компланарные векторы. Компланарные векторы Л. С. Атанасян "Геометрия 1011"
 Скачать 360.96 Kb.
|
|
Компланарные векторы Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ1, ОD и ОЕ компланарными? В B1 Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? B C A1 B1 C1 D1 Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными? Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1. Вектор D1В не лежит в этой плоскости. Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны. A D A B C A1 B1 C1 D1 D Являются ли векторы AD и D1B компланарными? Любые два вектора компланарны. №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1 АА1, СС1, ВВ1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1 АВ, АD, АА1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1 В1В, АС, DD1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1 АD, CC1, А1B1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. АD, CC1, А1B1 Векторы не компланарны Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В1 А1 А С ОВ1 = у ОВ ОА1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c c a Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение. Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + АD = АС А В D C П О В Т О Р И М Сложение векторов. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М A В С В1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P1 A P P2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р ОР2 = x OA Р2Р1= у OВ Р1Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x1a + y1b + z1c p = xa + yb + zc – o = (x – x1)a + (y – y1)b + (z – z1)c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. D В A С B1 C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА1 A1 = AC1 В A С C1 D1 D №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD1 A1 = DB1 B1 В A С C1 D1 D №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 = DB1 B1 A1B1 + C1B1 + BB1 DC + DD1 + DA В A С C1 D1 D №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 = A1C B1 A1A + A1D1 + AB + A1B1 A1A + A1D1 В A С C1 D1 D №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 = BD1 B1 B1A1 + BB1 + BC BA + BB1 + BC В A С C1 D1 D №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1. A1 B1 ВD1 = BA + BC + BB1 По правилу параллелепипеда В A С C1 D1 D №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1. A1 B1 В1D1 = B1A1+ А1D1 По правилу треугольника из А1В1D1: из А1В1B = (В1B + BA1)+ А1D1 = = (A1A – A1B)+ А1D1 = = = A1A – A1B+ А1D1 |