Книга в других форматах Приятного чтения! Артуро розенблюту
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
Глава Х. Мозговые волны и самоорганизующиеся системы В предыдущей главе я рассматривал вопросы обучения и самораспространения в применении к машинам и, по крайней мере по аналогии, к живым системам. Здесь я повторю некоторые соображения, которые высказал в предисловии и которые намереваюсь использовать сейчас. Как уже отмечалось выше, эти два явления тесно связаны между собой: первое служит основой для приспособления индивидуума к окружению через опыт, что можно назвать онтогенетическим обучением, а второе, поскольку оно дает материал, с которым может работать изменчивость и естественный отбор, служит основой для обучения филогенетического. Как я уже указывал, млекопитающие, и в частности человек, приспособляются к своему окружению в значительной мере путем онтогенетического обучения, а у птиц, с их весьма разнообразными типами поведения, которые не приобретаются при жизни особи, гораздо большее значение имеет филогенетическое обучение. Мы видели важность нелинейных обратных связей в возникновении обоих процессов. Настоящая глава посвящена изучению одной конкретной самоорганизующейся системы, в которой нелинейные явления играют большую роль. Здесь описывается то, что происходит, по моему мнению, при самоорганизации электроэнцефалограмм, или электрических волн головного мозга. Прежде чем обсуждать эту тему по существу, я должен сказать несколько слов о том, что такое волны головного мозга и как их строение можно подвергнуть точному математическому исследованию. Уже много лет было известно, что деятельность нервной системы сопровождается определенными электрическими потенциалами. Первые наблюдения в этой области восходят к началу прошлого столетия и были сделаны Вольтой и Гальвани на нервно-мышечных препаратах лягушачьей [c.268] ноги. Так родилась наука электрофизиология. Однако до конца первой четверти нашего столетия указанная наука развивалась довольно медленно. Стоит подумать, почему развитие этой ветви физиологии было таким медленным. Для исследования физиологических электрических потенциалов сперва применялись гальванометры. Они имели два недостатка. Во-первых, вся энергия, необходимая для перемещения катушки или стрелки прибора, поступала из самого нерва и была очень мала. Второе затруднение заключалось в том, что в тогдашних гальванометрах подвижные части имели довольно значительную инерцию и для приведения стрелки в строго определенное положение необходима была значительная устанавливающая сила, т. е. гальванометр неизбежно был не только регистрирующим, но и искажающим прибором. Самым лучшим из прежних физиологических гальванометров был струнный гальванометр Эйнтговена, в котором подвижные части сведены к одной нити. Как ни превосходен был этот прибор по тому времени, он не был достаточно хорош, чтобы регистрировать малые электрические потенциалы без больших искажений. Таким образом, электрофизиологии пришлось дожидаться появления новой техники. То была электронная техника в двух формах. Одна из них восходит к открытию Эдисоном некоторых эффектов проводимости газов, откуда пошло применение электронной лампы для усиления. В результате стало возможным преобразовывать достаточно верно слабые напряжения в сильные и тем самым перемещать оконечные элементы регистрирующего прибора при помощи энергии, не исходящей от нерва, но управляемой им. Второе изобретение также связано с электрическим током в вакууме и называется катоднолучевым осциллографом. Благодаря осциллографу стало возможно применять в качестве подвижной части прибора гораздо более легкий якорь, нежели в любом предыдущем гальванометре, а именно поток электронов. С помощью двух этих устройств, взятых порознь или вместе, физиологи нашего столетия сумели точно проследить изменение во времени малых напряжений, что было совершенно вне возможностей точных приборов XIX века. Подобными методами смогли получить точные [c.269] записи изменения во времени весьма малых потенциалов между двумя электродами, помещенными на кожу головы или введенными в мозг. Хотя эти потенциалы наблюдались и в XIX веке, возможность получения новых точных записей возбудила 20—30 лет тому назад большие надежды у физиологов. Ведущими в использовании таких приборов для непосредственного изучения деятельности мозга были Бергер в Германии, Эдриан и Мэттьюс в Англии и Джаспер, Дэйвис и супруги Гиббсы в Соединенных Штатах. Надо признать, что последующее развитие электроэнцефалографии не оправдало розовых надежд, которые питали первые исследователи в этой области. Полученные ими данные записывались чернильным самописцем. Это чрезвычайно сложные и неправильные кривые; и хотя можно было различить некоторые преобладающие частоты, как, например, альфа-ритм с частотой около 10 колебаний в секунду, записи чернилами были мало пригодны для дальнейшей математической обработки. В результате электроэнцефалография стала больше искусством, чем наукой, и зависела от способности тренированного наблюдателя распознавать определенные свойства чернильной кривой на основании большого опыта. Это вызывало весьма серьезный упрек, что истолкование электроэнцефалограмм делается в значительной мере субъективным. В конце 20-х — начале 30-х годов я заинтересовался гармоническим анализом непрерывных процессов. Хотя физики ранее уже рассматривали такие процессы, математическая теория гармонического анализа почти вся ограничивалась изучением либо периодических процессов, либо процессов, стремящихся в некотором смысле к нулю с возрастанием времени в положительном или отрицательном направлении. Моя работа была первой попыткой поставить гармонический анализ непрерывных процессов на твердую математическую основу. При этом я нашел, что главным здесь является понятие автокорреляции, которое уже применял Дж. И. Тэйлор (ныне сэр Джеффри Тэйлор) при изучении турбулентностей189. [c.270] Автокорреляция для функции времени f (t ) представляет собой временно́е среднее от произведения f (t +τ) на f (t ). Удобно вести комплексные функции времени, если даже в реальных случаях мы рассматриваем действительные функции. Тогда автокорреляция становится равной среднему произведению f (t +τ) на величину, сопряженную с f (t ). Работаем ли мы с действительными или с комплексными функциями, спектр мощности функции f (t ) равен преобразованию Фурье от ее автокорреляции. Я уже говорил о непригодности чернильных записей для дальнейшей математической обработки. Прежде чем ожидать многого от идеи автокорреляции, необходимо было заменить чернильные записи какими-либо другими, более пригодными. Одним из лучших способов фиксации малых флюктуирующих напряжений для дальнейшей обработки — применение магнитной ленты. Она позволяет сохранять 189 Taylor G.I. Diffussion by Continuous Movements. // Proceedindgs of the London Mathematical Society. — Ser. 2. — 1921-1922. — Vol. 20. — P. 196—212. флюктуирующее электрическое напряжение в виде постоянной записи, которую можно затем использовать когда угодно. Один из таких приборов был придуман около десяти лет тому назад в научно-исследовательской лаборатории электроники Массачусетсского технологического института под руководством проф. Уолтера А. Розенблита и д-ра Мэри А. Б. Бразье190. В этом приборе применяется запись на магнитную ленту с частотной модуляцией. Дело в том, что считывание всегда связано с некоторым стиранием магнитной ленты. При записи с амплитудной модуляцией стирание приводит к изменению хранимого сообщения, и при последовательных считываниях ленты мы по существу имеем дело с меняющимся сообщением. При частотной модуляции также происходит некоторое стирание, но приборы, посредством которых мы читаем ленту, сравнительно нечувствительны к амплитуде и считывают только частоту. Пока лента не сотрется настолько, что станет совершенно неразборчива, частичное стирание ленты не искажает значительно сообщения, которое она хранит. Поэтому ленту можно [c.271] читать много раз почти с такой же точностью, как и при первом считывании. Как следует из самого понятия автокорреляции, нам понадобится механизм, задерживающий считывание ленты на регулируемый интервал времени. Если отрывок записи длительности А пропустить через прибор с двумя последовательными считывающими головками, то образуются два одинаковых, но сдвинутых во времени сигнала. Временной сдвиг зависит от расстояния между считывающими головками и от скорости подачи ленты, и его можно менять по нашему желанию. Мы можем обозначить один сигнал через f (t ), а другой — через f (t +τ), где τ — временной сдвиг. Произведение этих сигналов можно, например, получить при помощи квадратических детекторов и линейных смесителей, используя тождество 4ab = (a +b ) 2 —(a —b ) 2 (10.01) Это произведение можно приближенно усреднить на интегрирующей реостатно- емкостной цепи, имеющей большую постоянную времени сравнительно с длительностью А нашей выборки. Полученное среднее [c.272] пропорционально значение автокорреляционной функции при задержке τ. Повторение процесса при различных τ даст некоторый ряд значений автокорреляции (или, вернее, выборочной автокорреляции за большое время включения А ). На рис. 9 показан график одной реальной автокорреляции такого рода191. Заметим, что здесь показана лишь половина кривой, так как автокорреляция для отрицательных времен совпадает с автокорреляцией для положительных времен, по крайней мере, в случае, когда мы отыскиваем автокорреляцию действительной кривой. Рис. 9. Автокорреляция Заметим, что подобные автокорреляционные кривые применялись уже много лет в оптике и что прибором, с помощью которого их получали, был интерферометр Майкельсона (рис. 10). Интерферометр Майкельсона посредством системы зеркал и линз разделяет световой луч на две части, которые посылаются по путям разной длины и затем вновь соединяются в один луч. Различные длины путей вызывают различные задержки во [c.273] времени, и результирующий луч будет равен сумме двух отражений входящего луча, 190 Barlow J.S., Brown R.M. An Analog Correlator System for Brain Potentials: Technical Report 300, Research Laboratory of Electronics, M.I.T. — Cambridge, Mass., 1955. 191 Эта работа выполнена в сотрудничестве с лабораторией нейрофизиологии Главной Массачусетсской больницы и лабораторией биофизики связи Массачусетсского технологического института. которые можно опять обозначить через f (t ) и f (t +τ). Если измерить чувствительным фотометром силу луча, то его показание будет пропорционально квадрату суммы f (t )+ f (t +τ) и, следовательно, должно содержать член, пропорциональный автокорреляции. Другими словами, яркость интерференционных полос даст нам автокорреляцию (с точностью до линейного преобразования). Рис. 10. Интерферометр Майкельсона Все это неявно содержалось в работе Майкельсона. Нетрудно видеть, что при выполнении преобразования Фурье над интерференционными полосами интерферометр дает нам энергетический спектр света и тем самым по существу является спектрометром. Более того, это самый точный из известных нам типов спектрометров. Спектрометр такого типа получил должное признание лишь в последние годы. Мне говорили, что теперь он принят в качестве важного средства прецизионных измерений. Отсюда видно, что методы обработки автокорреляционных записей, которые я сейчас изложу, применимы также в спектроскопии и позволяют довести до предела ту информацию, которую может дать спектрометр. Рассмотрим, как получить спектр мозговой электрической волны по автокорреляции. Пусть C (t ) — автокорреляция функции f (t ). Тогда C (t ) можно записать в виде (10.02) Здесь F всегда является возрастающей или по меньшей мере неубывающей функцией от ω; мы будем называть ее интегральным спектром функции f . Вообще говоря, этот интегральный спектр состоит из трех аддитивных частей. Линейчатая часть спектра возрастает лишь на счетном множестве точек. После ее исключения останется непрерывный спектр, равный, в свою очередь, сумме двух частей: одна из них возрастает только на множестве меры нуль, а другая абсолютно непрерывна и является интегралом положительной интегрируемой функции. Будем впредь полагать, что первые две части спектра: дискретная часть и непрерывная часть, возрастающая [c.274] на множестве меры нуль, — отсутствуют. В этом случае можно написать (10.03) где φ (ω) — спектральная плотность. Если φ (ω) принадлежит к классу Лебега L 2 , то можно написать (10.04) Как видно по автокорреляционной кривой мозговых волн, преобладающая часть мощности спектра сосредоточена в окрестности частоты 10 гц. В таком случае φ (ω) будет иметь форму, подобную следующей диаграмме: Два пика около 10 и —10 суть зеркальные изображения друг друга. Известны различные способы численного выполнения разложения Фурье, включая применение интегрирующих приборов и цифровые вычислительные процессы. В обоих случаях неудобством является то, что главные пики расположены около 10 и —10, а не около 0. Но существуют способы переноса гармонического анализа в окрестность нулевой частоты, которые весьма сокращают объем работы. Заметим, что (10.05) Другими словами, если умножить С (t ) на е 20π it , то новый гармонический анализ даст нам полосу вблизи нулевой частоты и другую полосу вблизи частоты +20. Таким образом, если произвести такое умножение и исключить полосу вблизи +20 методами усреднения, равносильными применению волнового фильтра, то мы сведем наш гармонический анализ к гармоническому анализу в окрестности нулевой частоты. [c.275] Но (10.06) Следовательно, действительная и мнимая части функции С (t )е 20πit равны соответственно С (t ) cos 20πt и iС (t ) sin 20πt . Частоты в окрестности +20 можно исключить, пропустив эти две функции через фильтр нижних частот, что равносильно усреднению по интервалу в одну двадцатую секунды или более. Пусть мы анализируем кривую, у которой бо́льшая часть мощности сосредоточена вблизи частоты 10 гц . Умножив эту кривую на косинус или синус от 20πt , получим кривую, являющуюся суммой двух составляющих: одна из них ведет себя локально примерно так: а другая — примерно так: Усреднив вторую кривую по интервалу в 0,1 сек, получим нуль. Усреднив первую кривую, получим половину максимальной высоты. Таким образом, сглаживая С (t ) cos 20πt и iС (t ) sin 20πt , мы получим хорошие приближения соответственно к действительной и мнимой части некоторой функции, имеющей все свои частоты в окрестности нуля, и эта функция будет обладать таким же распределением частоты вокруг нуля, какое одна часть спектра кривой C (t ) имела вокруг 10. Обозначим теперь через K 1 (t ) результат сглаживания произведения С (t ) cos 20πt , а через K 2 (t ) — результат сглаживания произведения С (t ) sin 20πt . Мы хотим найти [c.276] (10.07) Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно (10.08) Другими словами, если найти косинус-преобразование от K 1 и синус-преобразование от K 2 и сложить их друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f . Можно показать, что K 1 будет четной, a K 2 — нечетной функцией. Стало быть, если определить косинус-преобразование от K 1 и прибавить или вычесть синус-преобразование от K 2 , мы получим спектр соответственно справа и слева от центральной частоты на расстоянии ω. Этот метод получения спектра мы будет называть методом гетеродинирования. Коль скоро автокорреляционные кривые локально представляют собой почти синусоиду с периодом, скажем, 0,1 сек (как в случае автокорреляции мозговых волн на рис. 9), то вычисления, связанные с методом гетеродинирования, можно упростить. Мы берем нашу автокорреляцию через интервалы в 1/40 сек. Затем берем последовательность значений при 0, 1/20, 2/20, 3/20 сек и т. д. и меняем знак на дробях с нечетным числителем. Усредняя по очереди эти значения по достаточно длинному отрезку, получим величину, приблизительно равную K 1 (t ). Взяв аналогично значения автокорреляции при 1/40, 3/40, 5/50 сек и т. д. с чередующимися знаками и проведя такое же усреднение, получим приближенную величину K 2 (t ). Дальнейшая процедура очевидна. Оправдание этой процедуры следующее. Распределение массы, равное 1 в точках 2πn , —1 в точках (2n +1)π и 0 во всех остальных точках, если его подвергнуть гармоническому анализу, будет [c.277] содержать косинусоидальную составляющую с частотой 1 и не будет иметь синусоидальной составляющей. Точно так же распределение массы, равное 1 при (2n +1/2)π, —1 при (2n —1/2)π и 0 во всех остальных точках, будет содержать синусоидальную составляющую с частотой 1 и не будет иметь косинусоидальной составляющей. Оба распределения будут содержать также составляющие с частотами N ; но поскольку исходная наша кривая не содержит или почти не содержит таких частот, эти члены будут незаметны. Это значительно упрощает наше гетеродинирование, так как нам нужно умножать лишь на множители +1 или —1. Мы нашли метод гетеродинирования очень полезным при гармоническом анализе мозговых волн, когда в распоряжении имеются лишь ручные средства и когда объем работы становится подавляющим, если выполнять все шаги гармонического анализа без помощи гетеродинирования. Все наши первые исследования по гармоническому анализу спектров мозга выполнены методом гетеродинирования. Но поскольку со временем появилась возможность применять цифровую вычислительную машину, для которой объем работы не столь существен, многие из последующих анализов были проведены прямыми методами, без гетеродинирования. Однако еще немало работы придется делать в местах, где нет цифровых вычислительных машин, и я не считаю метод гетеродинирования устаревшим в практическом отношении. Я привожу здесь куски одной автокорреляционной кривой, полученной при наших исследованиях. Ввиду того, что она охватывает большую серию данных, воспроизвести ее полностью затруднительно, и мы даем только се начало, в окрестности τ =0 и один из дальнейших кусков. Рис. 11 изображает результат гармонического анализа автокорреляционной кривой, часть которой показана на рис. 9. В данном случае результат был получен на быстродействующей цифровой вычислительной машине192, |