Практическая графики. фыв. Как правильно построить координатные оси
![]()
|
Как правильно построить координатные оси? На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей. Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. Чертежи бывают двухмерными и трехмерными. Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат: ![]() 1) Чертим координатные оси. Ось ![]() ![]() 2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси. 3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку. Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить ещё ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами ![]() ![]() ![]() ![]() Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях. К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства. Трехмерный случай ![]() Здесь почти всё так же. 1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат ![]() ![]() ![]() 2) Подписываем оси. 3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси ![]() ![]() При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу 1 единица = 2 клетки по осям ![]() ![]() ![]() ...Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но Графики и основные свойства элементарных функций График линейной функции Линейная функция задается уравнением ![]() Пример 1 Построить график функции ![]() Если ![]() ![]() Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. Если ![]() ![]() При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу: ![]() А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе. Две точки найдены, выполним чертеж: ![]() При оформлении чертежа всегда подписываем графики. Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции: ![]() Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых ![]() ![]() 1) Линейная функция вида ![]() ![]() ![]() 2) Уравнение вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Уравнение вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде ![]() ![]() Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей. Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости. График квадратичной, кубической функции, график многочлена Парабола. График квадратичной функции ![]() ![]() ![]() ![]() Вспоминаем некоторые свойства функции ![]() Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела. Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций. Пример 2 Построить график функции ![]() В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения. Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю: ![]() Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную? Итак, решение нашего уравнения: ![]() ![]() Таким образом, вершина находится в точке ![]() Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция ![]() В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы: ![]() Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» Выполним чертеж: ![]() Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак: Для квадратичной функции ![]() ![]() Если ![]() Если ![]() Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола. Кубическая парабола Кубическая парабола задается функцией ![]() ![]() Перечислим основные свойства функции ![]() Область определения – любое действительное число: ![]() Область значений – любое действительное число: ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() Кубическую параболу тоже удобнее строить с помощью алгоритма «челнока»: ![]() Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что ![]() ![]() ![]() А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. График функции ![]() ![]() ![]() В этом примере коэффициент при старшей степени ![]() Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида: ![]() Эти знания полезны при исследовании графиков функций. График функции ![]() Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж: ![]() Основные свойства функции ![]() Область определения: ![]() Область значений: ![]() То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти. Функция ![]() ![]() При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело: ![]() На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, ![]() ![]() График гиперболы Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу ![]() Выполним чертеж: ![]() Основные свойства функции ![]() Область определения: ![]() Область значений: ![]() Запись ![]() В точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой. В данном случае ось ![]() ![]() Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой. Также односторонние пределы ![]() ![]() Исследуем функцию на бесконечности: ![]() ![]() ![]() Таким образом, ось ![]() ![]() Функция ![]() ![]() График функции вида ![]() ![]() Если ![]() Если ![]() Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков. Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы ![]() Используем поточечный метод построения, при этом, значения ![]() ![]() Выполним чертеж: ![]() Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь. Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола. График показательной функции В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию ![]() Напоминаю, что ![]() ![]() ![]() ![]() График функции ![]() Основные свойства функции ![]() |