К.р.№1,2,3(1 семестр) ВоГТУ. Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры Задание 1

• Название: Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры Задание 1
• Дата: 27.09.2021
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: К.р.№1,2,3(1 семестр) ВоГТУ.pdf
• Тип: Контрольная работа; #237780
• страница: 3 из 4

Контрольная работа №3. Введение в математический анализ
Задание 3.11. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. а)
1
lim ( )
x
f x , б)
1
lim ( )
x
f x , в) lim ( )
x
f x
, если
3 2
3 2
7 9
3 5
( )
9 17 7
1
x
x
x
f x
x
x
x
Решение а)
Найти
3 2
3 2
1 7
9 3
5
lim
9 17 7
1
x
x
x
x
x
x
x
Выражение под знаком предела содержит неопределенность
0 0
. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим на множители числитель и знамена- тель дроби. Для этого разделим их на (
1)
x
, то есть на множитель, который обращает их в ноль.
3 2
7 9
3 5
x
x
x
1
x
3 2
9 17 7
1
x
x
x
1
x
3 2
7 7
x
x
2 7
2 5
x
x
3 2
9 9
x
x
2 9
8 1
x
x
2 2
3 5
x
x
2 8
7 1
x
x
2 2
2
x
x
2 8
8
x
x
5 5
x
1
x
5 5
x
1
x
0 0
Получим
2 2
2 2
1 1
(
1)(7 2
5)
(7 2
5)
lim lim
(
1)(9 8
1)
(9 8
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
После сокращения на множитель
1
x
снова имеем неопределенность
0 0
и еще раз раскладываем на множители числитель и знаменатель полученной дро-

21 би, используя формулу:
2 1
2
(
)(
)
ax
bx
c
a x
x
x
x , где
1
x и
2
x
– корни соответствующего квадратного уравнения.
Получим
1 1
(
1)(7 5)
7 5
12 6
lim lim
(
1)(9 1)
9 1
10 5
x
x
x
x
x
x
x
x
б)
3 2
3 2
1 7
9 3
5 7 9 3 5 8
1
lim
9 17 7
1 9 17 7 1 32 4
x
x
x
x
x
x
x
в)
Найти
3 2
3 2
7 9
3 5
lim
9 17 7
1
x
x
x
x
x
x
x
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида
. Для раскрытия этой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на
x
в высшей степени, то есть на
3
x .
2 3
2 3
9 3
5 7
7 0 0 0
7
lim
17 7
1 9 0 0
0 9
9
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: а)
6 5
; б)
1 4
; в)
7 9
Задание 3.12. Найти
2 2
5 2
1 9 8
lim
4 41
x
x
x
x
Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида
0 0
. Для раскрытия неопределенности, в этом случае, следует домножить числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные как числителю так и знамена- телю, то есть на
2 2
2 1
9 8 4
41
x
x
x
Получим
2 2
2 2
5 5
2 2
2 2
2 1
9 8 4
41 2
8 10 4 41
lim lim
16 41 2
1 9 8 25 2
1 9 8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 5
2 2
5 1 4 41 6 2 8 24
lim
10 14 35 5
5 2
1 9 8
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ:
24 35

22
Задание 3.13. Найти
4 2 sin
1
lim ctg
1
x
x
x
Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида
0 0
. Для раскрытия неопределенности введем новую переменную
4
t
x
, следова- тельно
4
x
t
. При этом
0
t
Выразим через новую переменную
2
sin sin sin cos cos sin sin cos
4 4
4 2
x
t
t
t
t
t ; cos cos cos sin sin cos sin cos
4 4
4
ctg sin sin cos
2
sin sin cos
4 2
t
t
t
x
t
t
x
x
t
t
t
t
t
Получим
0 0
2 2
sin cos
1
sin cos
1 sin cos
2
lim lim sin cos
2sin
1
sin cos
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Так как sin cos
1
t
t
, при
0
t
, получим
0
sin cos
1
lim
2sin
t
t
t
t
, который содержит неопределенность вида
0 0
. С учетом того, что
2 1 cos
2sin
2
t
t
, sin
2sin cos
2 2
t
t
t
, получим
2 0
0 0
0 0
2sin
2sin cos sin cos
1 1 cos sin
2 2
2
lim lim lim
2sin
2sin
4sin cos
2 2
2sin sin cos sin cos
1 1
2 2
2 2
2
lim lim
2 2
4sin cos
2cos
2 2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Ответ:
1 2

23
Задание 3.14. Найти
4 15 18 3 6
5 21
lim
27 3
x
x
x
x
x
Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида 1 . Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, можно воспользоваться формулой
0 0
lim ( ( ) 1) ( )
( )
lim ( )
x
x
x
x
u x
v x
v x
u x
e
, если
0 0
lim ( ) 1, lim ( )
x
x
x
x
u x
v x
Для данного примера
5 21
( )
27 3
x
u x
x
,
4 15
( )
18 3
x
v x
x
,
0 6
x
Тогда
6 4
15 5
21 4
15
lim
1 18 3 27 3 18 3 6
(8 48)(4 15)
8(
6)(4 15)
8
lim lim
(27 3 )(18 3 )
(27 3 )3(6
)
6 6
3 5
21
lim
27 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
x
Ответ:
8 3
e
Задание 3.15. Найти односторонние пределы функции ( )
f x в точках
1
x и
2
x
. Проверить на непрерывность функцию в данных точках. Начертить гра- фик функции.
2 5
23,
6 3
7 17
( )
3
,
3 2
2 2
2 15, 2 5
x
x
f x
x
x
x
x
x
,
1 3
x
,
2 2
x
Решение
Для обозначения левостороннего и правостороннего пределов функции
( )
f x в точке
0
x используются символы
0
(
0)
f x
и
0
(
0)
f x
соответственно.
Для данной функции в точке
3
x
( 3 0)
5 ( 3)
23 8
f
;
2 7
17
( 3 0)
3 ( 3)
( 3)
8 2
2
f
Так как ( 3 0)
( 3 0)
( 3)
f
f
f
, то
3
x
– точка непрерывности данной функции ( )
f x .
В точке
2
x
2 7
17
(2 0)
3 2 2
10,5 2
2
f
;
(2 0)
2 2 15 11
f
Так как пределы функции слева и справа конечны и (2 0)
(2 0)
f
f
, то точка
2
x
– точка разры- ва I рода функции ( )
f x .
График функции представлен на рисунке
-1 1
-6 2
5
-7 1
8
y x
-3 10
-11
-5

24
Ответ:
3
x
– точка непрерывности;
2
x
– точка разрыва I рода.
Задание 3.16. Найти производную ( )
y x от функции
2
arcsin arcsin
2 1 2
y
x
x
x
x
x
. Вычислить (0,5)
y
Решение
2 2
arcsin arcsin
2 1
arcsin arcsin
2 1 2
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
2 2
2 1
1
arcsin
2 1
arcsin arcsin
1 1
1 2
2 2
arcsin
2 1
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
2
(0,5)
(arcsin(0,5))
6 36
y
Ответ:
2
(0,5)
36
y
Задание 3.17. Найти производную
( )
y x от показательно-степенной функции ln
5 3
7 3
7
x
x
y
x
. Вычислить
(5)
y
Решение
Прологарифмируем функцию:
3 7
ln ln ln
5 3
7
x
x
y
x
Найдем производные обеих частей полученного равенства
2 1
1 1 3
7 1
3(3 7)
(3 7)3
ln ln
3 7
5 3
7 5
(3 7)
5 3
7
x
x
x
x
y
x
x
y
x
x
x
2 42ln
1 1
3 7
5
ln
3 7
9 49
x
x
y
y
x
x
x
ln
5 2
42ln
3 7
1 3
7 5
ln
3 7
3 7
9 49
x
x
x
x
y
x
x
x
x
1
(5)
ln(2,75)
0,202 5
y
Ответ: (5) 0,202
y

25
Задание 3.18. Найти производную
x
y от функции, заданной параметри- ческим способом
3 2
3 3
2 1
3 2
1
t
x
t
t
y
t
Решение
Производная функции заданной параметрически находится по формуле
;
( ).
t
x
t
y
y
x
x t
x
Найдем
t
y ,
t
x ,
x
y .
3 2
2 4
2 2
3 3
6 (2 1) 3 6
6 6
2 1
2 1
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
;
3 2
3 2
2 3
3 3 2 1
3 6 3 12 2
1 2
1
t
t
t
t
t
x
t
t
;
4 3
2 2
1 4
x
t
t
y
t
Ответ:
4 3
2 2
1 4
x
t
t
y
t
Задание 3.19. Найти производную ( )
y x от функции, заданной неявным способом
5 3
2 5
5
cos 3 6
3 4
x y
x
y
x
y
Решение
Приведем функцию к виду
5 3
2 5
5
cos 3 6
3 4
0
x y
x
y
x
y
Найдем производные обеих частей полученного равенства. Не забудем, что
( )
y
y x
4 3
5 2
4 5 5 5 3
sin 3 6
3 6 6
4 5 0
x y
x
y y
x
y
y
x
y y
;
5 2
4 4
3 15 6sin 3 6
20 25 3sin 3 6
6
y
x y
x
y
y
x y
x
y
x ;
4 3
5 2
4 25 3sin 3 6
6 15 6sin 3 6
20
x y
x
y
x
y
x y
x
y
y
Ответ:
4 3
5 2
4 25 3sin 3 6
6 15 6sin 3 6
20
x y
x
y
x
y
x y
x
y
y

26
Задачи для контрольных заданий
Контрольная работа №1
Элементы линейной алгебры
1. Вычислить значение функции
f z
при
0
z
z
. Ответ представить в тригонометрической форме.
1.1.
0 2
3 5
5
,
2 1
6 2
i z
i
f z
z
i
i z
i
1.2.
0 2
3 2
11 3
3
,
1 3 .
2 13
i
z
i
f z
z
i
z
i
1.3.
0 2
2 3
8 3
,
2 2
2 9
i
z
i
f z
z
i
z
i
1.4.
0 2
1 2
1 8
,
2 3 .
1 9
6
i
z
i
f z
z
i
i z
i
1.5.
0 2
3 11 3
3
,
2 3 .
2 13 13
i z
i
f z
z
i
z
i
1.6.
0 2
3 2
11 3
3
,
1 3 .
3 13 21
i
z
i
f z
z
i
z
i
1.7.
0 2
1 2
8
,
3 2 .
1 6
9
i
z
i
f z
z
i
i z
i
1.8.
0 2
4 3
15 5
3
,
1 3 .
3 19 3
i
z
i
f z
z
i
z
i
1.9.
0 2
3 7
3
,
1 2 .
3 2
11
i z
i
f z
z
i
z
i
1.10.
0 2
1 3
7 3
,
2 2
1 7
i
z
i
f z
z
i
z
i
2. Найти
X
из матричного уравнения.
2.1.
3 1
1 2
3 2
8 0
0 1 1 2
5 1
1 2
3 5
0 0
1 3 1
2 3
8 5
0 0
X
2.2.
2 1
1 2
1 3
1 0
0 1
1 2 4
2 4
3 1
7 0
0 1
3 1
5 3
5 2
0 0
X

27 2.3.
1 1 2
5 4
1 1
0 0
1 3 1
2 8
8 5
2 3
0 0
3 1
1 6
1 2
1 0
0
X
2.4.
1 1 2 3
4 1
2 0
0 1
3 1
3 7 6
4 4 3
0 0
2 1
1 3
5 2
4 0
0
X
2.5.
1 3 1
3 3
5 6
0 0
3 1
1 4
4 3
3 5
2 0
0 1 1 2
6 5
9 7
0 0
X
2.6.
3 1
1 2
3 3
8 0
0 1
1 2
5 1
1 2
2 4
0 0
1 2 1
3 3
7 6
0 0
X
2.7.
1 3
1 6
7 1
4 0
0 2
1 1 2
7 3
5 2
2 0
0 1
1 3 8
9 3
4 0
0
X
2.8.
1 1
2 5
3 3
3 0
0 1 2 1
3 7
5 4
6 3
0 0
3 1
1 8
5 4
4 0
0
X
2.9.
2 1 1 7
5 8
5 0
0 1
1 3 4
4 4
3 5
6 0
0 1
3 1
4 3
3 2
0 0
X
2.10.
1 3
1 2
5 3
2 0
0 2
1 1
2 1 4 3
1 3 0
0 1
1 2 4
2 3
1 0
0
X
3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
A
и соста- вить ее каноническое разложение.
3.1.
1 6
2 6
A
3.2.
8 10 2
1
A
3.3.
7 1
6 2
A
3.4.
9 2
6 2
A
3.5.
6 2
10 3
A
3.6.
1 6
1 6
A
3.7.
1 6
2 6
A
3.8.
1 2
10 10
A

28 3.9.
7 1
6 2
A
3.10.
1 6
1 4
A
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
4.1.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
4 3
2,
3 2
3 6,
3 4
5 2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.2.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 4
3 2
2,
2 3
4 8,
2 4
3 5.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.3.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
3 4
7,
4 5
2 13,
3 2
2 8.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.4.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
3 4
10,
2 4
3 11,
3 2
4 8.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.5.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 3
2 3
3,
3 4
5 9,
4 3
2 2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.6.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 3
2 4
8,
4 3
2 11,
2 3
4 7.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.7.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 3
4 5
1,
4 3
2 6,
2 4
3 1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.8.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 4
3 2
2,
2 4
3 7,
3 2
3 6.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.9.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 4
3 3
9,
2 3
4 2,
4 5
2 10.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.10.
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
4 3
10,
3 2
4 7,
4 3
2 10.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5. Исследовать систему уравнений на совместность. В случае совместно- сти найти ее решение при различных способах выбора базиса.
5.1.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
3 3
2 2,
4 2
3 2,
2 3
3 2
3,
3 6
7 3
7.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.2.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 2
1,
2 3
4,
3 2
2 2,
2 2
4 5.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.3.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 2
2,
2 2
1,
3 2
3 3,
4 2
2 0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.4.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
3 2
2 3,
2 2
2,
2 3
2,
3 2
3 3
1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.5.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 3
2 3
3,
3 3
3 3,
2 3
2,
3 3
4 2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.6.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 3
2 3,
3 2
1,
2 2
2,
3 2
3 0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

29 5.7.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 3
2 2,
2 2
1,
2 3
2 2,
3 2
2 3
1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.8.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 2
2,
2 3
1,
3 2
2 3,
2 3
3 3
0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.9.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
3 3
3 2,
3 2
3 2
1,
3 2
2,
3 8
7 7
5.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.10.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 4
2 3
2,
2 3
2 3,
2 2
2,
3 3
2 3
3.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x