Золотых_комплексные_числа. Комплексные числа
 Скачать 392.91 Kb.
|
|
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА O Re Im b 1 b 1 2 + √ 3 2 i b − 1 2 + √ 3 2 i b −1 b − 1 2 − √ 3 2 i b 1 2 − √ 3 2 i ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» Н.Ю. Золотых КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие 3-е издание Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика», 010502 «Прикладная информатика», 010400 «Информационные технологии» Нижний Новгород 2007 ББК 22.151.5 З80 УДК 512.647.2 Золотых Н.Ю. Комплексные числа: Учебное пособие. 3-е издание. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского государственного уни- верситета, 2007. — 56 с. Пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры решения задач и упражнения по теме «Комплексные числа». Часть мате- риала предназначена для самостоятельной работы студентов. Для студентов, обучающихся по направлениям (специальностям) «При- кладная математика и информатика», «Прикладная информатика», «Ин- формационные технологии» Рецензент: А.И. Гавриков, к.ф.-м.н., доц. каф. ЧиФА УДК 512.647.2 c Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 2007 В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (G. Cardano) в книге «Великое искусство, или об алгебраических правилах» («Artis magnae, sive de Regvlis algebraicis») для системы уравнений Число 10 разделить на две такие части, произведение которых равно 40. x + y = 10, xy = 40. привел два корня 5 + √ −15, 5 − √ −15. Никакой практической ценности в таком «мнимом» решении Кардано не увидел. Скорее, этот пример был приведен как некий курьез. Интересно отметить, что в том же сочинении была впервые опубликована найденная С. Ферро и Н. Тарталья (S. Ferro, N. Tartaglia) формула для решения кубического уравнения x 3 + px + q = 0. (1) Его корни предлагалось находить по формуле x = 3 √ u + 3 √ v, (2) где u, v есть решения системы u + v = −q, uv = − p 3 27 (3) В некоторых случаях, несмотря на то, что уравнение ( 1 ) заведомо имело корни, система ( 3 ) действительных решений не имела и формула ( 2 ) счи- талась бесполезной. Другой итальянец Р. Бомбелли (R. Bombelli) в своем труде «Алгебра» (1572) показал, что действительные корни уравнения ( 1 ) в таких случаях выражаются через радикалы от «мнимых» величин, он разработал простейшие правила действия с ними и подошел, таким образом, к созданию теории комплекных чисел. 3 1. Понятие комплексного числа На протяжении всего изложения мы используем следующие стандарт- ные обозначения числовых множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество вещественных (действительных) чисел. Комплексным числом называется упорядоченная пара 1 действитель- ных чисел (a, b). Два комплексных числа (a, b) и (c, d) равны тогда и только тогда, когда a = c, b = d. На множестве всех комплексных чисел C определены операции сложения и умножения по правилам 2 : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). (4) Эти операции обладают следующими свойствами: • ассоциативность: (a, b) + (c, d) + (e, f ) = (a, b) + (c, d) + (e, f ), (a, b) · (c, d) · (e, f) = (a, b) · (c, d) · (e, f); • коммутативность: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b), (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b); • дистрибутивность: (a, b) · (c, d) + (e, f) = (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f). Докажем, например, дистрибутивность. Пользуясь правилами ( 4 ) сложе- ния и умножения комплексных чисел, а также законами (ассоциатив- ность, коммутативность, дистрибутивность), справедливыми для веще- ственных чисел, получаем: (a, b) · (c, d) + (e, f) = (a, b) · (c + e, d + f) = a · (c + e) − b · (d + f), a · (d + f) + b · (c + e) = (ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be); 1 Упорядоченная в том смысле, что задано, какое число в паре — первое, какое — второе. 2 Как и в случае вещественных чисел, знак умножения « ·» часто опускается. 4 с другой стороны, (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f ) = (ac − bd, ad + bc) + (ae − bf, af + be) = (ac − bd + ae − bf, ad + bc + af + be); левая и правая части совпали. Упражнение 1. Доказать ассоциативность и коммутативность операций сложения и умножения комплексных чисел. Нулем называется такое комплексное число (x, y), что для произволь- ного числа (a, b) выполняется равенство (a, b) + (x, y) = (a, b). Из определения получаем a + x = a, b + y = b, откуда x = 0, y = 0. Следовательно, нулем является пара (0, 0) (и только она). Числом противоположным к (a, b) называется такая пара (x, y), что (a, b) + (x, y) = (0, 0). Противоположное число обозначается −(a, b). Нетрудно видеть, что −(a, b) = (−a, −b). Разностью (или числом, полученным в результате вычитания) ком- плексных чисел (c, d) и (a, b) называется решение (x, y) уравнения (a, b) + (x, y) = (c, d). Разность обозначается (c, d) − (a, b) и, очевидно, равна (c − a, d − b). Легко видеть, что разность (c, d) − (a, b) есть сумма (c, d) и числа, про- тивоположного к (a, b), т. е. (c, d) − (a, b) = (c, d) + [ − (a, b)]. Единицей называется такое комплексное число (x, y), что для произ- вольного числа (a, b) выполняется равенство (a, b)(x, y) = (a, b). Из определения произведения получаем ax − by = a, bx + ay = b. В случае, если a 2 + b 2 6= 0, т. е. (a, b) 6= (0, 0), имеем единственное ре- шение предыдущей системы: x = 1, y = 0. Таким образом, (a, b)(1, 0) = 5 (a, b) для любого (a, b) в том числе, как нетрудно проверить, и для (a, b) = (0, 0). Следовательно, (1, 0) — единица. Числом обратным к (a, b) называется такая пара (x, y), что (a, b)(x, y) = (1, 0). Обратное число обозначается (a, b) −1 . Система ax − by = 1, bx + ay = 0 в случае, когда (a, b) 6= (0, 0), имеет единственное решение (a, b) −1 = a a 2 + b 2 , − b a 2 + b 2 ! , (5) а в случае (a, b) = (0, 0) — неразрешима. Частным от деления (или числом, полученным в результате деления) комплексных чисел (c, d) и (a, b) называется решение (x, y) уравнения (a, b)(x, y) = (c, d). Частное обозначается (c, d)/(a, b). Его мы можем получить из системы ax − by = c, bx + ay = d. (6) Домножая первое уравнение на a, второе — на b и складывая, получаем: (a 2 + b 2 )x = ac + bd, затем, домножая первое уравнение системы ( 6 ) на b, второе — на a и вычитая первое из второго, получаем: (a 2 +b 2 )y = ad−cb. В случае a 2 + b 2 6= 0 имеем: (c, d) (a, b) = ac + bd a 2 + b 2 , ad − cb a 2 + b 2 ! , (7) если же a 2 + b 2 = 0, то результат деления, как легко видеть из ( 6 ), не определен. Сравнивая ( 5 ) и ( 7 ), получаем, что частное (c, d)/(a, b) есть произведение (c, d) на величину, обратную к (a, b): (c, d)/(a, b) = (c, d) · (a, b) −1 6 Отождествим комплексные числа вида (a, 0) с действительными чис- лами. А именно, положим (a, 0) = a. Из правил сложения и умножения комплексных чисел следует, что (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) для любых a, b. Таким образом, результаты выполнения арифметических операций над числами такого вида не зависят от того, как эти результаты были получены: по правилам сложения и умножения комплексных чи- сел, рассмотренным в данном разделе, или по законам действительных чисел. Обозначим i = (0, 1). Число i называется мнимой единицей. Легко проверить, что (0, b) = (b, 0) · i = bi и, следовательно, (a, b) = a + bi. Запись a + bi называется алгебраической формой комплексного числа (a, b). Ее использование освобождает нас от заучивания правил арифме- тических операций ( 4 ): легко проверить, что i 2 = −1, поэтому работать с комплексными числами можно как с алгебраическими двучленами, за- висящими от символа i, с заменой, где необходимо, i 2 на −1. Например, для нахождения произведения (a+bi)(c+di) раскроем скобки и получим ac + adi + bci + bdi 2 , так как i 2 = −1, то (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad − bd)i. Для нахождения частного (c + di)/(a + bi) домножим числитель и знаме- натель дроби на число a−bi, называемое сопряженным к a+bi, получим: c + di a + bi = (c + di)(a − bi) (a + bi)(a − bi) = ac + bd + i(ad − bc) a 2 + b 2 = ac + bd a 2 + b 2 + ad − bc a 2 + b 2 i. Результат согласуется с ( 7 ). Пример 2. 1) (4+ i)(5+ 3i)+ (3+ i)(3−2i) = 20+12i+5i−3+9−6i+3i+2 = 28 + 14i; 2) (5 + i)(7 − 6i) 3 + i = 35 − 30i + 7i + 6 3 + i = 41 − 23i 3 + i = (41 − 23i)(3 − i) (3 + i)(3 − i) = 123 − 41i − 69i − 23 10 = 100 − 110i 10 = 10 − 11i. 7 Упражнение 3. Вычислить 1) (5 + i)(3 + 5i) 2i ; 2) (2 + i)(4 + i) 1 + i Обычно комплексное число обозначают одной буквой, например: z = a + bi, здесь a называется действительной частью числа z, b — мнимой частью. Используются обозначения: Re z = a, Im z = b, или Re z = a, Im z = b. 2. Геометрическая интерпретация и тригонометрическая форма записи комплексных чисел Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то про- извольному комплексному числу (a, b) = a + bi можно сопоставить точку с координатами (a, b). Плоскость, точки которой проинтерпретированы таким образом, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс (назы- ваемая в данном случае действительной осью и обозначаемая Re) при такой интерпретации будет соответствовать множеству действительных чисел. Ось ординат (называемая в данном случае мнимой осью и обозна- чаемая Im) — множеству чисто мнимых чисел, т. е. чисел вида bi, где b — любое вещественное. Начало координат соответствует нулю. O Re Im z 1 z 2 z 1 + z 2 −z 2 z 1 − z 2 Наглядную геометрическую интерпретацию приобретают в данном случае сложение и вычитание комплексных чисел — это просто сложе- ние и вычитание их радиус-векторов по правилу параллелограмма. 8 Модулем, или абсолютной величиной, комплексного числа z = a + bi называется расстояние r точки z до начала координат. Модуль числа обо- значается |z|. Очевидно данное определение согласуется с определением модуля вещественных чисел. Далее, |z| = 0 тогда и только тогда, когда z = 0. Аргументом числа z назовем угол ϕ, отсчитываемый в положитель- ном направлении (против часовой стрелки), между направлением оси Re и радиус-вектором точки z. O Re Im b z = a + bi a b r ϕ Аргумент обозначается arg z. Арумент определен с точностью до 2πk, где k ∈ Z. Число 0 аргумента не имеет. Очевидно, по паре (r, ϕ) комплексное число z определяется однознач- но. Применяя теорему Пифагора и формулы тригонометрии, получаем |a + bi| = p a 2 + b 2 , a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, откуда a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Запись r(cos ϕ + i sin ϕ) называется тригонометрической формой ком- плексного числа a + bi. Для числа 0 тригонометрической формы записи не существует. Пример 4. Найдем тригонометрическую форму записи числа: 1) 8 = 8(cos 0 + i sin 0); 2) i = cos π 2 + i sin π 2 ; 3) −8 = 8(cos π + i sin π); 9 4) 1 − i = √ 2 cos − π 4 + i sin − π 4 , действительно, |1 − i| = √ 2, одним из решений системы 1 = √ 2 cos ϕ, −1 = √ 2 sin ϕ является ϕ = −π/4; 5) − √ 3 − i = 2 cos − 5π 6 + i sin − 5π 6 ; 6) cos α − i sin α = cos(−α) + i sin(−α); 7) sin α + i cos α = cos π 2 − α + i sin π 2 − α ; 8) 1+cos ϕ+i sin ϕ, если ϕ ∈ [−π, π]: воспользовавшись формулами двойного угла, получаем: 2 cos 2 ϕ 2 + i2 cos ϕ 2 sin ϕ 2 = 2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ! Упражнение 5. Найти тригонометрическую форму числа: 1) 1 − i; 2) 1 − i √ 3; 3) 1 + i tg α 1 − i tg α Пример 6. Опишем множество точек, изображающих комплексные чис- ла z, удовлетворяющие уравнению |z − z 0 | = r, где z ∈ R, z 0 ∈ R, r ∈ R , r > 0. 1 способ. Пусть z = x + yi, z 0 = x 0 + y 0 i, тогда исходное уравнение будет эквивалентно уравнению (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2 . Множество точек, ему удовлетворяющих, есть окружность радиуса r с центром в точке z 0 = x 0 + iy 0 2 способ. Нетрудно видеть, что |z − z 0 | есть расстояние между точками z и z 0 . Таким образом, речь идет о всех точках z, для которых расстоя- ние до фиксированной точки z 0 есть постоянная величина r. Описанное геометрическое место точек — окружность. Пример 7. Опишем множество точек, изображающих комплексные чис- ла z, удовлетворяющие уравнению |z − z 1 | = |z − z 2 |. Используя геомет- рическую интерпретацию для |z − z 1 | и |z − z 2 |, получаем, что описанная уравнением |z − z 1 | = |z − z 2 | совокупность есть множество точек, рав- ноудаленных от z 1 и z 2 , т. е. серединный перпендикуляр отрезка [z 1 , z 2 ]. 10 Упражнение 8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующих числам z, таким, что: 1) 1 ≤ |z − 2 + i| < 2; 2) | arg z| < π/4; 3) Im z = 3. Рассмотрим произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме: z 1 z 2 = r(cos ϕ + i sin ϕ) · ρ(cos ψ + i sin ψ). Применяя формулы для суммы и разности тригонометрических функций, получаем: z 1 z 2 = rρ(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) = rρ cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) В конце полученной цепочки равенств имеем комплексное число, опять записанное в тригонометрической форме. Его модуль равен rρ, аргумент равен ϕ + ψ. Иными словами, |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 |, arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 + 2πk (k ∈ Z). В геометрической интерпретации произведению z 1 z 2 соответствует точ- ка, радиус-вектор которой получен поворотом радиус-вектора точки z 1 на угол arg(z 2 ) и растяжением в |z 2 | раз. Нетрудно проверить, что, если ρ 6= 0, то ρ(cos ψ + i sin ψ) −1 = ρ −1 cos(−ψ) + i sin(−ψ) , поэтому r(cos ϕ + i sin ϕ) ρ(cos ψ + i sin ψ) = r ρ cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ) , или z 1 z 2 = |z 1 | |z 2 | , arg z 1 z 2 = arg z 1 − arg z 2 В геометрической интерпретации частному z 1 /z 2 соответствует точ- ка, радиус-вектор которой получен поворотом радиус-вектора точки z 1 на угол − arg z 2 и сжатием в |z 2 | раз. Пример 9. Выполним действия: 11 1) (1 + i √ 3)(1 + i)(cos ϕ + i sin ϕ) = 2 cos π 3 + i sin π 3 √ 2 cos π 4 + i sin π 4 (cos ϕ + i sin ϕ) = 2 √ 2 cos 7π 12 + ϕ + i sin 7π 12 + ϕ ; 2) cos ϕ + i sin ϕ cos ψ − i sin ψ = cos ϕ + i sin ϕ cos(−ψ) + i sin(−ψ) = cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ). Пример 10. Найдем тригонометрическую форму числа 1+cos ϕ+i sin ϕ, если ϕ ∈ [−π, π]. Данный пример уже был рассмотрен (пример 4 8). При- ведем другой способ решения: 1 + cos ϕ + i sin ϕ = (cos 0 + i sin 0) + (cos ϕ + i sin ϕ) = cos(− ϕ 2 ) + i sin(− ϕ 2 ) cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 + cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 2 = 2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 Пусть n — произвольное натуральное число. Как и для вещественных чисел, будем говорить, что ζ есть n-я степерь комплексного числа z и записывать ζ = z n , если ζ = z · z · . . . · z | {z } n сомножителей Мы уже определили z −1 как число, обратное к z 6= 0. Для произвольного z 6= 0 определим z 0 = 1 и z −n = (z −1 ) n . Докажем, что (z −1 ) n = (z n ) −1 Действительно, (z −1 ) n z n = z −1 · . . . · z −1 z · . . . · z = (z −1 · . . . · (z −1 z) · . . . · z) = 1. 12 Упражнение 11. Доказать, что (z m ) n = z mn , z m z n = z m+n , z n 1 z n 2 = (z 1 z 2 ) n для произвольных целых m, n. Используя метод математической индукции, теперь легко доказать формулу Муавра (A. de Moivre, 1736): r(cos ϕ + i sin ϕ) n = r n cos(nϕ) + i sin(nϕ) , справедливую для произвольного целого n. Пример 12. Вычислим: (1 + i √ 3) 150 = 2 cos π 3 + i sin π 3 150 = 2 150 cos 150π 3 + i sin 150π 3 = 2 150 cos(50π) + i sin(50π) = 2 150 (cos 0 + i sin 0) = 2 150 |