Колебания. Колебания и волны
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
Волновое уравнение Распространение волны в однородной изотропной среде описывается волновым уравнением вида  (3)или это уравнение перепишется в виде  ,где  - фазовая скорость,  - оператор Лапласа.Решением уравнения (3) является уравнение волны (2). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид  . (4)Скорость упругих волн Распространение продольных волн в упругих средах, например в стержне, связано с тем, что в нем возникают продольное растяжение и сжатие. Механическое напряжение определяется законом Гука  ,где Е – модуль Юнга для материала стержня,  - относительная деформация. Таким образом, получается, что относительная деформация и напряжение в фиксированный момент времени зависят от x. Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем растяжения и сжатия чередуются друг с другом. Волновое уравнение продольной волны, распространяющейся в тонком стержне, имеет вид  .Сравнивая с уравнением (4), скорость продольных волн в стержне равна  ,где ρ - плотность стержня. Можно показать, что скорость поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде равна  ,где G - модуль сдвига среды. При продольных волнах в газах возникают сжатия и разряжения отдельных слоев, и скорость звуковой волны определяется выражениями  ,где γ - адиабатная постоянная, Р – давление газа, ρ – плотность,R – газовая постоянная, μ – молярная масса газа. Энергия упругой волны Упругая среда, в которой распространяется механическая волна, обладает как кинетической энергией движения частиц среды, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Объемная плотность кинетической энергии определяется  ,где  - кинетическая энергия всех частиц, находящихся в малом объеме  , ρ – плотность вещества,  – скорость колебаний частиц среды, которая является производной от смещения  . Объемная плотность потенциальной энергии упругодеформированного тела равна  ,где  -модуль Юнга, - фазовая скорость волны в среде,  - относительная деформация. Объемная плотность энергии упругой волнычисленно равна  .Плотности кинетической и потенциальной энергии одинаковы и изменяются синфазно, поэтому  .Для гармонической волны  плотность полной энергии равна  .Среднее значение плотности энергии равно  , (5)так как среднее значение квадрата синуса равно  .Поток энергии это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность S в единицу времени  , где  - энергия, переносимая через данную поверхность за время  .Плотность потока энергии – это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии  ,где  - площадь поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.Энергия, заключенная внутри некоторого цилиндра с основанием  и образующей длиной  , можно представить ,где w- плотность потока энергии, - скорость переноса энергии.Тогда плотность потока энергии равна  .Фазовую скорость можно рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны ( и переноса энергии), то тогда плотность потока энергии можно представить как вектор  ,этот вектор называется вектором плотности потока энергии или вектором Умова.Среднее по времени значение вектора Умова можно записать как  ,но учитывая (5), получим  .Для монохроматической волны среднее значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны  .Групповая скорость Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении нескольких волн в линейной среде каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Строго монохроматическая волна – это идеализация. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами  , в некотором интервале  . Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам ( ), называют волновым пакетомили группой волн.В вакууме все монохроматические волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью  ,где  - волновое число.С такой же скоростью распространяется в вакууме и волновой пакет. В диспергирующей среде волновой пакет расплывается, так как скорость монохроматических волн, составляющих этот волновой пакет, для каждой волны отличаются друг от друга. Скорость, с которой перемещается «центр тяжести» волнового пакета, называется групповой скоростью и определяется выражением  .Пусть волновой пакет состоит из двух монохроматических волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в положительном направлении вдоль оси X. Уравнения этих волн имеют вид  и  .Суммарная волна образуется в результате их наложения  ,это уравнение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой изменяется по закону  .При условии, что  ,получим  .Найдем связь между групповой скоростью u и фазовой V, учитывая, что  , и  будем иметь .Если  (для недиспергирующей среды), то фазовая и групповая скорости равны между собой.Интерференция и дифракция волн Когерентность – это согласованное протекание волновых процессов. Две волны когерентны, если разность фаз остается постоянной во времени. Когерентными волнами могут быть волны, имеющие одинаковую частоту. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, в результате наложения колебания в одних точках усиливают друг друга, в других ослабляют. Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковой частотой.  и  ,где А1 и А2 – амплитуда волн,  и  - фазы колебаний, k - волновое число,  и  - расстояние от источников до данной точки.Амплитуда результирующего колебания равна  .Для когерентных источников разность фаз  .Выражение  называют разностью хода волн.В точках определяемых условием  ,  (1)колебания усиливают друг друга, и наблюдается интерференционный максимум, m- порядок интерференционных максимумов. В точках, для которых  , (2)колебания ослабляют друг друга, и в этой точке наблюдается интерференционный минимум. Условия (1) и (2) сводятся к тому, что  .Это выражение представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках О1 и О2. Геометрическое место точек, в которых колебания усиливают или ослабляют друг друга, представляют семейство гипербол, отвечающих условию  .Под дифракцией волн понимают отклонение от прямолинейного распространения колебаний. Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Объясняется дифракция волн принципом Гюйгенса. Согласно принцип Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит источником вторичных волн, огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Стоячие волны Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг друга с одинаковой частотой и одинаковой амплитудой. Уравнение двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, имеют вид  .Складывая эти два уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, результирующее выражение будет иметь вид  ,учитывая, что волновое число равно , окончательно уравнение стоячей волныбудет выглядеть ,где  - амплитуда стоячей волны, зависящей от координаты x точки.В точках, где  , m=0,1,2,….амплитуда колебания достигает максимального значение равное  , эти точки называются пучностями стоячей волны, тогда координаты пучностей равны m=0,1,2,….В точках, в которых  , m=0,1,2,….амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами. Координаты узлов имеют следующие значения  m=0,1,2,….Расстояние между соседними пучностями, также как и расстояние между соседними узлами, равно половине длины волны  . Таким образом, расстояние между пучностями ,отсюда следует  Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на  .Колебания струны В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Тогда следует, что на длине струны l должно укладываться целое число n полуволн  или  , n=1,2,3,…. , (1)где  - фазовая скорость, F – сила натяжения струны,  - линейная плотность, т.е. масса единицы его длины.Частоты  называют собственными частотами струны. Частоту  (n=1) называют основной частотой, остальные  - обертонами. Гармонические колебания с частотами (1) называют собственными колебаниями или гармониками. Колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр). |