Компьютерные исследования и моделирование 2013 Т. 5 4 С. 623634 моделив
 Скачать 5.2 Mb.
|
|
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2013 Т. 5 № 4 С. 623–634 МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ И ТЕХНОЛОГИИ УДК: 532:536.2 Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании нестационарных режимов сопряженной естественной конвекции в пористой цилиндрической области Т. А. Трифонова 1,a , М. А. Шеремет 1,2,б 1 Томский государственный университет Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 36 2 Томский политехнический университет, Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30 E-mail: а tanneka@mail.ru, б Michael-sher@yandex.ru Получено 4 мая 2013 г., после доработки 6 октября 2013 г. Проведен сравнительный анализ двух моделей пористой среды (Дарси и Бринкмана) на примере математического моделирования нестационарных режимов термогравитационной конвекции в пористой вертикальной цилиндрической полости с теплопроводной оболочкой конечной толщины в условиях кон- вективного охлаждения со стороны окружающей среды. Краевая задача математической физики, сфор- мулированная в безразмерных переменных «функция тока — завихренность — температура», реализова- на численно неявным методом конечных разностей. Представлены результаты тестовых расчетов и влияния сеточных параметров, отражающие правомерность применения предлагаемого численного подхода. Установлены особенности класса сопряженных задач при использовании рассматриваемых мо- делей пористой среды. Ключевые слова: сопряженный теплоперенос, термогравитационная конвекция, приближения Дар- си–Буссинеска и Бринкмана–Буссинеска, пористая вертикальная цилиндрическая полость, нестационар- ный режим, численное моделирование Comparative analysis of Darcy and Brinkman models at studying of tran- sient conjugate natural convection in a porous cylindrical cavity T. A. Trifonova 1 , M. A. Sheremet 1,2 1 Tomsk State University, 36 Lenin Prospekt, Tomsk, 634050, Russia 2 Tomsk Polytechnic University, 30 Lenin Prospekt, Tomsk, 634050, Russia Abstract. — Comparative analysis of two models of porous medium (Dacry and Brinkman) on an example of ma- thematical simulation of transient natural convection in a porous vertical cylindrical cavity with heat-conducting shell of finite thickness in conditions of convective cooling from an environment has been carried out. The boun- dary-value problem of mathematical physics formulated in dimensionless variables such as stream function, vortici- ty and temperature has been solved by implicit finite difference method. The presented verification results validate used numerical approach and also confirm that the solution is not dependent on the mesh size. Features of the con- jugate heat transfer problems with considered models of porous medium have been determined. Keywords: conjugate heat transfer, natural convection, Darcy–Boussinesq and Brinkman–Boussinesq approxi- mations, porous vertical cylindrical cavity, transient regime, numerical simulation. Citation: Computer Research and Modeling, 2013, vol. 5, no. 4, pp.623–634 (Russian). © 2013 Татьяна Андреевна Трифонова, Михаил Александрович Шеремет Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 624 Введение При математическом исследовании процессов тепломассопереноса в изотропных порис- тых средах [Bejan, 2004; Nield, Bejan, 2006; Маскет, 2004; Шейдеггер, 2008] применяют различ- ные модели, основанные на базовых законах переноса массы, импульса и энергии в пористом материале. В большинстве работ [Alhashash, Saleh, Hashim, 2013; Bejan, 2004; Misirlioglu, Baytas, Pop, 2006; Nield, Bejan, 2006; Saleh, Hashim, 2012; Маскет, 2004; Шейдеггер, 2008] в ка- честве такого закона рассматривают закон Дарси , p V K (1) где p — давление; — коэффициент динамической вязкости; K — проницаемость пористой среды; V — вектор скорости жидкости. В модели Дарси (1) влияние инерционных эффектов на режимы течения и теплоперенос в пористой среде считается пренебрежимо малым. Однако известно, что в случае интенсивного течения или при наличии высокопористого материала наблюдаются отклонения от линейного закона фильтрации вследствие существенного влияния инерционных эффектов, которые, в ча- стности, приводят к отрыву потока от поверхности твердого скелета. Теоретически [Bear, 1972; Bejan, 2004; Nield, Bejan, 2006; Маскет, 2004] было установлено, что применимость модели Дарси (1) ограничивается малыми значениями модифицированного числа Рейнольдса: Re 1 u K , где ν — коэффициент кинематической вязкости. Диапазон 1 Re 10 соот- ветствует формированию и развитию переходных режимов, где еще можно использовать при- ближение Дарси с определенной точностью, при Re 10 инерционные эффекты нельзя не учи- тывать. В случае свободноконвективного переноса энергии модифицированное число Рей- нольдса принимает вид Ra Da Pr . Следовательно, инерционные эффекты в случае естественной конвекции существенно проявляются при Ra Da 100 Pr . Необходимо отметить, что данное неравенство получено исходя из анализа несопряженных режимов переноса энер- гии. В настоящее время в качестве законов фильтрации для анализа процессов переноса при Ra Da 100 Pr используют модель Форхгеймера [Bear, 1972; Bejan, 2004; Forchheimer, 1901; Nield, Bejan, 2006], которая в случае изотропной среды принимает вид , F f c p V V V K K (2) где F c — параметр Форхгеймера; f — плотность жидкости; и модель Бринкмана [Bear, 1972; Bejan, 2004; Brinkman, 1949 a; Brinkman, 1949b; Nield, Bejan, 2006], которая для изотропной среды используется в форме 2 , p V V K (3) где — коэффициент эффективной вязкости. В [Neale, Nader, 1974] предложено в качестве коэффициента эффективной вязкости рас- сматривать коэффициент динамической вязкости жидкости , что согласуется с эксперимен- тальными данными. Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании… ______________________________________ 2013 Т. 5, № 4, С. 623–634 ______________________________________ 625 Целью настоящей работы является сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана на примере свободноконвективного теплопереноса в пористом вертикальном цилиндре с тепло- проводными стенками конечной толщины при наличии внешних граничных условий III рода, а также оценка применимости отмеченного выше ограничения модели Дарси для класса сопря- женных задач термогравитационной конвекции. Необходимо отметить, что подробное исследо- вание нестационарных режимов естественной конвекции в предложенном объекте ранее было проведено с применением модели Дарси [Трифонова, Шеремет, 2013]. В предлагаемом иссле- довании анализ будет проводиться с использованием модели Бринкмана, а полученные резуль- таты будут сопоставляться с данными [Трифонова, Шеремет, 2013]. Математическая модель Рассматривается краевая задача термогравитационной конвекции в пористом вертикаль- ном цилиндре с теплопроводными стенками конечной толщины (рис. 1). Предполагается, что граница z = 0 является адиабатической, а на остальных внешних границах моделируется кон- вективный теплообмен с окружающей средой. Температура внешней среды T e меньше началь- ной температуры анализируемого объекта T 0 . Все условия, при которых проводится численный анализ, аналогичны используемым в [Трифонова, Шеремет, 2013] за исключением того, что жидкость, насыщающая пористую среду, удовлетворяет приближению Бринкмана–Буссинеска. Необходимо отметить, что появление модели Бринкмана требует формулировки дополнитель- ных граничных условий прилипания для вектора скорости на внутренних границах раздела сред для замыкания краевой задачи. Отсутствие таких условий в модели Дарси связано с неуче- том влияния импульса. Поэтому в модели Дарси окончательный порядок соотношения баланса сил или уравнения движения оказывается на единицу меньше, чем соответствующий порядок уравнений Навье–Стокса или уравнений модели Бринкмана, что отражается в количестве за- мыкающих соотношений. Рис. 1. Область решения задачи: 1 — твердая оболочка, 2 — пористая среда Процесс переноса массы, импульса и энергии описывается системой нестационарных дву- мерных уравнений Бринкмана–Буссинеска в пористой среде [Алешкова, Шеремет, 2010] и пло- ским нестационарным уравнением теплопроводности в твердой ограждающей оболочке в ци- линдрических координатах: 0, r z rV rV r z (4) 2 2 1 , r r r r r r z r V V V V V p V V V t r z r r K (5) 2 0 1 , z z z z r z z V V V V p V V V g T T t r z z K (6) Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 626 2 2 , r z T T T V V a T t r z (7) 2 1 , T a T t (8) где r, z — координаты цилиндрической системы координат; V r и V z — составляющие вектора скорости в проекции на оси r, z соответственно; — плотность; g — ускорение свободного па- дения; — термический коэффициент объемного расширения; T — температура; T 0 — началь- ная температура области решения; t — время; — относительная эффективная объемная теп- лоемкость пористой среды; а 1 — коэффициент температуропроводности материала ограждаю- щей твердой оболочки; а 2 — коэффициент температуропроводности пористой среды. Вследствие отсутствия уравнения для давления в сформулированной системе (4)–(8) при ее решении возникают трудности с определением поля давления, согласованного с полем ско- рости. С целью преодоления указанных выше особенностей решения уравнений тепломассопе- реноса в естественных переменных «скорость — давления» наиболее целесообразным пред- ставляется преобразование сформулированной системы уравнений математической физики к виду, исключающему непосредственный поиск поля давления. Для этого вводятся в рассмот- рение функция тока ψ: 1 r V r z , 1 z V r r и завихренность скорости z r V V r z Сформулируем математическую модель в безразмерных переменных «функция тока — за- вихренность — температура». В качестве масштабов расстояния, скорости, времени, темпера- туры, функции тока и завихренности были выбраны L = H, e 0 g T T L , e 0 L g T T , e 0 T T , e 5 0 g T T L , e 0 g T T L . Безразмерные переменные имели вид e e 0 0 e e e e 5 e 0 0 0 0 , , , , , , , , r z R r L Z z L U V g T T L V V g T T L t g T T L T T T T g T T L L g T T где L — размер пористой полости (рис. 1); R, Z — безразмерные координаты, соответствующие координатам r, z; U, V — безразмерные скорости, соответствующие скоростям V r , V z ; — без- размерное время; — безразмерная температура; — безразмерный аналог функции тока; Ω — безразмерный аналог завихренности скорости. Безразмерные уравнения Бринкмана–Буссинеска примут вид [Алешкова, Шеремет, 2010]: в пористой полости (2 на рис. 1) 2 2 2 2 1 , R R R R Z (9) 2 2 2 Pr 1 , Ra Da U V R R Z R R R Z R R (10) 2 2 1 1 , Ra Pr U V R R Z R R R Z (11) в твердой оболочке цилиндра (1 на рис. 1) 2 1,2 2 1 Ra Pr a R R R R Z (12) Здесь e 3 0 2 Ra g T T L a — число Рэлея; 2 Pr a — число Прандтля; 2 Da K L — число Дарси, 1,2 1 2 a a a — относительный коэффициент температуропроводности. Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании… ______________________________________ 2013 Т. 5, № 4, С. 623–634 ______________________________________ 627 Сформулированная система уравнений (9)–(12) не содержит поле давления, что при чис- ленном решении позволяет существенно сократить время вычислений. При необходимости ре- шения динамической задачи можно воспользоваться уравнением Пуассона для давления [Роуч, 1980]. Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (9)–(12) имеют вид: начальные условия: , ,0 0, , ,0 0, , ,0 1; R Z R Z R Z на границе Z = 0 моделировалось условие теплоизоляции 0 Z ; на границах R = 1+h/L и Z = 1+2h/L были реализованы условия конвективного теплооб- мена с окружающей средой Bi n ; на оси симметрии R = 0: 0 R ; на внутренней границе R = 1: 2 1 2 1 2 1,2 2 0, , , R R R R ; на внутренних границах Z = h/L и Z = 1+h/L: 2 1 2 1 2 1,2 2 0, , , Z Z Z Z Здесь 1 Bi L — число Био; — коэффициент теплообмена между внешней средой и рассматриваемой областью решения; 1,2 1 2 — относительный коэффициент теплопро- водности; 1 — коэффициент теплопроводности материала твердой оболочки; 2 — эффек- тивный коэффициент теплопроводности пористой среды. Сформулированная краевая задача (9)–(12) с соответствующими начальными и граничны- ми условиями решена методом конечных разностей [Aleshkova, Sheremet, 2010; Sheremet, 2010; Алешкова, Шеремет, 2010; Роуч, 1980; Трифонова, Шеремет, 2013] на равномерной сетке. Ал- горитм решения подробно описан в [Aleshkova, Sheremet, 2010; Sheremet, 2010; Алешкова, Ше- ремет, 2010; Трифонова, Шеремет, 2013]. Разработанный метод решения был протестирован на серии сопряженных и несопряжен- ных задач термогравитационной конвекции в пористых полостях [Aleshkova, Sheremet, 2010; Sheremet, 2010; Алешкова, Шеремет, 2010; Трифонова, Шеремет, 2013]. Для верификации мо- дели Бринкмана–Буссинеска была рассмотрена задача естественной конвекции в замкнутой квадратной пористой полости с изотермическими стенками [Basak et al., 2006]. На рисунках 2–4 показано сравнение изолиний функции тока и температуры при Ra = 10 6 и различных значениях числа Дарси с численными результатами [Basak et al., 2006]. Представленные распределения наглядно показывают, что применяемая математическая модель и используемый численный алгоритм решения приводят к достаточно хорошему согла- сованию с результатами других авторов. Разработанный метод решения сопряженной задачи термогравитационной конвекции так- же был протестирован на множестве сеток. На рисунке 5 представлены профили температуры и скорости в сечении R = 0.5 при τ = 200, Ra = 10 6 , Pr = 0.7, Bi = 1.0, Da = 10 –3 , 1,2 = 10.0, h/L = 0.1, отражающие влияние размерности разностной сетки при использовании модели Бринкмана–Буссинеска. На рисунке указаны размерности сетки в пористой полости, по толщине твердой стенки выбиралось по 10 % узлов от соответствующего направления внутренней сетки. Исходя из со- ображений оптимизации точности вычислений и времени расчета, для дальнейшего анализа была выбрана разностная сетка размерности 100 100. Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 628 (а) (б) Рис. 2. Изолинии функции тока и температуры при Pr = 0.7, Ra = 10 6 , Da = 10 –5 : данные [Basak et al., 2006] (а), полученные результаты (б) (а) (б) Рис. 3. Изолинии функции тока и температуры при Pr = 0.7, Ra = 10 6 , Da = 10 –4 : данные [Basak et al., 2006] (а), полученные результаты (б) (а) (б) Рис. 4. Изолинии функции тока и температуры при Pr = 0.7, Ra = 10 6 , Da = 10 –3 : данные [Basak et al., 2006] (а), полученные результаты (б) Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании… ______________________________________ 2013 Т. 5, № 4, С. 623–634 ______________________________________ 629 (а) (б) Рис. 5. Профили температуры Θ (а) и горизонтальной компоненты скорости U (б) в сечении R = 0.5 в за- висимости от размерности внутренней сетки Результаты численного моделирования Численные исследования проведены при следующих значениях определяющих парамет- ров: Ra = 10 6 , Pr = 0.7, Bi = 1.0, 10 –5 Da 10 –3 , 0.1 h/L 0.3, а 1,2 = 0.6, = 1, 1 1,2 20, 0 1000. При этом Ra Da 14.3 1428.6 Pr (а) (б) (в) Рис. 6. Изолинии функции тока и температуры при h/L = 0.1, = 200, 1,2 = 10: Da = 10 –5 (а), Da = 10 –4 (б), Da = 10 –3 (в)(–––– модель Дарси–Буссинеска, ------ модель Бринкмана–Буссинеска) На рисунке 6 представлены распределения изолиний функции тока и температуры для h/L = 0.1, = 200, 1,2 = 10 при различных значениях числа Дарси. Сплошные линии соответст- вуют модели Дарси–Буссинеска, а штриховые — модели Бринкмана–Буссинеска. При Da = 10 –5 и Da = 10 –4 распределения локальных параметров для этих моделей незначительно отличаются друг от друга, что объясняется малыми скоростями движения среды и выполнением закона Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 630 линейной фильтрации. В случае Da = 10 –3 (рис. 6в), что соответствует Ra Da 1428.6 Pr , наблю- даются значительные отклонения в распределениях как линий тока, так и изотерм. Необходимо отметить, что модель Дарси дает завышенные значения скоростей движения среды, судя по ве- личинам функции тока, а также прогнозирует более интенсивное охлаждение цилиндрической полости в отличие от приближения Бринкмана–Буссинеска. Сопряженная постановка задачи проявляется в распределении температуры внутри твердых стенок — боковая оболочка и верх- нее основание полости остывают быстрее при использовании модели Бринкмана–Буссинеска (рис. 6в и 7а). Такой эффект, по всей видимости, связан с увеличением поверхности контакта между жидкостью и твердыми стенками оболочки цилиндра в совокупности с инерционными эффектами и дополнительной вязкостью (3). Более детальное сравнение профилей температуры и горизонтальной компоненты скоро- сти в сечении R = 0.5 показано на рисунке 7. Представленные распределения подтверждают от- меченные выше эффекты. Как известно [Bejan, 2004; Nield, Bejan, 2006], максимум скорости при использовании модели Дарси достигается вблизи поверхности твердых стенок, что обусловлено отсутствием в модели условий прилипания (рис. 7,б). При малых значениях числа Дарси анало- гичные распределения устанавливаются и в случае модели Бринкмана (рис. 7б). В свою очередь рост проницаемости пористой среды отражается на формировании плавных профилей горизон- тальной компоненты скорости около границ верхнего и нижнего оснований в приближении Бринкмана–Буссинеска вследствие наличия диффузионного слагаемого в этой модели. Физиче- ски увеличение поверхности контакта между фазами при высоких числах Рэлея приводит к фор- мированию пограничных слоев вблизи обтекаемых поверхностей в пористых средах, что отража- ется на качественном совпадении формы скоростных профилей со случаем течения вязкой жид- кости в чистой полости [Трифонова, Шеремет, 2013]. Рис. 7. Профили температуры Θ (а) и горизонтальной компоненты скорости U (б) в сечении R = 0.5 при h/L = 0.1, = 200, 1,2 = 10 и различных значениях Da На рисунке 8 продемонстрированы зависимости среднего числа Нуссельта на границе раз- дела нижнего основания и пористой полости, средней температуры внутри полости и макси- мального абсолютного значения функции тока от времени, проницаемости пористой полости и применяемой модели фильтрации. Как отмечалось выше, при Da = 10 –3 наблюдаются значи- тельные расхождения максимальных значений avg Nu и max между моделями фильтрации: модель Дарси модель Бринкмана avg avg 142 142 max Nu 2.038 max Nu 1.625 , (а) (б) Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании… ______________________________________ 2013 Т. 5, № 4, С. 623–634 ______________________________________ 631 модель Дарси модель Бринкмана max 88 max 103 max 0.0106 max 0.0089 При этом значения средней температуры внутри полости незначительно отличаются при ис- пользовании различных моделей пористой среды. Качественно изменения интегральных пара- метров в случае применения модели Бринкмана–Буссинеска аналогичны результатам модели Дарси–Буссинеска, которые подробно были проанализированы в [Трифонова, Шеремет, 2013]. (а) (б) (в) Рис. 8. Зависимости среднего числа Нуссельта на границе Z = h/L (а), средней температуры в пористой полости (б) и максимального абсолютного значения функции тока (в) от времени, проницаемости и мо- дели пористой среды при h/L = 0.1, 1,2 = 10 Влияние относительного коэффициента теплопроводности при Da = 10 –3 , h/L = 0.1, = 200 на локальные и интегральные параметры задачи представлено на рисунках 9, 10. (а) (б) Рис. 9. Изолинии функции тока и температуры при Da = 10 –3 , h/L = 0.1, = 200: 1,2 = 1 (а), 1,2 = 20 (б) (–––– модель Дарси–Буссинеска, ------ модель Бринкмана–Буссинеска) При малых значениях относительного коэффициента теплопроводности 1,2 ≈ 1 отклоне- ния результатов моделей Дарси–Буссинеска и Бринкмана–Буссинеска незначительные как по распределениям локальных параметров (рис. 9а), так и по значениям интегральных комплексов (рис. 10). При увеличении 1,2 > 10 (рис. 9б) влияние инерционных эффектов усиливается, что, например, отражается в существенном снижении avg Nu и max (рис. 10). Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 632 Необходимо отметить, что при Da < 10 –3 изменение 1,2 не приводит к существенной моди- фикации структуры изолиний функции тока и температуры. (а) (б) Рис. 10. Зависимости среднего числа Нуссельта на границе Z = h/L (а) и максимального абсолютного зна- чения функции тока (б) от τ, 1,2 и модели пористой среды при Da = 10 –3 , h/L = 0.1 Влияние толщины ограждающей твердой оболочки на изменение среднего числа Нуссель- та на границе Z = h/L и максимального абсолютного значения функции тока представлено на рис. 11. Необходимо отметить, что увеличение толщины ограждающих стенок проявляется в повышении относительного расхождения между используемыми моделями пористой среды. (а) (б) Рис. 11. Зависимости среднего числа Нуссельта на границе Z = h/L (а) и максимального абсолютного зна- чения функции тока (б) от времени, относительной толщины твердой оболочки и модели пористой среды при Da = 10 –3 , 1,2 = 10 Заключение В результате проведенных исследований установлено, что при Da > 10 –4 и соответствую- щих величинах h/L и 1,2 приближение Дарси–Буссинеска прогнозирует завышенные значения скорости движения жидкости, а также более интенсивное охлаждение анализируемого объекта. Относительное отклонение интегральных параметров между рассматриваемыми законами Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана при исследовании… ______________________________________ 2013 Т. 5, № 4, С. 623–634 ______________________________________ 633 фильтрации достигает 20 % при h/L = 0.1, 1,2 = 10. Показано, что при малых значениях относи- тельного коэффициента теплопроводности возможно применение приближения Дарси– Буссинеска. Увеличение относительной толщины ограждающей оболочки цилиндра и 1,2 про- является в более существенных количественных расхождениях между результатами, получен- ными на основе моделей Дарси–Буссинеска и Бринкмана–Буссинеска. Следует отметить, что оценочное соотношение, ограничивающее применение закона Дарси диапазоном Ra Da 100 Pr , выведенное для случая несопряженных режимов переноса энергии, нельзя автоматически пере- носить на класс сопряженных задач вследствие существенного влияния теплофизических ха- рактеристик материала твердых стенок и их толщины. В частности, даже при Ra Da 1428.6 Pr и 1,2 = 1 возможно использование закона Дарси. Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для мо- лодых российских ученых (грант МК-5652.2012.8). Список литературы Алешкова И. А., Шеремет М. А. Математическое моделирование сопряженной термогравита- ционной конвекции в пористой среде // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — Вып. 2. — С. 49–56. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М.: Институт компьютерных исследований, 2004. — 628 с. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с. Трифонова Т. А., Шеремет М. А. Численные исследования нестационарных режимов сопря- женной естественной конвекции в пористой цилиндрической области (модель Дарси– Буссинеска) // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 2. — С. 179–191. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. — М.: Институт компью- терных исследований, 2008. — 254 с. Aleshkova I. A., Sheremet M. A. Unsteady conjugate natural convection in a square enclosure filled with a porous medium // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2010. — Vol. 53. — P. 5308–5320. Alhashash A., Saleh H., Hashim I. Effect of conduction in bottom wall on Benard convection in a por- ous enclosure with localized heating and lateral cooling // Transport in Porous Media. — 2013. — Vol. 96. — P. 305–318. Basak T., Roy S., Paul T., Pop I. Natural convection in a square cavity filled with a porous medium: Effects of various thermal boundary conditions // International Journal of Heat and Mass Trans- fer. — 2006. — Vol. 49. — P. 1430–1441. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. — Amsterdam: Elsevier, 1972. — 764 p. Bejan A. Convection heat transfer. — New Jersey: John Wiley & Sons, 2004. — 694 p. Brinkman H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of par- ticles // Applied Scientific Research. — 1949a. — Vol. 1. — P. 27–34. Brinkman H. C. On the permeability of media consisting of closely packed porous particles // Applied Scientific Research. — 1949b. — Vol. 1. — P. 81–86. Forchheimer P. Wasserbewegung durch Boden // Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure. — 1901. — Vol. 45. — P. 1736–1741. Misirlioglu A., Baytas A. C., Pop I. Natural convection inside an inclined wavy enclosure filled with a porous medium // Transport in Porous Media. — 2006. — Vol. 64. — P. 229–246. Neale G., Nader W. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's law: coupled parallel flows within a channel and a bounding porous medium // Canadian Journal of Chemical Engi- neering. — 1974. — Vol. 52. — P. 475–478. Т.А. Трифонова, М.А. Шеремет ____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________ 634 Nield D. A., Bejan A. Convection in porous media. — New York: Springer, 2006. — 640 p. Saleh H., Hashim I. Conjugate natural convection in a porous enclosure with non-uniform heat genera- tion // Transport in Porous Media. — 2012. — Vol. 94. — P. 759–774. Sheremet M. A. The influence of cross effects on the characteristics of heat and mass transfer in the conditions of conjugate natural convection // Journal of Engineering Thermophysics. — 2010. — Vol. 19. — P. 119–127. |