Колебания. Колебания и волны
![]()
|
Волновое уравнение Распространение волны в однородной изотропной среде описывается волновым уравнением вида ![]() или это уравнение перепишется в виде ![]() где ![]() ![]() Решением уравнения (3) является уравнение волны (2). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид ![]() Скорость упругих волн Распространение продольных волн в упругих средах, например в стержне, связано с тем, что в нем возникают продольное растяжение и сжатие. Механическое напряжение определяется законом Гука ![]() где Е – модуль Юнга для материала стержня, ![]() Таким образом, получается, что относительная деформация и напряжение в фиксированный момент времени зависят от x. Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем растяжения и сжатия чередуются друг с другом. Волновое уравнение продольной волны, распространяющейся в тонком стержне, имеет вид ![]() Сравнивая с уравнением (4), скорость продольных волн в стержне равна ![]() где ρ - плотность стержня. Можно показать, что скорость поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде равна ![]() где G - модуль сдвига среды. При продольных волнах в газах возникают сжатия и разряжения отдельных слоев, и скорость звуковой волны определяется выражениями ![]() где γ - адиабатная постоянная, Р – давление газа, ρ – плотность,R – газовая постоянная, μ – молярная масса газа. Энергия упругой волны Упругая среда, в которой распространяется механическая волна, обладает как кинетической энергией движения частиц среды, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Объемная плотность кинетической энергии определяется ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Объемная плотность потенциальной энергии упругодеформированного тела равна ![]() где ![]() ![]() ![]() Объемная плотность энергии упругой волнычисленно равна ![]() Плотности кинетической и потенциальной энергии одинаковы и изменяются синфазно, поэтому ![]() Для гармонической волны ![]() ![]() Среднее значение плотности энергии равно ![]() так как среднее значение квадрата синуса равно ![]() Поток энергии это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность S в единицу времени ![]() ![]() где ![]() ![]() Плотность потока энергии – это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии ![]() где ![]() Энергия, заключенная внутри некоторого цилиндра с основанием ![]() ![]() ![]() где w- плотность потока энергии, ![]() Тогда плотность потока энергии равна ![]() Фазовую скорость можно рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны ( и переноса энергии), то тогда плотность потока энергии можно представить как вектор ![]() этот вектор называется вектором плотности потока энергии ![]() Среднее по времени значение вектора Умова можно записать как ![]() но учитывая (5), получим ![]() Для монохроматической волны среднее значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны ![]() Групповая скорость Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении нескольких волн в линейной среде каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Строго монохроматическая волна – это идеализация. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ![]() ![]() ![]() В вакууме все монохроматические волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью ![]() где ![]() С такой же скоростью распространяется в вакууме и волновой пакет. В диспергирующей среде волновой пакет расплывается, так как скорость монохроматических волн, составляющих этот волновой пакет, для каждой волны отличаются друг от друга. Скорость, с которой перемещается «центр тяжести» волнового пакета, называется групповой скоростью и определяется выражением ![]() Пусть волновой пакет состоит из двух монохроматических волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в положительном направлении вдоль оси X. Уравнения этих волн имеют вид ![]() ![]() Суммарная волна образуется в результате их наложения ![]() это уравнение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой изменяется по закону ![]() При условии, что ![]() получим ![]() Найдем связь между групповой скоростью u и фазовой V, учитывая, что ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() Интерференция и дифракция волн Когерентность – это согласованное протекание волновых процессов. Две волны когерентны, если разность фаз остается постоянной во времени. Когерентными волнами могут быть волны, имеющие одинаковую частоту. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, в результате наложения колебания в одних точках усиливают друг друга, в других ослабляют. Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковой частотой. ![]() ![]() где А1 и А2 – амплитуда волн, ![]() ![]() ![]() ![]() Амплитуда результирующего колебания равна ![]() Для когерентных источников разность фаз ![]() Выражение ![]() В точках определяемых условием ![]() ![]() колебания усиливают друг друга, и наблюдается интерференционный максимум, m- порядок интерференционных максимумов. В точках, для которых ![]() ![]() колебания ослабляют друг друга, и в этой точке наблюдается интерференционный минимум. Условия (1) и (2) сводятся к тому, что ![]() Это выражение представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках О1 и О2. Геометрическое место точек, в которых колебания усиливают или ослабляют друг друга, представляют семейство гипербол, отвечающих условию ![]() Под дифракцией волн понимают отклонение от прямолинейного распространения колебаний. Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Объясняется дифракция волн принципом Гюйгенса. Согласно принцип Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит источником вторичных волн, огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Стоячие волны Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг друга с одинаковой частотой и одинаковой амплитудой. Уравнение двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, имеют вид ![]() ![]() Складывая эти два уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, результирующее выражение будет иметь вид ![]() учитывая, что волновое число равно ![]() ![]() где ![]() В точках, где ![]() амплитуда колебания достигает максимального значение равное ![]() ![]() В точках, в которых ![]() амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами. Координаты узлов имеют следующие значения ![]() Расстояние между соседними пучностями, также как и расстояние между соседними узлами, равно половине длины волны ![]() ![]() отсюда следует ![]() Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на ![]() Колебания струны В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Тогда следует, что на длине струны l должно укладываться целое число n полуволн ![]() или ![]() ![]() где ![]() ![]() Частоты ![]() ![]() ![]() |