К.р.№1,2,3(1 семестр) ВоГТУ. Контрольная работа 1. Элементы линейной алгебры Задание 1
 Скачать 1.68 Mb.
|
|
Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Задание 2.6. Найти угол между векторами c и d , если 3 a , 4 b , 2 , 3 a b , 2 3 c a b , 4 3 d a b . Решение Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, рав- ное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. cos , a b a b a b Из определения скалярного произведения cos , c d c d c d Найдем c d , d , c 2 2 (2 3 ) ( 4 3 ) 8 12 6 9 8 18 9 c d a b a b a a b a a b b b a a b b , где 13 2 2 2 3 9 a a , 2 2 2 4 16 b b , 2 1 cos 3 4 6 3 2 a b a b С учетом этого 72 108 144 108 c d , 2 2 2 2 (2 3 ) 4 12 9 36 72 144 108 6 3 c c a b a a b b , 2 2 2 2 ( 4 3 ) 16 24 9 144 144 144 12 d d a b a a b b Косинус угла между векторами c и d равен 108 3 cos , 2 6 3 12 c d 3 5 , arccos 2 6 c d Ответ: 5 6 Задание 2.7. Даны координаты вершин пирамиды 0 1 2 3 A A A A . Найти: 1) длину ребра 0 1 A A ; 2) угол между ребрами 0 1 A A и 0 2 A A с точностью до целого градуса; 3) угол между ребром 0 3 A A и гранью 0 1 2 A A A с точностью до целого градуса; 4) площадь грани 0 1 2 A A A с точностью до 0,001; 5) объем пирамиды; 6) длину высоты, опущенной из вершины 3 A на грань 0 1 2 A A A , с точностью до 0,001; 7) уравнение ребра 0 3 A A ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины 3 A на грань 0 1 2 A A A ; 9) уравнение грани 0 1 2 A A A . 0 ( 5; 2; 4) A , 1 ( 1; 4;1) A , 2 ( 3;5; 2) A , 3 (1;5; 6) A Решение Для решения задачи введем векторы: 0 1 4;6;5 A A , 0 2 2;7;2 A A , 0 3 6;7; 2 A A 1) Длина ребра 0 1 A A равна длине вектора 0 1 A A , т.е. 2 2 2 0 1 4 6 5 77 8,775 A A 2) Найдем косинус угла 1 между ребрами 0 1 A A и 0 2 A A как косинус угла между векторами 0 1 A A и 0 2 A A , используя определение ска- лярного произведения 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 1 0 2 cos cos , A A A A A A A A A A A A Так как 0 1 0 2 4 2 6 7 5 2 60 A A A A ; 2 2 2 0 2 2 7 2 57 7,55 A A ; A 0 A 3 A 2 A 1 14 1 60 cos 0,906 77 57 1 25 3) Синус угла 2 между ребром 0 3 A A и гранью 0 1 2 A A A равен модулю косинуса угла между 0 3 A A и нормальным вектором плоскости 0 1 2 A A A , который находит- ся с помощью векторного произведения векторов 0 1 0 2 4 6 5 23 2 16 23;2;16 2 7 2 i j k N A A A A i j k , 0 3 2 0 3 sin A A N A A N Так как 0 3 6 ( 23) 7 2 ( 2) 16 156 A A N ; 2 2 2 0 3 6 7 ( 2) 89 A A ; 2 2 2 ( 23) 2 16 789 N ; 2 156 sin 0,589 89 789 2 36 4) Площадь грани 0 1 2 A A A находится по формуле 1 1 789 14,045 2 2 S N 5) Объем V пирамиды 0 1 2 3 A A A A находится через абсолютную величину сме- шанного произведения векторов 0 1 A A , 0 2 A A , 0 3 A A 0 1 0 2 0 3 4 6 5 1 1 1 | 2 7 2 | 156 26 6 6 6 6 7 2 V A A A A A A 6) Длина высоты, опущенной из вершины 3 A на грань 0 1 2 A A A , находится из формулы 1 3 осн V S H Отсюда 3 3 26 5,554 14,045 осн V H S 7) Канонические уравнения прямой 0 3 A A записываются в виде 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z , где 1 1 1 , , x y z – координаты точки 0 A , а 2 2 2 , , x y z - координаты точки 3 A . Таким образом, 5 2 4 6 7 2 x y z 15 8) Канонические уравнения высоты, опущенной из вершины 3 A на грань 0 1 2 A A A , имеют вид 0 0 0 x x y y z z m n p , где 0 0 0 , , x y z – координаты точки 3 A ; , , m n p - координаты направляющего век- тора прямой. Направляющим вектором может служить вектор нормали к плос- кости 23;2;16 N Тогда 1 5 6 23 2 16 x y z – канонические уравнения высоты. 9) Уравнение плоскости 0 1 2 A A A имеет вид 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 0 x x y y z z x x y y z z x x y y z z , где 0 0 0 ( , , ) x y z - координаты точки 0 A ; 1 1 1 ( , , ) x y z – координаты точки 1 A ; 2 2 2 ( , , ) x y z – координаты точки 2 A . Таким образом, 5 2 4 1 5 4 2 1 4 0 3 5 5 2 2 4 x y z 5 2 4 4 6 5 0 2 7 2 x y z 23( 5) 2( 2) 16( 4) 23 2 16 47 0 x y z x y z или 23 2 16 47 0 x y z Сделаем проверку полученного уравнения, подставив координаты точек 0 A , 1 A , 2 A в это уравнение. 23 ( 5) 2 ( 2) 16 ( 4) 47 0 23 ( 1) 2 4 16 1 47 0 23 ( 3) 2 5 16 ( 2) 47 0. Получены верные равенства, значит, уравнение плоскости составлено верно. Ответ: 1) 0 1 77 8,775 A A ; 2) 1 25 ; 3) 2 36 ; 4) 1 789 14,045 2 S ; 5) 26 V ; 6) 5,554 H ; 7) 5 2 4 6 7 2 x y z ; 8) 1 5 6 23 2 16 x y z ; 9) 23 2 16 47 0 x y z Задание 2.8. Даны координаты вершин тре- угольника ABC . Составить уравнение медианы AD , высоты BE и биссектрисы CF этого треугольника. -1 1 -6 2 4 -9 1 7 y B A C F E D x 16 (2; 9) A , ( 6;7) B , (4;2) C Решение. Чтобы контролировать правильность решения, изобразим треугольник ABC на координатной плоскости, отметив его вершины и соединив их отрез- ками прямых. Также проведем медиану AD , высоту BE и биссектрису CF , руководствуясь определениями линий. 1) Координаты точки D - середины отрезка BC находятся по формулам 1 2 6 4 1 2 2 x x x ; 1 2 7 2 4,5 2 2 y y y ; ( 1;4,5) D , где 1 1 , x y - координаты точки B и 2 2 , x y - координаты точки C Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид A A D A D A y y x x y y x x Тогда уравнение медианы AD 9 2 4,5 9 1 2 y x или 9 2 0 ( ) x y AD . 2) Найдем угловой коэффициент прямой AC 2 9 11 4 2 2 C A AC C A y y k x x Высота BE перпендикулярна прямой AC , тогда 1 2 11 BE AC k k Уравнение прямой BE найдем в форме уравнения прямой, проходящей через точку B с заданным угловым коэффициентом BE k ( ) B BE B y y k x x , то есть в виде 2 7 ( 6) 11 y x или 2 11 65 0 ( ) x y BE . 3) Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует , что : : AB FB AC BC 2 2 (4 2) (2 9) 125 5 5 AC ; 2 2 (4 6) (2 7) 125 5 5 BC Следовательно, 5 5 1 5 5 AC BC , то есть точка F - середина отрезка AB и координаты точки 2 2 A B F x x x ; 1 2 A B F y y y ; ( 2; 1) F Уравнение биссектрисы CF C C F C F C y y x x y y x x , 17 2 4 1 2 2 4 y x или 2 0 ( ) x y CF . Ответ: 9 2 0 ( ) x y AD , 2 11 65 0 ( ) x y BE , 2 0 ( ) x y CF . Задание 2.9. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки 0; 5 A к расстоянию до прямой 5 9 0 y постоянно и равно 5 3 . Сделать чертеж полученной линии. Решение Для наглядности отметим на координатной плос- кости точку A и заданную линию. Обозначим точку, ле- жащую на предполагаемой линии, ( ; ) M x y ; расстояние от M до прямой обозначим d , от M до A обозначим r . 2 2 2 2 0 5 5 r x y x y 9 5 d y . По условию задачи 5 3 r d или 2 2 5 5 9 3 5 x y y Возведем в квадрат обе части уравнения. 2 2 2 5 5 9 9 5 x y y 2 2 2 9 9 5 5 5 x y y 2 2 2 81 18 9 2 5 5 5 5 5 x y y y y 2 2 2 9 9 18 5 45 81 18 5 5 x y y y y 2 2 2 9 9 18 5 18 5 5 81 45 x y y y y 2 2 9 4 36 x y 2 2 1 4 9 x y Получили каноническое уравнение эллипса. Вершины эллипса : (2;0) , ( 2;0) , (0;3) , (0; 3) . Чтобы изобразить эллипс, отметим его вершины на координатной плоскости и соеди- ним их плавной линией. Задание 2.10. Найти точку M , симмет- y x 5 9 0 y r d M(x,y) A y x 2 -2 F 1 F 2 O -3 3 18 ричную точке ( 6; 3;9) M относительно плоскости : 8 8 2 9 0 x y z Решение Нормальный вектор данной плоскости имеет координаты 8; 8; 2 N Любая прямая, проходящая через точку M перпендикулярно плоскости, будет иметь вид 1 1 1 x x y y z z m n p , где ; ; a m n p – направляющий вектор, коллинеарный вектору N . В качестве вектора a примем вектор 4; 4; 1 a . Тогда уравнения этой прямой имеют вид: 6 3 9 4 4 1 x y z Найдем проекцию точки M на данную плоскость, решив совместно уравнения 8 8 2 9 0 x y z и 6 3 9 4 4 1 x y z Запишем уравнения прямой в параметрической форме 4 6 4 3 9. x t y t z t Подставляя эти выражения для , , x y z в уравнение плоскости, получим 1 2 t . Тогда 4 x , 5 y , 8,5 z ( 4; 5;8,5) Q Координаты симметричной точки найдутся из формул координат середи- ны отрезка 2 M M Q x x x 2 M Q M x x x 2 M x Аналогично 7 M y , 8 M z . Получаем точку ( 2; 7;8) M Ответ: ( 2; 7;8) M Справочный материал для выполнения задания 2.9 Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a . Расстояние между фокусами равно 2c Каноническое уравнение эллипса 2 2 2 2 1 x y a b , где 2 2 b a c Если фокусы эллипса расположены на OX , то a b ; если фокусы распо- ложены на OY , то a b Для изображения эллипса построим прямоугольник со сторонами 2a (по 19 оси OX ) и 2b (по оси OY ) и с центром в начале координат. В полученный прямоугольник впишем эллипс. y x a -a F 1 F 2 O -b b Если уравнение имеет вид 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x m y n a b , то центр данного эллип- са находится в точке ( , ) m n . Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых раз- ность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фоку- сами, есть величина постоянная, равная 2a . Расстояние между фокусами 2c ( a c ). Каноническое уравнение гиперболы 2 2 2 2 1 x y a b , где 2 2 b c a Если фокусы гиперболы расположены на OX , то ' 1' , если фокусы рас- положены на OY , то ' 1' . Гипербола с уравнением 2 2 2 2 1 x y a b называется сопряженной к гиперболе с уравнением 2 2 2 2 1 x y a b Для изображения гиперболы построим прямоугольник со сторонами 2a (по оси OX ) и 2b (по оси OY ) и с центром в начале координат. В прямоугольнике проводим диагонали (с про- должением), которые являются асимптотами ги- перболы, вершины которой находятся в точках ( ,0) a и ( ,0) a . Ветви гиперболы с уравнением 2 2 2 2 1 x y a b проходят через точки ( ;0) a и ( ;0) a Ветви сопряженной гиперболы проходят через точки (0; ) b и (0; ) b . Если уравнение имеет вид 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x m y n a b , то центр гиперболы находится в точке ( , ) m n . Парабола y x a -a O -b b 20 Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из кото- рых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо- кусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Если координаты фокуса ,0 2 p F , уравнение директрисы 2 p x , то каноническое уравнение параболы 2 2 y px задает параболу с вер- шиной в начале координат, симметричную относительно оси OX . При 0 p ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX , при 0 p – в противоположную сторону. Если координаты фокуса 0, 2 p F , уравнение директрисы 2 p y , то ка- ноническое уравнение параболы 2 2 x py задает параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси OY . При 0 p ветви параболы направлены вверх, при 0 p – вниз. |