу, чтобы она выела произвольный выпуклый многоугольник? ![]() Рассмотрим подробнее второй пункт задачи 2, дополним вопросами и выполним решение. Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза. Какой вид имеет область, где может пастись коза? 1. Нарисуй эту область для случаев, когда длина верёвки равна: а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам. 2. Найдите площадь выпаса. 3. При каком расположении площадь выпаса будет наибольшей?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Анализируя достаточно большое количество разнообразных источников [1-5] (книги, журнальные статьи, тематические сайты в Интернете) мы убедились, материала по теме «Нахождение площадей образованных заметанием отрезка» достаточно мало, и он изложен сложным математическим языком. При выполнении работы были получены следующие результаты: 1) Исследовали и представили способ решения задач на нахождение площадей образованных заметанием отрезка. 2) Самостоятельно составили новые задачи на нахождение площадей образованных заметанием отрезка. Поэтому, цели работы были достигнуты. Мы получили и новые теоретические результаты, и применили их для решения задач. Результаты нашей работы можно использовать, как и на уроках математики, так и для исследования и решения более сложных задач, основанных на заметании отрезка. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫЭвнин, А. Ю. Математический конкурс ЮУрГУ / А. Ю. Эвнин. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ 2012 – 86с. Эвнин, А. Ю. Сто пятьдесят красивых задач для будущих математиков. – М.: КРАСАНД. 2014, - 224с. Эвнин, А. Ю. 150 красивых задач для будущих математиков. // Математика в школе. – 2014. №9. – С. 69-72. Центр математического творчества // cmt.teacher.msu.ru Файловый архив студентов: https://studfiles.net/preview/6831285/page:62 |