К.р.№1,2,3(1 семестр) ВоГТУ. Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры Задание 1

• Название: Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры Задание 1
• Дата: 27.09.2021
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: К.р.№1,2,3(1 семестр) ВоГТУ.pdf
• Тип: Контрольная работа; #237780
• страница: 4 из 4

Контрольная работа № 2
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
6. Даны a , b – длины векторов a , b и и угол между ними
,
a b
. Най- ти угол между векторами
, .
c d
6.1.
4,
2 2,
,
,
2 ,
4
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.2.
3,
2,
,
,
3 ,
2 3 .
3
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.3.
5 6,
3 3,
,
,
2 ,
6
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.4.
3 6,
2 2,
,
,
2 3 ,
3 .
4
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.5.
2 5,
10,
,
,
,
2 3
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.6.
5 3,
2,
,
,
2 10 ,
2 5 .
6
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.7.
4 2,
8,
,
,
2
,
4
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.8.
3,
4,
,
,
2 3 ,
4 3 .
3
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.9.
5 3 3,
2,
,
,
3 ,
2 3 .
6
a
b
a b
c
a
b d
a
b
6.10.
4,
2 3,
,
,
2 ,
6
a
b
a b
c
a
b d
a
b
7. Даны координаты вершин пирамиды
0 1
2 3
A A A A
. Найти: 1) длину ребра
0 1
A A
; 2) угол между ребрами
0 1
A A и
0 2
A A
, с точностью до целого градуса;

30 3) угол между ребром
0 3
A A и гранью
0 1
2
A A A
, с точностью до целого градуса; 4) площадь грани
0 1
2
A A A
, с точностью до 0,001; 5) объем пирамиды; 6) длину вы- соты, опущенной из вершины
3
A на грань
0 1
2
A A A
, , с точностью до 0,001; 7) уравнение ребра
0 3
A A
; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины
3
A на грань
0 1
2
A A A
, 9) уравнение грани
0 1
2
A A A .
7.1.
0 1
2 3
4;1;3 ,
1;6; 1 ,
2; 3;5 ,
6;7;7 .
A
A
A
A
7.2.
0 1
2 3
1; 5; 2 ,
7; 1;4 ,
4; 2;6 ,
3;1;5 .
A
A
A
A
7.3.
0 1
2 3
3; 4;7 ,
5;2; 1 ,
6; 5;3 ,
1; 7;5 .
A
A
A
A
7.4.
0 1
2 3
2; 1;7 ,
5;3; 4 ,
7;5; 2 ,
4;7;1 .
A
A
A
A
7.5.
0 1
2 3
7;1; 5 ,
1;7; 1 ,
3; 4; 2 ,
5; 3;1 .
A
A
A
A
7.6.
0 1
2 3
1;4;1 ,
1;6; 2 ,
3;5; 6 ,
5; 2; 4 .
A
A
A
A
7.7.
0 1
2 3
6; 2; 3 ,
4; 5;6 ,
1; 2;4 ,
4;1;6 .
A
A
A
A
7.8.
0 1
2 3
3;5; 4 ,
7;7;5 ,
1;3;2 ,
6; 1; 4 .
A
A
A
A
7.9.
0 1
2 3
1; 2; 5 ,
5; 4; 2 ,
3; 1; 6 ,
3;2; 3 .
A
A
A
A
7.10.
0 1
2 3
2; 3;5 ,
2; 5;3 ,
4; 2; 4 ,
5; 6; 1 .
A
A
A
A
8. Даны координаты вершин треугольника
ABC
. Составить уравнение медианы
AD
, высоты
BE
и биссектрисы
CF
этого треугольника. Сделать чер- теж.
8.1.
4;1 ,
3; 6 ,
7; 1 .
A
B
C
8.2.
7;7 ,
9; 1 ,
2; 3 .
A
B
C
8.3.
5;9 ,
7; 7 ,
3; 2 .
A
B
C
8.4.
8;1 ,
4; 5 ,
3; 4 .
A
B
C
8.5.
1;5 ,
3; 7 ,
2; 2 .
A
B
C
8.6.
6; 7 ,
2;5 ,
8; 5 .
A
B
C
8.7.
7; 3 ,
1; 7 ,
3;7 .
A
B
C
8.8.
4; 1 ,
3;2 ,
7; 3 .
A
B
C
8.9.
6; 2 ,
1; 3 ,
1;8 .
A
B
C
8.10.
2;5 ,
1;6 ,
3; 5 .
A
B
C
9. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки ( , )
A x y к расстоянию до прямой
l
постоянно и равно
t
. Сделать точный чертеж в масштабе.
9.1.
34;0
A
,
: 34 25 0
l
x
,
34 5
t
9.2.
5;0
A
,
: 5 9
0
l
x
,
5 3
t
9.3.
0; 3
A
,
: 3 4
0
l
y
,
3 2
t
9.4.
20;0
A
,
: 5 8
0
l
x
,
5 2
t

31 9.5.
0; 12
A
,
: 12 16 0
l
y
,
12 4
t
9.6.
13;0
A
: 13 9
0
l
x
,
13 3
t
9.7.
15;0
A
,
: 15 16 0
l
x
,
15 4
t
9.8.
20;0
A
,
: 5 8
0
l
x
,
5 2
t
9.9.
5;0
A
,
: 5 9
0
l
x
,
5 3
t
9.10.
34;0
A
,
: 34 25 0
l
x
,
34 5
t
10. Найти точку
M
, симметричную точке
M
относительно плоскости
10.1.
( 2;0;3),
: 2 2
10 1 0
M
x
y
z
10.2.
8; 5; 6 ,
: 2 4
8 9
0.
M
x
y
z
10.3.
(3;3;3),
: 8 6
8 25 0
M
x
y
z
10.4.
8; 7; 3 ,
: 8 2
4 17 0.
M
x
y
z
10.5.
( 1;0;1),
: 2 4
3 0
M
x
y
10.6.
3; 6; 8 ,
: 8 4
6 19 0.
M
x
y
z
10.7.
(2; 2; 3),
: y+z+2=0
M
10.8.
5; 6; 9 ,
: 6 4
4 13 0.
M
x
y
z
10.9.
( 2; 3;0),
:
5 4
0
M
x
y
10.10.
3; 6; 7 ,
: 8 6
4 11 0.
M
x
y
z
Контрольная работа №3
Введение в математический анализ
11. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. Найти предел
f x
при
1 2
3
,
,
x
x x
x
x
x .
11.1.
3 2
3 2
9 17 7
1 5
7 3
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.2.
3 2
3 2
7 13 5
1 5
3 9
7
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.3.
3 2
3 2
3 5
1 3
11 7
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x

32 11.4.
3 2
3 2
5 7
3 7
15 9
1
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.5.
3 2
3 2
7 11 3
5 3
9 7
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.6.
3 2
3 2
7 15 9
1 5
6 3
4
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.7.
3 2
3 2
3 7
5 7
11 3
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.8.
3 2
3 2
5 3
9 7
9 19 11 1
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.9.
3 2
3 2
7 11 3
3 5
1
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
11.10.
3 2
3 2
7 15 9
1 5
7 3
x
x
x
f x
x
x
x
при
1,
1,
x
x
x
12-14. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
12.1.
2 2
3 25 1 5
lim
18 3
x
x
x
x
12.2.
2 2
4 4
25
lim
3 16 20
x
x
x
x
12.3.
2 2
5 29 3
11
lim
5 50
x
x
x
x
12.4.
2 2
2 33 2 5
lim
8 25 5
11
x
x
x
x
12.5.
2 2
3 34 2
4
lim
2 7
4 7
x
x
x
x
12.6.
2 2
4 9
4 2
7
lim
4 48 2
x
x
x
x
12.7.
2 2
5 3
59 2
lim
54 2
4 16
x
x
x
x
12.8.
2 2
2 7
2 1
lim
40 6
x
x
x
x
12.9.
2 2
3 27 2
6
lim
31 3 2
x
x
x
x
12.10.
2 2
4 52 3
lim
4 25 7
x
x
x
x
13.1.
11 6
ctg
3
lim
2sin
1
x
x
x
13.2.
4 2 cos
1
lim tg
1
x
x
x
13.3.
5 3
2sin
3
lim tg
3
x
x
x
13.4.
2 3
tg
3
lim
2cos
1
x
x
x
13.5.
5 4
ctg
1
lim
2 cos
1
x
x
x
13.6.
5 6
2cos
3
lim
2sin
1
x
x
x
13.7.
5 6
2sin
1
lim ctg
3
x
x
x
13.8.
5 4
tg
1
lim
2 sin
1
x
x
x

33 13.9.
2 3
3ctg
1
lim
2sin
3
x
x
x
13.10.
5 3
2cos
1
lim tg
3
x
x
x
14.1.
4 5
12 6 2
3 7
lim
17 2
x
x
x
x
x
14.2.
10 3 4
20 5
15 4
lim
2 15
x
x
x
x
x
14.3.
2 9
21 3 7
4 23
lim
26 3
x
x
x
x
x
14.4.
19 5 2
6 3
19 5
lim
4 8
x
x
x
x
x
14.5.
4 22 30 5 6
3 16
lim
32 5
x
x
x
x
x
14.6.
21 3 4
32 8
13 2
lim
5 43
x
x
x
x
x
14.7.
2 19 12 6 2
2 19
lim
9 3
x
x
x
x
x
14.8.
14 4 5
25 5
7 2
lim
4 23
x
x
x
x
x
14.9.
5 28 28 4 7
3 14
lim
35 4
x
x
x
x
x
14.10.
16 3 2
6 3
19 4
lim
5 8
x
x
x
x
x
15. Найти односторонние пределы функции
f x
в точках
1
x и
2
x . Про- верить, является ли непрерывной данная функция в этих точках. Начертить график функции.
15.1.
2 1
2 4
2,
2 1,
1,
3 11 9
, 1 6,
6.
4 4
2 3
24,
6 9,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.2.
2 1
2 3
10,
5 2,
2,
5 5,
2 3,
3.
2 2
9,
3 6,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.3.
2 1
2 3
3,
2 1,
1,
5 27 1
, 1 6,
6.
4 4
2 3
22,
6 9,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.4.
2 1
2 3
13,
6 3,
3,
3 7
11
,
3 2,
2.
4 4
2 4
14,
2 5,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x

34 15.5.
2 1
2 4
34,5,
10 7,
7,
3 17 1
,
7 2,
2.
4 4
2 3
1,
2 1,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.6.
2 1
2 3
21,
9 6,
6,
5 27 1
,
6 1,
1.
4 4
2 3
2,
1 2,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.7.
2 1
2 5
2,
1 2,
2,
11 3
, 2 7,
7.
2 2
5 44,
7 10,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.8.
2 1
2 6
3,
1 2,
2,
3 13 11
, 2 7,
7.
4 4
2 3
27,
7 10,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.9.
2 1
2 4
8,
4 1,
1,
11 7
2
,
1 4,
4.
2 2
3 19,
4 7,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
15.10.
2 1
2 3
18,
7 4,
4,
9 11 2
,
4 1,
1.
2 2
2 3,
1 4,
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
16 – 19. Найти производные функций.
16.1.
3 2
6 1 2
arcsin
y
x
x
16.2.
2 4
arctg ln
1
y
x
x
16.3.
2 2ln cos
2
tg
y
x
x
x
x
16.4.
2
ln
1 2arctg
2 .
y
x
x
x
x
16.5.
2
arccos
1
y
x
x
x
16.6.
3 2
2 2
3 1
2 1
y
x
x
x
16.7.
3 2
arccos3 1 9
y
x
x
16.8.
1
arcsin
y
x
x
x
16.9.
1 arctg
y
x
x
x
16.10.
2 1
arctg ln
y
x
x
x
x
17.1. sin 5 2
3 2
3
x
x
y
x
17.2.
4 2
5 3
2 4
1 1
x
x
y
x

35 17.3. cos 4 6
1 6
1
x
x
y
x
17.4.
3 2
2 4
2 5
4 4
x
x
y
x
17.5.
2
ln
4 5
4 5
x
x
y
x
17.6.
5 4
3 3
4 2
2 2
x
x
y
x
17.7. sin
3 5
6 5
6
x
x
y
x
17.8.
5 3
5 4
3 3
5 5
x
x
y
x
17.9. cos
5 7
2 7
2
x
x
y
x
17.10.
2 5
4 3
4 3
3 3
x
x
y
x
18.1.
2 3
3 4
,
2 3
4 5
2 3
t
x
t
t
y
t
18.2.
2 3 ln 2 3
ln 2 3
2 3
x
t
t
t
y
t
18.3.
2 2
3cos
5sin
5cos
3sin
x
t
t
t
y
t
t
t
18.4.
2 2
2cos
3sin
3cos
2sin
t
t
x
e
t
t
y
e
t
t
18.5.
2 3
2 2
3 1
2 3
1
t
x
t
t
y
t
18.6.
3 2
5 6
2 3
6 7
2 3
t
x
t
t
y
t
18.7.
3 3
3 3
5cos
2sin
2cos
5sin
x
t
t
y
t
t
18.8.
3 2
4sin
3cos
3sin
4cos
t
t
x
e
t
t
y
e
t
t
18.9. ln 4 5
4 5
4 5 ln 4 5
t
x
t
y
t
t
18.10.
3 3
6sin
7cos
7sin
6cos
x
t
t
t
y
t
t
t
19.1.
3 4
4 3
2 4
sin 2 5
3
x
y
x
y
x y
19.2.
5 3
5 3
3
cos 3 6
4 2
x
x
y
x y
y
19.3.
4 5
4 7
5 4
4 3
2
x
y
x
y
e
x y
. 19.4.
5 3
5 3
2 4
sin 6 3
3
x y
y
x
y
x
19.5.
3 4
3 4
2
cos 5 2
6 4
x
x
y
x y
y
19.6.
5 3
6 3
3 5
3 2
7
x
y
x
y
e
x y
19.7.
4 5
4 5
4
sin 7 5
5 3
x
x
y
x y
y
19.8.
3 4
4 3
4
cos 5 2
2 3
x y
x
y
x
y
19.9.
4 5
7 4
5 4
3 4
2
x
y
x y
e
x
y
19.10.
3 4
3 4
7 3
sin 2 5
2
x y
y
x
y
x

36
Литература
1. Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для втузов/
В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. − М.: Высш. школа, 1972. − 640 с.
2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. Т.1/ Н.С.Пискунов. − М.: Интеграл-Пресс, 1998. − 544 с.
3. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия/ В.А. Ильин, Э.Г.Позняк. − М.: Наука,
1981. − 232 с.
4. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г.Позняк. − М.: Наука, 1984.
− 294 с.
Содержание
1. Правила выполнения и оформления контрольных работ .................................... 3 2. Введение .................................................................................................................... 4 3. Элементы линейной алгебры ................................................................................. 4 4. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии .............................. 12 5. Справочный материал для выполнения задания 2.9 .......................................... 18 6. Введение в математический анализ ..................................................................... 20 7. Задачи для контрольных заданий ......................................................................... 32 8. Литература .............................................................................................................. 36