Математика является наукой. Конспект по логике высказываний Математическая логика (МЛ) тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением
 Скачать 38.7 Kb.
|
500 до н.э. - нач. н.э.)Отрицание. Отрицанием высказывания А называют такое высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А истинно Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний А и В называют такое высказывание А ^ В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. (И) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называют такое высказывание A \/ B, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний (ИЛИ) Импликация. Импликацией А и В называют такое выражение А → В (читается: «если А, то В»), которое ложно только когда А истинно и В ложно. Эквивалентность. Эквивалентностью А↔В называют такое выражение, которое истинно в тмо случае, если оба высказывания истинны или ложны. Штрих Шеффера А | В (обратная конъюнкция, «не И»). Высказывание, ложное только тогда, когда оба высказывания истинны. Стрелка Пирса А ↓ В (обратная дизъюнкция «не ИЛИ». Высказывание истинно только тогда, когда А и В ложны. Сложение по модулю 2. А ⊕ В (исключающее или). Функция принимает значение истинно, когда А и В принимают противоположные значения. Всякая логическая переменная и символы «истина»(1) и «ложь»(0) являются формулами. Если А и В - формулы, то ¬А, А ^ В, и т.д. – тоже формулы. Никаких других формул в алгебре логики нет. Не заключать в скобки элемент функции По закону ассоциативности для операции ((x*y)*z) или (x*(y*z)) можно использовать выражение без скобок x*y*z. Основы логики были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384 - 322 гг. до н. э.). Вклад Аристотеля в логику весьма велик, недаром другое ее название - Аристотелева логика.В своих книгах «Категории», «Первая аналитика», «Вторая аналитика» и др. Аристотель проанализировал человеческое мышление и его формы: понятие, суждение, умозаключение. В определении Аристотеля логика - это наука о выводе одних умозаключений из других в соответствии с их логической формой (строением, структурой). Аристотель рассмотрел логику с формальной стороны. Поэтому логику Аристотеля называют формальной. Аристотель заметил, что между созданной им наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее, умозаключение, к вычислению на основании исходных положений. Понятие - это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов, отличающие его от других («аудитория», «кафедра», «студент» и т.д.). Суждение - это форма мышления, выраженная с помощью понятий, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах и отношениях между ними. Оно является истинным или ложным повествовательным предложением («Наступило 1 сентября, и студенты приступили к учебе»). Истинное суждение — это суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложное суждение — это суждение, в котором связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания: "Сумма углов треугольника равна 180 градусов" устанавливается геометрией, причем - в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным. Умозаключение - приём мышления, посредством которого из одного или нескольких суждений, называемых посылками, получается новое суждение (заключение, вывод). (Все металлы - простые вещества. Литий - металл. Следовательно, литий - простое вещество.) Аристотель исследовал различные формы рассуждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье. Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической. Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени сведения по геометрии, взглянув на эту науку с общелогических позиций. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики как совокупности аксиоматических теорий. Это был первый этап развития формальной логики. 2-й этап. Схоластическая логика (нач. н.э. - первая половина XIX в.) й этап связан с работами немецкого учёного и философа Готфрида Вильгельма Лейбница (16461716 гг). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, заменив простые рассуждения действиями со знаком, и привел соответствующие правила. Г. Лейбниц впервые ввел в логику математические символы. Так возникла математическая логика. Математическая логика (МЛ) - наука о логических связях и отношениях, лежащих в основе логического вывода. Она изучает суждения, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны. Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. 3-й этап. Символическая логика (сер. XIX в. - XX в.) 3-й этап связан с работами Джорджа Буля (1815-1864 гг). Он развил идеи Лейбница. В 1847 г. Буль написал важную статью на тему «Математический анализ логики», а в 1854 г. развил идеи в работе под названием «Исследование законов мышления». В его работах логика обрела свой алфавит, орфографию и грамматику. Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. Он внес большой вклад в развитие (2) СС и ее приложения к логике. Недаром начальный раздел МЛ называют булевой алгеброй или алгеброй логики. Алгебра логики (логика высказываний) - один из основных разделов МЛ, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях высказываний. Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований. Американский логик Чарлз Сандерс Пирс в 1867 г. познакомил с булевой алгеброй американскую научную общественность, кратко изложив существо этой системы в своем докладе для Американской академии наук и искусств. На протяжении двух последующих десятилетий Пирс затратил немало времени и сил, модифицируя и расширяя булеву алгебру. 4 -й Современный этап XX век стал веком бурного развития математической логики. Возникли новые разделы, были построены различные аксиоматические теории множеств, была разработана теория алгоритмов. На стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Немалый вклад в развитие математической логики внесли: Н.А. Васильев, А.Н. Колмогоров, П.С. Новиков и другие. Возникли неклассические логики, к которым относятся многозначная логика (Я. Лукасевич, Э. Пост), релевантная логика (И.Е. Орлов), паранепротиворечивая логика (Н.А. Васильев). Применение МЛ  МЛ нашла широкое применение в информационных технологиях, программировании, математической лингвистике, а также в системах искусственного интеллекта, системах управления базами данных, теории принятия решений и управлении организационно-экономическими системами. МЛ является средством для изучения деятельности мозга - этой самой важной проблемы биологии и науки вообще. Алгебра высказываний и булевы функции - математический аппарат для конструирования переключательных и функциональных систем, составляющих элементарную базу компьютеров. В основе многочисленных языков программирования лежат теория алгоритмов, теория формальных систем, логика предикатов. Например, язык ПРОЛОГ (сокращение от ПРОграмирование ЛОГическое). Дополнительно Логика в информатике – этонаправления исследований и отрасли знания, где логика применяется в информатике и искусственном интеллекте. Логика оказалась гораздо более эффективной в информатике, чем это было в математике.
|