кр гаряев. Чарльз Петцольд - Код_ тайный язык информатики-Манн, Иванов и Фе. Книга принадлежит Контакты владельца Культовая книга талантливого преподавателя стала для многих первым уверенным шагом в программировании
 Скачать 6.11 Mb.
|
|
двоичны. Любая точка может быть либо выпуклой, либо плоской. Таким образом, шрифт Брайля подчиняется тем же принципам, которые знакомы нам из азбуки Мор- зе и комбинаторного анализа. Известно, что в клетке шесть точек, и каждая точка может быть плоской или выпуклой, поэтому общее число комбина- ций, которые складываются из шести плоских или выпуклых точек, равно 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, или 2 6 , или 64. Как видите, в системе Брайля можно представить 64 уникальных кода. Если в шрифте Брайля используется менее 64 кодов, логично спросить, почему не все возможные варианты в ходу Если в шрифте Брайля найдется более 64 возможных кодов, значит, сбоит либо наш разум, либо фундаменталь- ные математические истины из разряда «два плюс два равно четырем». Приступая к изучению шрифта Брайля, рассмотрим, как в нем записыва- ются строчные буквы латиницы. 26 Код Например, английская фраза You and me* записывается следующим образом. Важно: между клетками, соответствующим буквам в слове, ставятся не- большие пробелы; более широкий пробел (в сущности, целая клетка, в кото- рой нет выпуклых точек) соответствует пробелу между словами. Именно такова основа шрифта Брайля в редакции самого Брайля — как минимум что касается латиницы. Луи Брайль также разработал коды для букв с диакритическими знаками (они часто встречаются во французском языке). Обратите внимание: здесь нет кода для буквы w, которая в классическом фран- цузском не используется. (Не волнуйтесь, и эта буква вскоре появится.) Пока мы учли всего 25 из 64 возможных кодов. Внимательно присмотревшись к вышеприведенным строчкам, можно за- метить, что в них прослеживается закономерность. В первой строчке (от a до j) в каждой клетке используются лишь четыре верхние точки: 1, 2, 4 и 5. Второй ряд точно такой же, как первый, но в нем есть и точка 3. Третий ряд подобен первым двум, но в нем мы видим не только точку 3, но и точку 6. Со времени Луи Брайля его шрифт дополняли различным образом. Со- временная система, при помощи которой обычно записываются подобные анг- лийские тексты, называется «сокращенный Брайль». В сокращенном Брайле много упрощений, помогающих беречь деревья и ускорять чтение. Например, если код некоторой буквы стоит обособленно, то он означает распространен- ное слово. В следующих трех рядах приведены такие коды для целых слов. * «Ты и я». Прим. перев. Глава 3. Брайль и двоичные коды 27 Таким образом, фразу You and me сокращенным Брайлем можно запи- сать так. Вот мы и описали 31 код: пробел без точек, который ставится между сло- вами, и три строки по десять кодов, используемых для обозначения букв и слов. Мы до сих пор и близко не израсходовали 64 теоретически доступных кода. Как мы убедимся, в сокращенном Брайле ни один не остался без дела. Во-первых, можно использовать коды букв a — j, добавляя к каждому из них выпуклую точку 6. Эти коды применяются в основном для сокращения в слове букв, для буквы w и другого сокращения слов. * Will — вспомогательный глагол для образования будущего времени. 28 Код Например, слово about* можно записать сокращенным Брайлем вот так. Во-вторых, можно взять коды букв a — j и «опустить» их так, чтобы ис- пользовались лишь точки 2, 3, 5 и 6. Этими кодами обозначаются некоторые знаки препинания и сокращения, в зависимости от контекста. к Первые четыре приведенных кода — это запятая, точка с запятой, двоето- чие и точка. Обратите внимание: как открывающая, так и закрывающая скобки обозначаются одним и тем же кодом, а вот коды для открывающей и закры- вающей кавычки отличаются. Пока мы использовали 51 код. Далее приведены шесть кодов, представляю- щих различные незадействованные комбинации точек 3, 4, 5 и 6. С их помо- щью записывают сокращения и некоторые дополнительные знаки препинания. st / ing ble # ar ' com - Код ble очень важен: если это не часть слова, то он означает, что следую- щие далее коды должны интерпретироваться как числа. Числовые коды точно такие же, как и для букв a — j. Следовательно, нижеприведенная последовательность означает 256. * О, около, про. Прим. перев. Глава 3. Брайль и двоичные коды Если вы следите за нитью повествования, то помните, что до максимума (64) нам остается еще семь кодов. Вот они. Первый код (выпуклая точка 4) — индикатор ударения. Остальные ис- пользуются в качестве префиксов при некоторых сокращениях, а также в иных целях. Например, при выпуклых точках 4 и 6 (пятый код в этом ряду) код мо- жет означать либо десятичную запятую (для чисел), либо логическое ударе- ние — в зависимости от контекста. Наконец (если вам не терпится узнать, как в шрифте Брайля записыва- ются заглавные буквы), у нас есть выпуклая точка 6. Это индикатор заглав- ной буквы. Следующая после такого символа буква будет в верхнем регистре. Например, имя создателя этой системы записывается так. Здесь индикатор заглавной буквы, буква l, буквосочетание ou, буквы i и s, пробел, еще один индикатор заглавной буквы, а далее — буквы b, r, a, i, l, l и e (на практике эта запись может быть еще короче: отбрасываются две последние буквы, так как они не произносятся). Итак, мы рассмотрели, как шесть двоичных элементов (точек) дают 64 воз- можных кода — и не больше. Получается, что многие из этих кодов выполняют двойную работу в зависимости от контекста. Особенно интересны «числовой» и «буквенный» индикаторы (при этом второй отменяет первый). Эти коды ме- няют семантику других кодов — тех, что следуют за ними: с букв на цифры и обратно с цифр на буквы. Подобные коды часто именуются кодами стар- шинства или переключения. Они меняют семантику всех последующих кодов до тех пор, пока переключение не будет отменено. Индикатор заглавной буквы означает, что следующая (и только следую- щая) буква должна быть в верхнем, а не в нижнем регистре. Такой код принято называть экранирующим, и он «защищает» последовательность других кодов от банальной, рутинной семантики и обеспечивает им новую интерпретацию. Читая следующие главы, убедимся, что коды переключения и экранирующие коды постоянно используются в ситуациях, когда письменный язык нужно представить в двоичном виде. 30 Глава 4 Устройство фонарика Фонарик многофункционален: чтение под одеялом и обмен зашифрованны- ми сообщениями — лишь два наиболее очевидных варианта его применения. Обычный хозяйственный фонарик может сыграть ключевую роль в наглядном уроке о таком феномене, как электричество. Электричество — удивительное явление. Сегодня оно используется повсе- местно, но при этом окутано тайной даже для тех, кто в нем якобы разбира- ется. Боюсь, нам так или иначе придется подступиться к этой теме. К счастью, чтобы разобраться, как электричество используется в компьютерах, потребу- ется понять лишь некоторые базовые концепции, связанные с ним. Определенно, фонарь — один из простейших электроприборов, имею- щийся почти в каждом доме. Можно разобрать обычный фонарик и убедить- ся, что он состоит из пары батареек, лампочки, выключателя и кое-каких ме- таллических деталей. Все это находится в пластиковом корпусе. Можно сконструировать заправский светильник, оставив всего две со- ставляющие из этого комплекта: батарейки и лампочку. Кроме того, вам потре- буются короткие изолированные проводки (оголенные на кончиках) и умелые руки, чтобы все это держать вместе. Глава 4. Устройство фонарика 31 Обратите внимание на два оголенных кончика проводов в правой части схемы. Это наш переключатель. Исходя из того, что батарейки у нас хорошие и лампочка не перегорит, достаточно коснуться одного проводка другим — и загорится свет Мы только что сконструировали прос тую электрическую цепь. Первым делом необходимо отметить, что эта цепь представляет собой круг. Лампочка зажжется лишь в том случае, если контур от батареек к лампочке, далее к пе- реключателю и обратно к лампочке будет непрерывным. Достаточно любого разрыва — и лампочка погаснет. Выключатель нужен для того, чтобы управ- лять этим процессом. Круговая структура подсказывает, что по электрической цепи движется нечто подобное воде, текущей в трубах. Сравнение с водой и трубами довольно распространено при описании сути электричества, но, как и любая аналогия, оно рано или поздно себя исчерпает. Электричество не похоже ни на что иное во Вселенной, его требуется описывать в специфических терминах. Господствующая научная мудрость, характеризующая природу электриче- ства, называется электронной теорией, согласно которой электричество воз- никает в результате движения электронов. Известно, что любая материя — вещества, которые можно видеть и ося- зать, — состоит из крошечных час тиц, именуемых атомами. В состав каждого атома входят более мелкие частицы трех типов: нейтроны, протоны и электро- ны. Атом можно изобразить как миниатюрную Солнечную систему, где ней- троны и протоны связаны в ядре, а электроны вращаются вокруг ядра, как планеты вокруг Солнца Необходимо отметить, что вы бы увидели несколько иную картину, будь у вас достаточно мощный микроскоп, позволяющий рассматривать отдельные атомы, но «планетарная» модель довольно удобна. В атоме, показанном на этой странице, три протона, три электрона и четы- ре нейтрона, значит, перед нами атом лития. Литий — это один из 118 известных 32 Код элементов, каждый из которых обладает собственным атомным числом от 1 до 118. Атомное число указывает, сколько протонов в ядре у каждого атома этого элемен- та, а также сколько электронов в таком атоме. Атомное число лития равно трем. Атомы могут образовывать химические связи с другими атомами, объеди- няясь в молекулы. Как правило, молекулы обладают совсем иными свойствами, нежели атомы, из которых они состоят. Например, в молекуле воды два ато- ма водорода и один атом кислорода (поэтому химическая формула воды H 2 O). Очевидно, вода существенно отличается как от водорода, так и от кислорода. Молекулы поваренной соли состоят из атома натрия и атома хлора, но ни одно из этих веществ не показалось бы вам особо аппетитным, если бы его добави- ли в картошку фри в чистом виде. Водород, кислород, хлор, натрий — это всё элементы. Вода и соль — соеди- нения. Однако водно-соляной раствор — это смесь, а не соединение, поскольку в растворе вода и соль сохраняют присущие им свойства. Количество электронов в атоме обычно равно количеству протонов. Случает- ся, что электроны вышибаются из атома. Именно так и возникает электричество. Слова «электрон» и «электричество» происходят от древнегреческого ηλεκτρον (читается [электрон]). Может показаться, что это слово означает «крошечная невидимая штука». На самом деле ηλεκτρον в переводе с греческого — «янтарь», прозрачная ока- меневшая древесная смола. Такая необычная этимология возникла потому, что древние греки пробовали натирать янтарь шерстяной тканью, а при этом воз- никает статическое электричество. Когда мы потираем янтарь шерстяной тря- почкой, она вытягивает из камня электроны. В шерсти возникает избыток элек- тронов по сравнению с протонами, а в янтаре электронов становится слишком мало. Более современный подобный эксперимент связан с обычным ковром: если пошаркать по нему, палас захватывает электроны из подошв обуви. У протонов и электронов есть свойство под названием «электрический за- ряд». Считается, что у протонов положительный заряд (+), а у электронов — от- рицательный (–). Нейтроны нейтральны, у них нет заряда. Хотя мы и обознача- ем протоны и электроны символами «плюс» и «минус», эти символы в данном случае не имеют арифметической семантики и не означают, что у протонов есть что-то, чего у электронов нет. Противоположные характеристики проявляются именно в том, как протоны и электроны соотносятся друг с другом. Протоны и электроны наиболее «спокойны» и стабильны, когда в рав- ных количествах сосуществуют рядом. Если возникает дисбаланс между про- тонами и электронами, он самопроизвольно выправляется. После того как ко- вер наберет электронов из ваших подошв, ситуация выровняется, стоит вам коснуться его, — проскочит искра. Такая искра статического электричества Глава 4. Устройство фонарика 33 возникает в результате движения электронов, которые проделывают практи- чески круговой маршрут — от ковра через все тело, затем опять к подошвам. Взаимосвязь между протонами и электронами можно описать иначе: про- тивоположные заряды притягиваются, одноименные — отталкиваются. Прав- да, схема атома производит иное впечатление. Кажется, что протоны сосредо- точены в ядре и притягиваются друг к другу. Протоны удерживаются вместе благодаря силе более мощной, чем отталкивание одинаковых зарядов, — силь- ному взаимодействию. Чтобы подступиться к сильному взаимодействию, требуется расщепить ядро, в результате чего высвободится ядерная энергия. А мы просто балуемся с электронами, чтобы получить электричество. Статическое электричество — это не просто искорки, проскакивающие, если дотронуться ладонью до дверной ручки. Во время грозы в нижней части тучи накапливаются электроны, а в верхней возникает дефицит электронов; рано или поздно бьет молния, и баланс восстанавливается. Молния — это множество элект ронов, которые с огромной скоростью летят из одной точки в другую. Электричество в проводах фонарика, разумеется, гораздо благовоспитан- нее, чем в искре или в молнии. Лампочка горит ровно и непрерывно *, посколь- ку электроны не просто скачут с места на место. Когда один атом в электричес- кой цепи теряет электрон, отдавая его другому атому, он сразу же захватывает электрон от соседнего атома, а тот — от следующего и т. д. Электричество в цепи — это переход электронов от атома к атому. Все это происходит не само по себе. Нельзя просто взять, соединить проводами всякое барахло и рассчитывать, что в нем потечет электричество. Нужен какой-то инициирующий фактор, который запустит движение электро- нов в цепи. Возвращаясь к схеме простейшего фонарика, можно предположить, что электричество возникает не в проводах и не в лампочке. По-видимому, ис- точником электричества являются батарейки. Почти любому известно хотя бы кое-что о типах батареек, используемых в фонариках: ȣ батарейки цилиндрические бывают разных размеров, например D, C, A, AA, AAA; ȣ независимо от размера на любой батарейке указана величина 1,5 вольта; ȣ один кончик батарейки плоский, на нем стоит знак «–»; на другом кон- це небольшой выступ и знак «+»; * На самом деле интенсивность света лампочки флуктуирует, то есть пульсирует, но наш глаз не способен различать настолько быстрые и мелкие пульсации. Прим. науч. ред. 34 Код ȣ если вы хотите, чтобы прибор работал нормально, правильно вставляйте батарейки, чтобы плюсы и минусы располагались верно; ȣ мы полагаем, что батарейки каким-то хитрым образом «дают» электри- чество. Во всех батарейках происходят химические реакции: либо одни молекулы распадаются на другие, либо одни молекулы соединяются с другими, образуя третьи. Химические вещества в батарейке подбираются так, чтобы в результате реакции между ними с минусового конца образовывались свободные элект роны (этот конец называется «отрицательная клемма» или « катод»), которые так нуж- ны на плюсовом конце батарейки (он же «положительная клемма» или «анод»). Таким образом химическая энергия преобразуется в электрическую. Химическая реакция может протекать лишь при условии, что лишние электроны каким-то образом будут извлекаться с отрицательного полюса ба- тареи и доставляться обратно к положительному. Если батарейка ни к чему не подключена, ничего особенного в ней происходить не будет. (На самом деле химическая реакция там все-таки идет, но очень медленно.) Химические реак- ции разгоняются лишь при наличии электрического тока, несущего электроны с отрицательного конца батарейки к положительному. Электроны движутся по этой цепи против часовой стрелки *. В этой книге красным цветом обозначаются провода, по которым течет электричество. * Принято считать за направление тока направление положительно заряженных частиц. По факту ток создается электронами и течет в противоположном направлении. Прим. науч. ред. Глава 4. Устройство фонарика 35 Электроны из химикатов, содержащихся в батарейке, могли бы свобод- но смешиваться с электронами из медного провода, если бы не один простой факт: все электроны, где бы они ни находились, идентичны. Электрон из ато- ма меди ничем не отличается от любого другого электрона. Обратите внимание: обе батарейки ориентированы в одном и том же на- правлении. Положительный полюс нижней батарейки принимает электроны с отрицательного полюса верхней батарейки, как будто мы сложили из двух маленьких батареек одну большую, общая мощность которой составляет не 1,5, а 3 вольта. Если повернуть одну из батареек в противоположную сторону, то элек- трическая цепь будет разорвана. Для химических реакций двум положительным полюсам батареи нужны элект роны, но поскольку полюса подсоединены друг к другу, путь для элек- тронов закрыт. Если соединены два положительных полюса батарейки, нужно соединить и два отрицательных. 36 Код Все работает. Принято говорить, что в таком случае батарейки подклю- чены параллельно, а не последовательно. Общее напряжение равно 1,5 вольта, как и у каждой батарейки по отдельности. Лампочка горит не слишком ярко, зато батарейки проработают вдвое дольше. Принято считать, что батарейка подает ток в электрическую цепь. Ана- логично можно думать, что электрическая цепь открывает путь для химичес- ких реакций в батарейке, которые продолжаются, пока весь химикат в ней не будет израсходован, после чего батарейку нужно выбросить или переза- рядить. Электроны попадают от отрицательного полюса к положительному, про- ходя через провода и лампочку. Зачем нужны провода? Не может ли электриче- ство передаваться просто по воздуху? И да, и нет. Да, электричество передает- ся по воздуху (особенно если воздух влажный), поэтому и возникают молнии. Но электричество течет по воздуху «неохотно». Некоторые вещества проводят электричество существенно лучше, чем другие. Это связано со строением атома. Электроны вращаются вокруг ядра на разных энергетических уровнях, которые называются оболочками или ор- биталями. Если у атома на внешней оболочке всего один электрон, он легко его отдает, — как раз это и нужно для передачи электричества. Такие вещества хорошо проводят электричество, поэтому их называют проводниками. Лучшие проводники — медь, серебро и золото. Не случайно эти элементы расположе- ны в одном и том же столбце периодической системы. Медь — самое распро- страненное сырье для изготовления проводов. Свойство, противоположное электропроводимости, называется сопро- тивлением. Некоторые вещества сильнее сопротивляются току, нежели дру- гие, — это резисторы. Если вещество обладает очень высоким сопротивле- нием, практически не проводит электричество, его называют диэлектриком (изолятором). Резина и пластик — хорошие изоляторы, вот почему из них час- то делают оболочку для проводов. Ткань и дерево, сухой воздух тоже хороши в таком качестве. Однако при достаточно высоком напряжении практически любой материал приобретает электропроводимость. Сопротивление меди невелико, но оно присутствует. Чем длиннее про- вод, тем выше его сопротивление. Если бы вы попытались зажечь фонарик с проводами длиной в несколько километров, то их сопротивление оказа- лось бы чрезмерным, и фонарик бы не работал. Чем толще провод, тем ниже его сопротивление. Это может показаться не- логичным. Кажется, что чем толще провод, тем больше нужно электричества, чтобы его «наполнить». На самом деле в толстом проводе доступно гораздо больше электронов, образующих электрический ток. Глава 4. Устройство фонарика 37 Я уже говорил о напряжении, но не дал определения этому явлению. Напряжение батарейки составляет 1,5 вольта. Что это значит? Напряжение, измеряемое в вольтах (единица напряжения названа так в честь графа Алес- сандро Вольта (1745–1827), который в 1800 году сконструировал первую бата- рею), — это одна из самых сложных концепций в элементарной электротехни- ке. Напряжение описывает потенциал для выполнения работы. Напряжение существует независимо от того, подключены ли к батарее какие-либо приборы. Возьмем, к примеру, кирпич. Когда он лежит на полу, его потенциаль- ная энергия очень мала. Она увеличится, если вы поднимете кирпич на вы- соту метр двадцать от земли. Чтобы высвободить потенциальную энергию, достаточно отпустить кирпич. Если забраться на крышу высокого здания и поднять кирпич, его потенциальная энергия будет еще больше. Во всех трех случаях вы держите кирпич, сам он ничего не делает, но потенциал его отличается. Гораздо проще определить, что такое ток. Сила тока зависит от того, сколько электронов мчится по проводнику. Сила тока измеряется в ампе- рах, названных так в честь Андре Ампера (1775–1836). Чтобы достичь силы тока в один ампер, через поперечное сечение проводника нужно пропустить 6 240 000 000 000 000 000 электронов в секунду. Здесь уместна аналогия с водой, текущей по трубам. Ток подобен объему воды, проходящему через трубу в единицу времени, напряжение — давлению воды. Сопротивление можно сравнить с шириной трубы: чем уже труба, тем выше сопротивление. Таким образом, чем выше давление, тем больше воды проходит через трубу, чем меньше сечение трубы, тем меньше воды через нее течет. Объем воды, текущей через трубу (ток) в единицу времени прямо про- порционален давлению воды (напряжению) и обратно пропорционален тол- щине трубы (сопротивлению). Электротехника позволяет вычислить силу тока, если известны напряже- ние и сопротивление. Сопротивление — способность вещества тормозить по- ток электронов — измеряется в омах. Эта единица названа в честь Георга Ома (1789–1854), который также сформулировал знаменитый закон Ома: I = E / R, где I традиционно обозначает силу тока в амперах, E — электродвижущая сила, ЭДС (это первая буква в английском словосочетании electromotive force), а R — сопротивление. Так, рассмотрим батарею, которая просто лежит в покое и ни к чему не под- ключена. 38 Код ЭДС E равна 1,5 вольта. Это потенциал для выполнения работы *. Посколь- ку между плюсовой и минусовой клеммой лишь воздух, сопротивление полу- чается очень высоким, а значит, сила тока равна 1,5 вольта, деленному на очень большое число. Таким образом, ток практически нулевой. Теперь соединим положительную и отрицательную клемму коротким от- резком медной проволоки (здесь и далее изоляцию на проводах показывать на рисунках не буду). Перед вами короткое замыкание. ЭДС по-прежнему равна 1,5 вольта, но сопротивление очень низкое. Узнаем силу тока, разделив 1,5 вольта на очень малое значение. Сила тока получится огромной. По проводу побежит целая уйма электронов. На практике фактическое значение силы тока ограничено физическим размером батареи. Вероятно, батарея просто окажется не в со- стоянии выдать ток такой силы, и напряжение упадет ниже 1,5 вольта. Если батарея окажется достаточно велика, то провод разогреется, поскольку элек- трическая энергия станет превращаться в тепловую. Если провод нагреется слишком сильно, он может раскалиться и даже расплавиться. Большинство электрических цепей попадает в промежуток между этими двумя крайностями. Их можно символически изобразить следующим образом. Любой электротехник понимает, что зубчатая линия на этом рисунке обо- значает резистор. В данном случае показано, что сопротивление в электричес- кой цепи среднее — не высокое, не низкое. * Напряжение — работа поля по переносу заряда. Электрический ток — это изменение объемного заряда во времени, но поскольку со временем заряды (электроны) кончатся, необходим источник, восполняющий «запасы» электронов, которые могли бы перемещаться по проводнику. Таким источником может быть источник ЭДС. ЭДС, в свою очередь, — это работа внешних сил по переносу заряда, то есть сил не электромагнитной природы. В рассматриваемом примере это химические реакции. Прим. науч. ред. Глава 4. Устройство фонарика 39 Если сопротивление у провода низкое, он может сильно нагреться и рас- калиться. Так устроена лампа накаливания. Честь создания электрической лам- пы накаливания обычно приписывается самому знаменитому американскому изобретателю Томасу Эдисону (1847–1931), но по состоянию на 1879 год, когда он запатентовал электролампочку, принцип ее работы был хорошо известен, и другие ученые тоже работали над этой проблемой *. Внутри лампы находится тонкая проволока, именуемая «нить накали- вания», которая обычно изготавливается из вольфрама. Один кончик этой спирали подключен к нижнему контакту металлического цоколя, другой — к резьбовой поверхности цоколя, причем между нижним контактом и резь- бой цоколя проложен изолятор. Провод обладает сопротивлением, поэтому нагревается. На воздухе вольфрамовая спираль раскалилась бы настолько, что просто сгорела бы, но внутри лампочки вакуум, поэтому раскаленная нить на- каливания хорошо светится. В типичном фонарике — две батарейки с последовательным соединением. Общее напряжение составляет три вольта. Сопротивление типичной лампоч- ки из карманного фонарика — четыре ома. Следовательно, чтобы узнать силу тока в такой лампочке, делим три вольта на четыре ома и получаем 0,75 ам- пера, или 750 миллиампер. Таким образом, каждую секунду через лампочку пролетает 4 680 000 000 000 000 000 электронов. Краткая проверка на практике: если попытаться измерить сопротивление лампочки карманного фонарика при помощи омметра, результат получится го- раздо ниже четырех омов. Сопротивление вольфрама зависит от температуры, и по мере нагревания лампочки оно возрастает. Вероятно, вы знаете, что на бытовых лампочках пишут, сколько в них ватт. Эта единица названа в честь Джеймса Уатта (1736–1819), прославившего- ся своей работой над паровым двигателем. Ватт — это единица мощности (P), которая вычисляется по формуле: * В России разработкой ламп накаливания занимался физик Александр Николаевич Лодыгин. Прим. науч. ред. Код P = E × I. Показатели нашего фонарика — три вольта и 0,75 ампера, то есть мы име- ем дело с лампочкой мощностью 2,25 ватта. Возможно, у вас в комнате горит стоваттная лампочка, которая рассчи- тана на бытовое напряжение 120 вольт. Следовательно, сила тока, идущего че- рез такую лампочку, равна 100 ватт разделить на 120 вольт, то есть примерно 0,83 ампера. Таким образом, сопротивление стоваттной лампы накаливания равно 120 вольт разделить на 0,83 ампера — примерно 144 ома. Кажется, мы проанализировали все элементы фонарика: батарейки, про- вода, лампочку. Но забыли о самом важном! Да, еще выключатель. От положения выключателя зависит, есть ли ток в электрической цепи. Когда ток идет, говорят, что фонарик включен, или кон- тур замкнут. Когда фонарик выключен (контур разомкнут), ток идти не мо- жет. Таким образом, провод и дверь в некотором смысле противоположны: когда дверь закрыта (замкнута), через нее нельзя пройти, а в случае с прово- дом всё наоборот. Выключатель либо включен, либо выключен, ток или идет, или нет, лам- почка или светится, или не светится. Подобно двоичным кодам, изобретен- ным Морзе и Брайлем, обычный фонарик может быть лишь в двух состояниях: включен либо выключен. Промежуточных состояний не существует. Понима- ние сходства между двоичными кодами и простыми электрическими цепями нам еще пригодится. 41 Глава 5 Заглядывая за угол Вам двенадцать. Наступает ужасный день: семья вашего лучшего друга пере- езжает в другой город. Вы время от времени перезваниваетесь, но разве срав- нишь беседы по телефону с полуночными посиделками, когда вы, вооружив- шись фонариками, сигнализировали друг другу азбукой Морзе! В итоге вы близко сходитесь еще с одним другом, живущим по соседству. Теперь надо обучить его азбуке Морзе, чтобы общаться за полночь, обмениваясь фонар- ными вспышками. Проблема в том, что окно вашей спальни и окно спальни нового друга не обращены друг к другу. Дома стоят на одной улице, но окна смотрят в одну и ту же сторону. Если на улице не получится каким-то образом установить сис тему зеркал, азбукой Морзе через окно не пообщаешься. Или все же пообщаешься? Вероятно, к тому моменту вы уже что-то узнали об электричестве, так что решаете собрать собственные фонарики из батареек, лампочек, выключателей и проводов. Первым делом вы прямо в спальне соединяете батарейки и вы- ключатель. Два провода тянутся из окна через забор в спальню вашего друга, где он подключает их к лампочке. Ваш дом Дом вашего друга 42 Код Я показываю всего одну батарейку, но вы можете пользоваться двумя. Здесь и далее на схемах так будет обозначаться выключенный (разомкнутый) переключатель. А так — включенный (замкнутый). Фонарик в этой главе работает по тому же принципу, что и в предыдущей, но провода, подключаемые к элементам схемы, немного длиннее. Когда вы за- мыкаете цепь, лампочка зажигается в комнате вашего друга. Ваш дом Дом вашего друга Теперь вы можете обмениваться сообщениями при помощи азбуки Морзе. У вас получился один «дальнобойный» фонарик; значит, можно подклю- чить второй, которым будет пользоваться ваш друг. Ваш дом Дом вашего друга Глава 5. Заглядывая за угол 43 Поздравляем! Вы только что соорудили двунаправленный телеграф. Как видите, здесь две одинаковые электрические цепи, которые совершенно не за- висят друг от друга и нигде одна с другой не соединяются. Теоретически вы можете отправлять сообщение в момент, когда друг отправляет его вам (хотя это серьезная умственная нагрузка — отправлять и читать сообщения одно- временно). Возможно, вы догадаетесь, что длину проводов можно сократить на чет- верть, выстроив такую конфигурацию. Ваш дом Дом вашего друга Обратите внимание: теперь мы соединили отрицательные клеммы двух батареек. Две кольцевые электрические цепи (от батарейки к выключателю, от выключателя к лампочке и от лампочки к батарейке) по-прежнему работают независимо друг от друга, хотя они и соединены, подобно сиамским близнецам. Такое соединение называется «с общим проводом». В этой схеме общий провод проложен от левой оконечности, где соединены левая лампочка и ба- тарейка, до правой, где соединены правая лампочка и батарейка. Эти подклю- чения обозначены точками. Давайте убедимся, что никаких фокусов тут нет. Во-первых, если нажать переключатель на вашей стороне, загорится лампочка дома у вашего друга. Красными линиями показано направление тока в электрической цепи. Ваш дом Дом вашего друга 44 Код В другую часть схемы электричество не попадает: электронам туда по- просту не добраться. Когда сигнал отправляете не вы, а ваш друг, лампочка у вас в комнате за- жигается и гаснет от выключателя, находящегося у него в спальне. Опять же, направление электричества в цепи показано красными линиями. Ваш дом Дом вашего друга Когда вы одновременно с другом пытаетесь передать сигналы, в некото- рые моменты оба переключателя выключены, в других случаях один вклю- чен, а второй выключен, в третьих — оба включены. Тогда направление тока в цепи выглядит так. Ваш дом Дом вашего друга По общему проводу ток не идет. Когда мы соединяем две цепи в одну при помощи общего провода, у нас остается три провода вместо четырех, и длина всей проводки уменьшается на 25%. Если бы нам пришлось протянуть провода на достаточно большое рас- стояние, возможно, мы захотели бы сэкономить и избавиться еще от одного провода. К сожалению, это невозможно при работе с 1,5-вольтными батарей- ками и маленькими лампочками. Однако если вооружиться стовольтными ба- тареями и более крупными лампами, вероятно, все получится. Вот какой фокус: как только вы оборудовали общую часть цепи, на этом отрезке уже необязательно использовать провод; его можно заменить чем-нибудь Глава 5. Заглядывая за угол 45 еще. Например, шаром диаметром 12 тысяч километров, состоящим из металла, камней, воды и органических веществ. Этот гигантский шар — планета Земля. В прошлой главе, описывая хорошие проводники, я упоминал серебро, медь и золото, но ничего не сказал о гальке и перегное. Земля и правда не иде- альный проводник, хотя некоторые виды грунта (например, влажная почва) проводят электричество лучше других (в частности, сухого песка). Существу- ет одно общее правило, касающееся проводников: чем он больше, тем луч- ше. Очень толстый провод обеспечивает большую электропроводимость, чем очень тонкий. Вот в чем главное достоинство Земли: она огромная. Чтобы задействовать Землю в качестве проводника, мало просто воткнуть провод в грядку с помидорами. Нужно устройство, которое обеспечит хоро- ший контакт, — я имею в виду, что у проводника должна быть обширная по- верхность. В данном случае хорошо подойдет медный прут длиной хотя бы 2,5 метра и примерно 1,5 сантиметра в диаметре. Тогда мы получим площадь контакта проводника с землей, равную 1200 см 2 . Такой прут можно загнать в землю кувалдой, а затем подключить к нему провод. Если у вас дома про- ложены медные водопроводные трубы, выходящие из земли где-то за домом, провод можно подсоединить к подобной трубе. Термин «заземление» немного неудачный, поскольку именно им обозначается и тот элемент цепи, который мы выше назвали общим проводом. В этой главе (если не будет указано иное) «заземление» означает физическое соединение с грунтом. На схемах электрических цепей Земля обозначается так. Электрики пользуются таким символом, потому что им лень рисовать са- женный медный прут, закопанный в землю. Рассмотрим, как все устроено. В начале главы была приведена вот такая однонаправленная конфигурация. Ваш дом Дом вашего друга 46 Код Если работать с достаточно мощными лампочками и батарейками, между вашим домом и домом вашего друга потребуется протянуть всего один провод, ведь в качестве второго проводника будет использоваться Земля. Ваш дом Дом вашего друга Когда вы включите систему, электричество потечет так. Ваш дом Дом вашего друга Электроны попадают в дом вашего друга прямо из земли, проходят че- рез лампочку и провод, через выключатель у вас дома, а затем отправляются на положительную клемму батарейки. Электроны с отрицательной клеммы батарейки идут в землю. Возможно, вы также пожелаете изобразить электроны, вылетающие из са- женного медного прута, закопанного на заднем дворе вашего друга. Если учесть, что Земля в данном случае выполняет точно такую же функ- цию для тысяч электрических цепей по всему миру, возможен вопрос: откуда электроны знают, куда именно лететь? Разумеется, не знают. В данном случае удобнее описать Землю при помощи другой метафоры. Да, Земля — огромный проводник, но ее можно рассматривать и как храни- лище, и как источник электронов. Земля полна электронами, как океан — капля- ми воды. Земля — не только неисчерпаемый источник электронов, но и огром- ный «сток» для этих частиц. Однако Земля обладает некоторым сопротивлением. Вот почему не при- меняется заземление, когда требуется укоротить провода при опытах с бата- реями и сигнальными лампочками. Сопротивление Земли просто слишком велико, если речь идет о работе с низковольтными батарейками. Глава 5. Заглядывая за угол 47 Обратите внимание: на двух предыдущих схемах батарейка заземлена че- рез отрицательную клемму. Я больше не буду рисовать заземленную батарейку. Вместо этого стану писать заглавную букву V, которая означает напряжение. Теперь однонаправ- ленный телеграф с лампочкой выглядит так. V Ваш дом Дом вашего друга V означает «напряжение» и «вакуум». Считайте, что V — это электронный вакуум, а Земля — океан электронов. Электронный вакуум тянет электроны из Земли через электрическую цепь, тем временем совершая работу (напри- мер, зажигая лампочку). Точка заземления иногда именуется точкой с нулевым потенциалом. Это значит, что в ней отсутствует напряжение. Как я уже рассказывал, напряже- ние — это потенциал для выполнения работы, и приводил пример с кирпи- чом, поднятым в воздух и обладающим потенциальной энергией. Нулевой потенциал будет у кирпича, лежащего на земле: оттуда некуда падать. В главе 4 мы отметили, что электрические цепи закольцованы. Наша но- вая цепь совершенно не похожа на кольцо. Однако она все равно закольцована. Можно заменить V на батарейку, заземленную через отрицательную клемму, а затем нарисовать провод между всеми точками, где стоит символ заземления. Получится такая же схема, как и приведенная в начале этой главы. Итак, вооружившись парой медных штырей (или водопроводных труб), можно сконструировать двунаправленную систему для обмена кодом Морзе и при этом обойтись всего двумя проводами, которые будут протянуты через изгороди между вашим домом и домом вашего друга. 48 Код V V Ваш дом Дом вашего друга Функционально эта цепь не отличается от конфигурации, показанной выше, где через забор между двумя домами протянуты три провода. Итак, мы рассмотрели важный этап в развитии телекоммуникаций. Ранее мы могли общаться при помощи азбуки Морзе, но только по прямой, в преде- лах видимости, и только на таком расстоянии, на какое добивает луч фонарика. При помощи проводов мы изготовили систему, которая позволяет не толь- ко общаться с другом «по кривой» (вне зоны прямой видимости), но и изба- виться от ограничений, связанных с расстоянием между нами. Можно общать- ся с кем-то, до кого сотни и тысячи километров, — нужно лишь протянуть достаточно длинные провода. Нет, в принципе, не совсем так. Пусть медь и очень хороший проводник, она неидеальна. Чем длиннее провода, тем выше их сопротивление. Чем выше сопротивление, тем слабее проходящий по ним ток, чем слабее ток — тем туск- лее светит лампочка. Итак, насколько длинные провода мы можем протянуть? Зависит от си- туации. Допустим, мы работаем с исходной двунаправленной конструкцией на четыре провода, без заземления и общего провода, используем батарейки от фонарика, а также лампочки. Можно для начала приобрести акустический кабель 20-го калибра. Такой кабель обычно применяется для подключения мик рофона к стереосистеме. В нем два провода, так что он хорошо подойдет и для двунаправленного телеграфа. Если между вашей комнатой и комнатой друга меньше 15 метров, потребуется всего одна катушка провода. Толщина провода измеряется по системе AWG (American Wire Gauge, аме- риканский калибр проводов)*. Чем меньше калибр, тем толще провод, соответ- ственно тем ниже его сопротивление. Диаметр провода 20-го калибра — около * В России толщина провода традиционно описывается через площадь сечения, которая измеряется в квадратных миллиметрах, либо через диаметр провода в миллиметрах. Прим. науч. ред. Глава 5. Заглядывая за угол 0,8 миллиметра, а сопротивление — 10 омов на 300 метров либо один ом на удвоенное расстояние между комнатами. Неплохо, но что делать, если бы мы протянули провод на полтора кило- метра? Общее сопротивление такого провода составило бы более 100 омов. Как вы помните, сопротивление нашей лампочки составляло всего четыре ома. По закону Ома можно рассчитать, что сила тока, который потечет по та- кой цепи, составит уже не 0,75 ампера (три вольта, деленные на четыре ома), а менее 0,03 ампера (три вольта, деленные более чем на 100 омов). Наверняка лампочка от такого низкого тока не загорится. Хороший выход — взять про- вод потолще. Но это может выйти дороже. Провода 10-го калибра потребует- ся вдвое больше, поскольку он одножильный, толщина его составляет около 2,54 миллиметра, но сопротивление — всего около пяти омов на 1,6 километра. Другое решение — увеличить напряжение и взять лампочки с гораздо более высоким сопротивлением. Например, стоваттная лампочка, освещающая вашу комнату, рассчитана на работу в сети напряжением 120 вольт и имеет сопро- тивление около 144 омов. В таком случае сопротивление проводов в меньшей степени отразится на всей нашей схеме. Именно с такими проблемами столкнулись инженеры, которые 150 лет на- зад прокладывали первые телеграфные системы между Америкой и Европой. Независимо от толщины проводов и уровня напряжения, телеграфный про- вод просто невозможно протянуть на неограниченное расстояние. Согласно имевшейся схеме, работоспособная система могла охватить максимум несколь- ко сотен километров, что несравнимо меньше тех тысяч километров, которые пролегают между Нью-Йорком и Калифорнией. Решить проблему удалось, отказавшись от лампочек и сконструировав простые «щелкающие» телеграфы прошлого века. Получилось простое и не- броское устройство, на основе которого впоследствии были созданы полно- ценные компьютеры. 50 Глава 6 Телеграфы и реле Сэмюэл Морзе родился в 1791 году в городе Чарльзтауне. Сейчас это северо- восточная часть Бостона. К моменту рождения Морзе минуло уже два года, как ратифицировали Конституцию США. Шел первый президентский срок Джор- джа Вашингтона, в России правила Екатерина Великая. Людовик XVI и Мария- Антуанетта спустя два года будут обезглавлены во время Французской револю- ции. В 1791 году Моцарт завершил свою последнюю оперу «Волшебная флейта» и в тот же год умер в возрасте 35 лет. Морзе получил образование в Йеле и изучал искусство в Лондоне. Он стал успешным портретистом. Портрет генерала Лафайета (1825) кисти Морзе до сих пор экспонируется в Ратуше Нью-Йорка. В 1836 году Морзе баллотировался в мэры Нью-Йорка как независимый кандидат и получил 5,7% голосов. Кро- ме того, он был одним из первых, кто всерьез увлекался фотографией. Морзе учился у самого Луи Дагера и сделал одни из первых дагеротипов в Америке. В 1840 году он обучил этому искусству 17-летнего Мэтью Брэди, который вмес- те с коллегами впоследствии создал один из самых запоминающихся снимков Гражданской войны в США, портреты Авраама Линкольна и Сэмюэла Морзе. Все это лишь ремарки к его разносторонней карьере. В наши дни Сэмюэл Морзе наиболее известен как изобретатель телеграфа и азбуки, названной в его честь. Мгновенная связь в глобальных масштабах, к которой мы так привык- ли, — относительно недавнее изобретение. В начале XIX века можно было общаться либо в реальном времени, либо дистанционно, но то и другое сра- зу было невозможно. Дистанция реального общения была ограничена силой голоса (никаких звукоусилителей не существовало) и зоркостью собеседника (правда, вас могли рассматривать в подзорную трубу). Общаться на больших расстояниях можно было по переписке; для доставки писем требовались вре- мя и транспорт: лошади, поезда или корабли. За многие десятилетия до изобретения, сделанного Морзе, предпри- нимались многочисленные попытки ускорить дистанционную коммуника- цию. Самые примитивные варианты были связаны с выстраиванием цепочек Глава 6. Телеграфы и реле 51 людей-передатчиков. Они стояли на холмах и размахивали флажками, поль- зуясь семафорной азбукой. Существовали и более сложные конструкции с ру- ками-манипуляторами, которые, в сущности, выполняли те же функции, что и люди-семафоры. Идея телеграфа (в буквальном переводе с греческого «пишу далеко») в на- чале XIX века определенно витала в воздухе, и кроме Морзе за нее пытались браться другие изобретатели. Морзе приступил к экспериментам в 1832 году. В принципе, идея электрического телеграфа проста: на одном конце прово- да проделываем какие-то манипуляции, эффект которых наблюдается на дру- гом конце. Именно это и получилось у нас, когда мы конструировали дально- бойный фонарик. Однако Морзе не мог пользоваться лампочкой в качестве сигнального устройства, поскольку саму лампочку изобрели лишь в 1879 году. Вместо этого он задействовал явление электромагнетизма. Если взять железный прут, обмотать его несколькими сотнями петель тон- кого провода, а затем пропустить по этому проводу ток, прут превратится в магнит. Тогда он станет притягивать другие железные и стальные предметы. (В электромагните хватает тонкого провода, чтобы возникало достаточно вы- сокое сопротивление, не допускающее короткого замыкания). Если отрубить ток, то железный прут теряет магнитные свойства. Электромагнит — основа телеграфа. Когда мы включаем или выключаем рычаг с одной стороны цепи, эффект наблюдается на другой стороне. Первые телеграфы Морзе были сложнее более поздних моделей. Морзе считал, что телеграф должен выводить какую-то информацию на бумаге, как потом будут говорить компьютерщики, создавать физическую копию. Есте- ственно, это не обязательно должны быть слова, поскольку это слишком слож- но. Но что-то на бумаге нужно записывать, будь то каракули или точки и тире. Обратите внимание: Морзе не мог выйти из плоскости и думал о бумаге и чте- нии, точно как Валентин Гаюи полагал, что в книгах для слепых должны быть выпуклые буквы алфавита. Хотя Сэмюэл Морзе уже в 1836 году уведомил патентное бюро о том, что изобрел рабочую модель телеграфа, лишь в 1843 году ему удалось 52 Код добиться разрешения на публичную демонстрацию этого устройства в Кон- грессе. Исторический день наступил 24 мая 1844 года, когда телеграфная ли- ния связала Вашингтон и Балтимор и по телеграфу удалось успешно передать библейскую фразу: «Чудны дела Твои, Господи». Обычный телеграфный «ключ» для передачи ссобщений выглядел при- мерно так: Несмотря на вычурный вид, это был просто переключатель, оптимизиро- ванный для максимально скоростной работы. Чтобы подолгу работать с таким ключом, его было удобнее удерживать между большим, указательным и сред- ним пальцами и стучать им вверх-вниз. Короткий удар ключом соответство- вал точке из азбуки Морзе, длительное нажатие — тире. С другой стороны цепи располагался приемник, представлявший собой электромагнит, управлявший металлическим рычагом (изначально электро- магнит управлял пером). Пока механизм, оснащенный натянутой пружиной, медленно протягивал бумажный свиток через устройство, перо скакало по бу- маге, выписывая на ней точки и тире. Человек, умеющий читать азбуку Морзе, переводил эти точки и тире в буквы и складывал слова. Да, люди ленивы, и телеграфисты вскоре обнаружили, что код впол- не можно переводить, прислушиваясь к длительности ударов пера. В итоге от пера отказались, заменив его более традиционным телеграфным клопфе- ром, который выглядел примерно так. При нажатии телеграфного ключа электромагнит в клопфере опускал по- движную планку и делал характерный «клик». Когда ключ отпускали, планка отскакивала обратно и издавала звук «клак». Быстрое «клик-клак» соответ- ствовало точке, более долгое «клик-клак» — тире. Глава 6. Телеграфы и реле 53 Ключ, клопфер, батарею и несколько проводов можно подключить друг к другу, как в случае со световым телеграфом, о котором мы говорили в пре- дыдущей главе. Ваша телеграфная станция Телеграфная станция вашего друга Для соединения двух телеграфных станций достаточно одного провода, вторую часть цепи замкнем через землю. Как и в прошлой главе, заменим подключенную к земле батарею буквой V. Соответственно, полноценное однонаправленное устройство будет выглядеть так. V Ваша телеграфная станция Телеграфная станция вашего друга Для двунаправленной связи нам просто потребуются еще один ключ и пе- редатчик. Примерно такое устройство мы и собирали. Именно с изобретения телеграфа начинается эпоха современных теле- коммуникаций. Впервые людям удалось общаться с собеседником за предела- ми видимости и слышимости, причем гораздо оперативнее, чем при отправке почты на галопирующей лошади. Гораздо интереснее, что в этом изобретении применялся двоичный код. В более современных средствах кабельной и бес- проводной телекоммуникации (телефон, радио, телевизор) от двоичного кода отказались, и вновь он вошел в употребление с возникновением компьютеров, компакт-дисков, цифровых видеодисков, цифрового спутникового телевеща- ния и телевидения высокого разрешения. Телеграф Морзе превзошел другие модели отчасти потому, что хорошо работал при помехах на линии. Как правило, провод между ключом и клоп- фером оставался функционален. Другие телеграфные системы были не столь 54 Код неприхотливы. Я уже упоминал, что большая техническая проблема, связанная с телеграфом, заключается в сопротивлении длинных проводов. Хотя на неко- торых телеграфных линиях использовалось напряжение до 300 вольт, и они нормально работали на расстоянии до 480 километров, неограниченно длин- ных проводов не бывает. Решение сконструировать систему ретрансляторов очевидно. Через каж- дые 320 километров можно усадить оператора, дать ему ключ и клопфер и по- ручить: «Получил сообщение — передай его следующему». Теперь представьте, что телеграфная компания пригласила вас на работу в качестве такого оператора. Посадили вас где-нибудь в глуши между Нью- Йорком и Калифорнией в хижине, где есть только стол и стул. Через восточ- ное окно в комнату протянут провод, подключенный к клопферу. Телеграф- ный ключ запитан от батареи, а из батареи в западное окно протянут второй провод. Ваша задача — принимать входящие сообщения из Нью-Йорка и пе- ресылать их в Калифорнию. Поначалу вы предпочитаете дождаться целостного сообщения, а затем пе- реслать его. Записываете буквы, соответствующие щелчкам клопфера, а когда сообщение закончится — пересылаете, отстукивая ключом. Рано или поздно вы догадаетесь, что сообщение удобнее транслировать прямо в процессе по- лучения, не записывая его целиком. Так экономится время. Однажды вы пересылаете сообщение, смотрите, как скачет вверх-вниз планка клопфера, смотрите на собственные пальцы, как вы управляетесь с ключом. Снова смотрите на клопфер, снова на ключ — и осознаете, что ключ скачет в унисон с клопфером. Выходите на улицу, берете дощечку, находите шнурок и при помощи дощечки и шнурка связываете клопфер с ключом. V Выход Вход Теперь все работает само, а вы можете устроить свободный вечер и пой- ти порыбачить. Глава 6. Телеграфы и реле 55 Интересно нафантазировано. В действительности Сэмюэл Морзе еще на самом раннем этапе концептуально представлял себе такое устройство. Мы изобрели устройство под названием повторитель, или реле. Реле напоминает клопфер, где входящий ток запитывает магнит, тянущий металлический рычаг. Однако рычаг — это элемент переключателя, соединяющего батарею с исходя- щим проводом. В таком случае слабый входящий ток «усиливается», и исхо- дящий ток получается гораздо значительнее. Схема реле выглядит так. V Выход Вход Когда входящий ток активирует электромагнит, последний подтягивает гибкую металлическую ленту, действующую как переключатель, пускающий исходящий ток. V Выход Вход Код Итак, телеграфный ключ, клопфер и реле соединяются примерно следую- щим образом. V V Ваша телеграфная станция Релейная станция Телеграфная станция вашего друга Реле — замечательное устройство. Безусловно, это переключатель, но та- кой, который переводится из состояния «включен» в состояние «выключен» и обратно не человеческой рукой, а силой тока. При помощи такого прибора можно делать удивительные вещи, а телеграф в существенной степени позво- ляет смоделировать компьютер. Да, реле слишком аппетитное изобретение, чтобы просто оставить его пы- литься в музее связи. Заходим в музей, хватаем его, засовываем во внутренний карман пиджака и быстро ретируемся. Реле нам пригодится. Однако прежде чем приступить к работе с ним, нужно научиться считать. 57 Глава 7 Наши десять цифр Идея, что язык — просто код, вполне логична. Многие как минимум пытались выучить иностранный язык в старших классах, поэтому сложно поспорить, что кошка в других языках может называться cat, gato, chat, Katze, kot или καττα. Кажется, что числа менее пластичны в культурном контексте. Независимо от того, на каком языке мы говорим, как произносим числительные, практи- чески любой собеседник на этой планете, скорее всего, будет записывать чис- ла точно так, как и мы. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Не потому ли математику называют универсальным языком? Несомненно, числа — самый абстрактный код, с которым приходится иметь дело в повседневной жизни. Видя число, мы не пытаемся его мгновен- но с чем-то соотнести. 3 Можно представить три яблока или три других предмета, но с тем же успехом можно узнать из контекста, что речь идет о дне рождения ребенка, теле визионном канале, хоккейном счете, количестве чашек муки, нужных для приготовления пирога. Уже потому, что числа столь абстрактны, нам сложнее понять, что три яблока можно обозначить не только числом 3. Бóльшая часть этой главы и вся следующая помогут убедиться, что ровно такое же количество яблок можно обозначить и числом 11. Для начала давайте расстанемся с мыслью, что в числе 10 есть нечто осо- бенное. Неудивительно, что в большинстве цивилизаций сложились системы счисления на основе числа 10 (или 5). С глубокой древности люди считали на пальцах. Если бы у человеческой особи было восемь или двенадцать паль- цев, то все счетные системы были бы немного иными. 58 Код Именно поэтому система счисления с основанием 10, также именуемая десятеричной, выбрана совершенно произвольно. Мы придаем десятке чисел поистине магическое значение и придумали для нее особые названия. Десять дней образуют декаду, десять десятилетий — век, десять веков — тысячелетие. Тысяча тысяч — это миллион, тысяча миллионов — миллиард. Все эти числа являются степенями числа 10. 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 (тысяча) 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1 000 000 (миллион) 10 7 = 10 000 000 10 8 = 100 000 000 10 9 = 1 000 000 000 (миллиард) Большинство историков полагают, что числа изначально были придума- ны для подсчета предметов, например людей, имущества и торговых сделок. Если у кого-то было четыре утки, то их можно было обозначить в виде четы- рех нарисованных уточек. Наконец человек, чья работа заключалась в рисовании уток, подумал: «За- чем рисовать четырех уток? Не изобразить ли одну и обозначить, что на самом деле уток четыре, скажем, черточками?» Когда потребовалось нарисовать 27 уток, черточки выглядели нелепо. Подумалось: «Должен быть другой способ, лучше», — так появилась сис- тема чисел. Глава 7. Наши десять цифр 59 Из всех древнейших числовых систем до сих пор в ходу римские цифры. Они встречаются на циферблатах, ими выбивают даты на памятниках, нумеру- ют некоторые страницы в книгах, используют при подсчете некоторых элементов и — что наиболее раздражает — при указании информации об авторских правах в кинофильмах. (Иногда чтобы ответить на вопрос, в каком году был снят фильм, нужно молниеносно расшифровать какие-нибудь MCMLIII в хвосте титров.) Двадцать семь уток римскими цифрами будет так. Принцип довольно прост: X означает 10 черточек, V — пять. Вот римские цифры, сохранившиеся до наших дней. I V X L C D M I — это единица; она похожа на черточку или один поднятый палец. V — это пятерка; возможно, этим символом обозначалась ладонь. Из двух V со- ставляется X, то есть десятка. L — это пятьдесят, C — буква, с которой начинается латинское centum, — сто, D — пять сотен, M — первая буква в слове mille — тысяча. Хотя мы, возможно, с этим не согласимся, но на протяжении веков счи- талось, что римские цифры удобны для сложения и вычитания, именно по- этому они так долго использовались в Европе при ведении бухгалтерии. Дей- ствительно, при сложении двух римских чисел просто выписываются рядом все символы из двух этих чисел, а затем применяется всего несколько правил: пять I образуют V, две V — X, пять X — L и т. д. Сложно умножать и делить числа, записанные римскими цифрами. Многие другие ранние числовые системы (например, греческая) аналогично не подходят для сложных математических действий. Древние греки разработа- ли превосходную геометрию, которая до сих пор практически без изменений преподается в школах, но так ли известна древнегреческая алгебра? Цифры, которыми мы пользуемся сегодня, называются индо-арабскими. Они возникли в Индии, но были занесены в Европу арабскими математика- ми. Особенно прославился персидский математик Мухаммад ибн Муса аль- Хорезми (от имени которого происходит слово «алгоритм»), написавший око- ло 825 года книгу по алгебре, где пользовался индийскими цифрами. Эта книга была переведена на латынь около 1120 года, оказала большое влияние на Евро- пу и стимулировала переход с римских цифр на современные. 60 Код Индо-арабская система чисел отличалась от более ранних. ȣ Индо-арабская система называется позиционной, то есть любая цифра мо- жет обозначать в ней разное количество в зависимости от того, в какой части числа стоит. Положение цифры в числе не менее (и даже более) важ- но, чем значение самой цифры. И в 100, и в 1 000 000 всего по одной еди- нице, но всем известно, что миллион гораздо больше сотни. ȣ Практически во всех ранних системах счисления было нечто, чего нет в индо-арабской системе, а именно: отдельный символ для обозначения десятки. В нашей системе счисления такой символ отсутствует. ȣ С другой стороны, практически во всех ранних числовых системах отсут- ствовало кое-что, имеющееся в индо-арабской системе и, по сути, более важное, чем символ десятки, — символ нуля. Да, ноль. Скромный ноль, несомненно, одно из важнейших изобретений в истории чисел и математики. Он обеспечивает позиционную запись, посколь- ку позволяет отличить 25 от 205 и от 250. Ноль упрощает многие математические действия, неудобные в непозиционных системах, особенно умножение и деление. Вся структура индо-арабских чисел проясняется, если обратить внимание, как мы их произносим. Например, 4825: «Четыре тысячи восемьсот двадцать пять». Это означает: четыре тысячи, восемь сотен, два десятка и еще пять. Либо можно разложить это число на компоненты, например: 4825 = 4000 + 800 + 20 + 5. Или еще мельче, вот так: 4825 = 4 × 1000 + 8 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1. Глава 7. Наши десять цифр 61 Или, воспользовавшись степенями десятки, записать следующее: 4825 = 4 × 10 3 + 8 × 10 2 + 2 × 10 1 + 5 × 10 0 Напоминаю: любое число в степени 0 равно единице. Каждая позиция в многозначном числе имеет определенное значение, как показано на следующей схеме. В семи окошках можно записать любое число от 0 до 9 999 999. Количество единиц Количество десятков Количество сотен Количество тысяч Количество десятков тысяч Количество сотен тысяч Количество миллионов Каждая позиция соответствует степени десятки. Специального символа для десятки не требуется, поскольку1 просто ставится в нужную позицию, а 0 используется в качестве символа-заполнителя. Самое замечательное в данном случае в том, что дробные величины, обо- значаемые цифрами после десятичной запятой, подчиняются той же законо- мерности. Число 42 705,684 равно: 4 × 10 000 + 2 × 1000 + 7 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 6 ÷ 10 + 8 ÷ 100 + 4 ÷ 1000. 62 Код Это число можно записать и без деления: 4 × 10 000 + 2 × 1000 + 7 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 6 × 0,1 + 8 × 0,01 + 4 × 0,001. Или при помощи степеней десятки: 4 × 10 4 + 2 × 10 3 + 7 × 10 2 + 0 × 10 1 + 5 × 10 0 + 6 × 10 –1 + 8 × 10 –2 + 4 × 10 –3 Обратите внимание: сначала степень доходит до нуля, а затем получает отрицательные значения. Известно, что 3 плюс 4 равно 7. Аналогично 30 плюс 40 равно 70, 300 плюс 400 равно 700 и 3000 плюс 4000 равно 7000. В этом и заключается красота ин- до-арабской системы. Складывая сколь угодно длинные десятеричные числа, мы фактически решаем эту задачу поэтапно. На каждом этапе мы всего лишь складываем однозначные числа. Именно поэтому кто-то давным-давно застав- лял вас запоминать таблицу сложения. |