Как НОД и НОК помогают решать разнообразные интересные задачи. Как НОК и НОД чисел помогает решать разнообразные интересные зад. Как нок и нод чисел помогает решать интересные и разнообразные задачи

• Название: Как нок и нод чисел помогает решать интересные и разнообразные задачи
• Анкор: Как НОД и НОК помогают решать разнообразные интересные задачи
• Дата: 21.04.2023
• Размер: 173 Kb.
• Имя файла: Как НОК и НОД чисел помогает решать разнообразные интересные зад.doc
• Тип: Решение; #1079879
• страница: 2 из 3

0

НОД(30n+2; 12n+1)=НОД(1 ;6n)= 1

Т.е. дробь несократима.

ч.т.д

Задачи на нахождение НОД

№1

Найдите НОД(2¹⁰⁰-1;2¹²⁰-1) Решение:

2¹²⁰-1=2¹²⁰2²⁰-2²⁰+2²⁰-1=2²⁰(2¹⁰⁰-1)+(2²⁰-1).

Обозначим п=2¹⁰⁰-1

Имеем НОД(п;2²⁰п+2²⁰-1)=НОД(п;2²⁰-1).

В этом случае найдем п

2¹⁰⁰-1=(2²⁰)⁵-1⁵=(2²⁰-1)(...)т.е. НОД(2¹⁰⁰-1;2¹²⁰-1)=2²⁰-1

Ответ:d=2²⁰-1

№2

Найти НОД(11..11;11...1)(100 и 60 единиц)

1 способ.

Решение.

Соответственно на эти числа может делиться а=11 ...1( п - единиц) И с помощью чисел 100 и 60 найдем НОД(100;60)=п

100=2*2*5*5; 60=2*2*5*3;НОД(100;60)=20.Т.е.п=20.Т.е. d=11…11 (20 единиц)

2 способ.
Решение.


100

40

60
11…11=1..1·100…0+11…11


40


600

600
и НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)


100

400

400

200

1…1=1…1·100…0+1…1


400

200

200

200

НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)=1…1


200

400

200

200

200



О твет:d=1…1(20 единиц)
№3

Найдите наибольший общий делитель чисел 12п +13 и n+7

Решение.

НОД (2n+13;n +7)= НОД (n+7;n+6)=НОД(n+6;1)=1.

Ответ: 1.
Задачи на доказательство утверждений.

№1

Докажите, что при любом nЄN числа п⁵+4п^З+Зп и п⁴+Зп²+1 взаимно просты

		п5+4п3+3п				п4+Зп2+1
					п5+3п3+п
			п4+Зп2+1		п3+2п
			п4+2п2		n
	-	п3+2п	п2+1
		n3+n	n
	п2+1	n
	п2	n
п	1
п	п
0

d=1

т.е. НОД(п⁵+4п^З+Зп; п⁴+Зп²+1)=1
№2

Числа k и b -взаимно просты, а их НОК равен 48.Найдите эти числа.

Решение:

Раскладываем 48 на множители: 1*48;2*24;3*16;4*12;6*8 (затем повторение)

Найдем из них взаимно простые: НОД(1 ;48)=1 ,НОД(3; 16)=1

Ответ: k=1, b=48(b=1, k=48)

Или k=3, b=16(b=3, k=16)
№3

Доказать, что п-1 и п и любые 2 последовательных натуральных числа взаимно просты.

Доказательство.

Пусть НОД(п-1;п)=d, тогда их разность делится на dп-(п-1)=1,а это лишь возможно при d=1т.е. эти числа взаимно просты.

№4

Доказать утверждение: «Если пЄNи имеет нечетное количество делителей, то п=q²,qЄN

Доказательство.

Выпишем делители парами:

1 2:1,12,2,6,3,4., А у квадратов есть и повторная пара:
36=1,36,18,2,12,3,6 (6- повторная пара).

Значит у квадратов нечётное кол-во делителей.

ч.т.д

№4

Докажите, что если а-b=2 и числа а и b не являются взаимно простыми, то НОД (а;b)=2

Решение

Пусть НОД (а;b)=x, тогда разность (а-b):x т.е. x=1 или x=2. Но т.к а и b взаимно простые, то x=2

ч.т.д

Разные задачи.
№1

Н айдите количество всех натуральных делителей числа 10⁹⁹⁹, которые не являются делителями числа 10⁹⁹⁸.

Решение.

Любой делитель числа 10⁹⁹⁹ имеет вид с1=2^р*5^q 0 <р<999. При этом делитель не делит 10 ⁹⁹⁸, если р или qравны 999. Подсчитаем. 1000 штук
2⁹⁹⁹, 2⁹⁹⁹ *5^,… , 2⁹⁹⁹*5⁹⁹⁹

5^{999 ,} 5⁹⁹⁹ *2,…, 5⁹⁹⁹ *2⁹⁹⁹

Но можно заметить, что d=2⁹⁹⁹5⁹⁹⁹ повторяется 2 раза, то всего делителей будет: 1000+1000-1-1999 (шт)

Ответ: 1999.

№2

Существуют ли такие два натуральных числа а и b,у которых НОД(а;b)=110, а НОК(а;b)=2000;

Решение.

Не существует, так как для любых натуральных чисел а и b НОД(а;b) является делителем НОК(а;b) Но 110 не является делителем 2000.

Ответ: нет

№3

Число р-простое. Сколько существует натуральных чисел:

1. 
   Меньших р и взаимно простых с ним.
   
2. 
   Меньших р² и взаимно простых с ним.
   

Решение

1) используя, свойство 5 имеем (р-1).

2) Числа р,2р,3р...(р-1)р и р² не взаимно просты их всего (р-1) шт.

А меньших р² чисел (р²-1). Теперь из р²-1 вычитаем р-1, имеем: р²-1-р+1=р²-р.

Ответ: 1) р-1

2) p²-p



№4

Доказать, что п-1 и п и любые 2 последовательных натуральных числа взаимно просты.

Доказательство:

Пусть Н0Д(n-1 ;n)=d, тогда их разность делится на dn-(n-1)=1,а это лишь возможно при d=1,т.е. эти числа взаимно просты.

Уравнения, содержащие НОК и НОД некоторых чисел.

Решить уравнение:

1/x+1/y+1/НОД (х; у)+1/НОК(х; у)=1

Решение:

Пусть НОД (х; у)=d, x=d a, y=db

НОК(x; y)=d a*db/d=dab

НОД (а;b)=1 .

Имеем 1/da+1/db+1/d+1/dab=1 | *dab

a+b+1+ab=dab

а(b+1)+(b+1)=dab

(b+1)(a+1)=dab

Предположим а≤b:

(b+1)(а+1) кратно b (т.к. dab кратно d),а НОД(b+1;b)=1,

то (а+1) кратно и а+1=b t

Имеем : а+1≤b+1

bt≤b+1

1. 
   Пусть t= 1, значит а+1=b
   

b+1=da, a+2=da

2=a(d-1)

а=1, то d=3 и b=2, х=3,y=6

Одно решение (3;6)

Если а=2, то d=2 и b=3

x=4,у=6 другое решение (4;6)

2)Пустьt=2,b=1

а+1=2, а=1, d=4( из уравнения), х=у=4

Другое решение (4;4)

t≠3, т.к. bt≤b+1

Зb≤b+1

t<3

2b≤1 (ноbЄN)

Других решений нет.

Ответ: (3;6);(6;3);(4;6);(6;4);(4;4)
№2

Решить уравнение. НОК(а;6)=18