Как НОД и НОК помогают решать разнообразные интересные задачи. Как НОК и НОД чисел помогает решать разнообразные интересные зад. Как нок и нод чисел помогает решать интересные и разнообразные задачи
 Скачать 173 Kb.
|
|
Как НОК и НОД чисел помогает решать интересные и разнообразные задачи На одном из занятий малой математической академии нам были предложены две необычные задачи одна на решение уравнения, другая на решение системы уравнений, содержащих НОК и НОД чисел. Меня заинтересовали эти задачи, и я решил поподробнее изучить использование НОК и НОД чисел при решении разнообразных задач. Оказывается, есть задачи, в которых, на первый взгляд, эти понятия и не используются, а на самом деле с их помощью легко решаются. При исследовании вопроса об использовании НОК и НОД чисел я распределил все задачи на следующие группы: -решение текстовых задач; -задачи на сократимость дробей; -задачи на вычисление НОК и НОД чисел; -задачи на доказательство утверждений; -решение уравнений; -решение систем уравнений; -построение графиков функций (придумал сам). Коротко опишу, на чем основано решение каждого вида задач. Текстовые задачи решаются на основе определения понятий и их свойств. Какой либо алгоритм решения трудно предложить, но в основном нужно опираться на логику вопроса. Задачи на сократимость дробей можно решить несколькими способами: Разложением на множители числителя и знаменателя; Применение алгоритма Евклида: На основе свойств НОК и НОД чисел; Выделение целой части непосредственным делением числителя на знаменатель дроби. Вычисление НОК и НОД чисел осуществляется на основе разложения чисел на простые множители и использовании свойств НОК и НОД. НОД чисел можно найти, используя алгоритм Евклида. При доказательстве большинства утверждений можно использовать единый подход, а именно: Непосредственное использование алгоритма Евклида; Перебор возможных случаев. Например, доказать что НОД(а;b) меньше или равен НОК(а:b).Рассмотрим несколько случаев: А) а больше b: Б) а = b; В) а меньше b и делаем соответствующие выводы на основе свойств рассматриваемых понятий. При решении уравнений нужно постараться применить метод разложения на множители, и сделать перебор возможных случаев. При решении систем уравнений постараться, как и в уравнениях осуществить разложение на множители в виде произведения двух натуральных чисел вида dn и dm , где а =dn , b= dm , где d-делитель чисел aиb, m и n -взаимно простые числа и, используя общие методы решения систем, а также свойства НОК и НОД чисел найти соответствующие пары решений системы. Напомню определение понятий и некоторые свойства. Определение. Число с называется наибольшим общим делителем для чисел а и b, если оно является наибольшим делителем и для числа а, и для b. НОК (а;b)=с, а,b, с ЄN Число c называется наименьшим общим кратным чисел а и b если оно является наименьшим из чисел, кратных как для а, так и для b. НОК (а;b)=с; а,b, с Є N Пример 1: Найдем НОД (16;24) Раскладываем числа 16 и 24 на простые множители 16=24 24=23*3 16=2*2*2*2 24=2*2*2*3 НОД(16;24)=8 Пример 2: Найдем НОК (63; 18).Раскладываем числа 63 и 18 на простые множители. 63=7*3*3 18=2*3*3 Возьмем любое из чисел и умножим на число недостающее этому числу. 63=3*3*7 18=3*3*2 НОК(63;18)=3*3*7*2=9*7*2=63*2=126 Для НОД и НОК чисел соответствуют некоторые утверждения: Если а и bЄN, причем а: b, то НОД (а: b)= b,а НОК (а; b)=а Если а и bЄN такие, что а>b,то НОД (а; b)= НОД (а- b; b). НОД (а; b)НОК(a;b)=ab. На первых двух утверждениях основывается алгоритм Евклида. Некоторые свойства НОД и НОК чисел. 1) Любое общее кратное чисел (ЄN) делится на НОК чисел. Если НОК (а; b)=k и mЄN, то НОК (аm;bm)=bm. Если НОД (а; b)=d то НОК (а/d;b/d)= k/d. 4) Если а:с и b:с, то аb/c - общее кратное чисел а и b. Для любых а и bЄN выполняется равенство НОД (а; b) НОК (а; b) =аb. Любой общий делитель чисел а и b является делителем НОД (а;b). Утверждения 1-3. Если числа а и b разделить на НОД (а; b) то они будут взаимно просты. 9)Если НОД (а; b)=1,то НОД (ас; b)=НОД(с; b),с- натуральное. 10)Справедливо НОД (а; b)=НОД (а +mb, b),где m-целое число. 11)Чтобы найти НОК(а. b, с.. .k) можно: обозначить НОК(а;b)=М1НОК(М, с)=M2….НОК(М ;k)=Мn-1 ,то НОК(а, b, с,...k)=Мn-1 Простые и составные числа Определение Число а, которое имеет только 2 делителя: 1, а (не больше) называетсяпростым.Число а, которое имеет 3 делителя и более называется составным. Например, 3-простое т.к. имеет 2 делителя: 1,3. А число 18-составное т.к. имеет 6 делителей: 1,2,3,6,9,18 Свойства: 1) Пусть а и b взаимно просты, то НОД(а;b)=1 2) Пусть а и b взаимно просты, то НОК(а;b)=аb 3) Два простых числа взаимно просты. 4) Пусть а-простое, b-составное и b не кратно а, то НОД (а;b)=1, НОК(а;b)=аb 5) Пусть а-простое, b-составное b<а, то НОД(а;b)=1,НОК(а;b)=аb Любые 2 последовательных числа взаимно просты. Алгоритм Евклида. В общем виде алгоритм Евклида выглядит так: НОД (а; b)= НОД (b;r)=НОД (г1;г2)=…=НОД(rn;rn+1) a=bq1+r1 b=r1q2+r2 r1=r2q3+r3 rn =rk+1*qk+2+rk+2 rm=rp+1*qp+2+0 НОД(а;b)=гm, Например, вычислим НОД (7975;2585) с помощью алгоритма Евклида. 7975=2585*3+220 ; 2585=220*11+165; 220=165*1+55; 165=55*3 НОД (7975;2585)=55, где 55 последний остаток от деления 7975 на 2585. Решение текстовых задач с помощью НОК и НОД чисел. №1 Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2-72км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи. Решение. Очевидно, нужно найти НОД (56;72) 56=2*2*2*7; 72=3*3*2*2*2 НОД(56;72)=8 Скорость равна 8 км/ч Ответ: 8 км/ч. №2 На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук? Решение. Очевидно, нужно найти НОК (5;4;3) НОК (5;4;3)=3*4*5=3*20=60. Ответ: 60 штук. №3 Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно? Решение. Найдем НОК(8;12;18), для этого разложим на множители числа 24=2x2x2x2x3, 18=2x3x3.Имеем: НОК(8;12)=24,а НОК(8;12;18)=НОК(24;18)=24хЗ=72(дня). Ответ: теплоходы встретятся через 72 дня. №4 В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение? Решение: Очевидно, нужно найти НОК(21;44). 21=3*7; 44=2*2*11. НОК(21;44)=924. Так как задача указывает на обороты педали, а не шестерни колеса, то 924:44=21 (оборот). Ответ: наименьшее число оборотов равно 21. №5 Два автобуса одновременно отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 минут. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади? Решение. Найдем НОК(48;72). 48=2*2*2*2*3, 72=2*2*2*3*3, НОК(48;72)=2*2*2*2*З*З=144(минуты). 144 минуты =2часа24 минуты. Ответ: автобусы снова встретятся на этой площади через 2 часа 24 минуты. №6. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня-в5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова? Решение: Чтобы узнать через сколько дней они встретятся нужно найти НОК(3;4;5). Так как числа имеют только один общий делитель равный 1, то наименьшее общее кратное равно их произведению, есть НОК(3;4;5)=60(дней). Так как они встретятся только в один день. А именно , в понедельник, то найдем остаток от деления периода их встречи на количество дней в неделю, то есть 60:7=8(ост.4). Понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье О 1 2 3 4 Ответ: ребята встретятся через 60 дней, в пятницу. №7 Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то 1 человек останется лишним. Если они построятся по 9 человек в ряд, то опять один человек останется лишним. То же самое произойдет, если они построятся по 8,7,6,5,4,3 и, наконец, по 2 человека в ряд. Всего их меньше 5 тысяч. Сколько их? Решение: Пусть х-число демонстрантов. Число (х-1) делится на 2,3,4,5,6,7,8,9. Поэтому (х-1) кратно НОК чисел 2,3,4,5,6,7,8,9. НОК(2,3,4,5,6,7,8,9)=23-32-5-7=2520. Тогда x-1=2521; x=2521.Больше решений нет т.к число демонстрантов меньше 5000. Ответ:2521 человек. Задачи на сократимость дробей. Задачи на сократимость дробей можно решать несколькими способами, но очень удобно использовать алгоритм Евклида. №1 Сократить дробь: 5п+7/(3n+2), если nЄNи найти значение, при котором она сокращается. Решение. Применим алгоритм Евклида. НОД (5n+7;3n+2)=d; 5n+7=1*(Зn+2)+2n+5 Зп+2=1*(2n+1)+(n-3) 2п+5=2*(n-3)+11 НОД (5n+7;Зn+2)= НОД (n-3;11)=11,11-простое Соответственно (п-3):11 Имеем значения n= 14 n=25n=36 и.т.д. При n=14 дробь равна: 5n+7/(3n+2)=1,75.Т.е n=11k+3;(kЄN) Ответ:n=11k+3;(kЄN) №2 Докажите, что дробь 12n+1/(30n+2)- несократима ни при каком натуральном n. Решение:
| ||||||||||||||||||||||||