Математика. Контрольная работа 1 Вариант 3 Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами
 Скачать 289.24 Kb.
|
|
Контрольная работа № 1 Вариант 3 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления  Решение: 1) по формулам Крамера Найдем главный определитель системы, разложив его по элементам первой строки   Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:  где определители  получаются из определителя  путем замены 1-го, 2-го, 3-го столбцов соответственно на столбец  свободных членов.Вычислим определители  посчитав их методом разложения по первой строке      Таким образом,  2) методом Гаусса Выпишем расширенную матрицу данной системы  Умножим первую строку на  и сложим со второй строкойУмножим первую строку на  и сложим с третьей строкой Сложим вторую и третью строки  Разделим вторую строку на Разделим третью строку на  Умножим третью строку на  и сложим со второй строкой Такой расширенной матрице соответствует следующая система уравнений  3) средствами матричного исчисления Решим систему средствами матричного исчисления по формуле  , где  Найдем обратную матрицу  по формуле Для этого вычислим алгебраические дополнения          Таким образом,  Отсюда искомая матрица  Ответ:  ; ; 13. Даны координаты вершин пирамиды  Требуется:сделать чертеж; найти длину ребра  составить уравнение прямой составить уравнение плоскости  найти площадь грани  с использованием векторного произведения двух векторов;найти длину высоты, опущенной из вершины  на грань найти объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов; найти угол между ребрами  и  найти угол между ребром  и гранью   Решение: сделаем чертеж  найдем длину ребра Применим формулу    составим уравнение прямой Уравнение прямой  составим по точке  и направляющему вектору  составим уравнение плоскости Найдем уравнение плоскости по формуле   Приведем уравнение плоскости к общему виду   Раскроем определители 2-го порядка     найдем площадь грани с использованием векторного произведения двух векторов        найдем длину высоты, опущенной из вершины на грань Длину высоты  найдем как расстояние от точки  до плоскости   найдем объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов       найдем угол между ребрами и       найдем угол между ребром и гранью      Ответ:   23. Составить уравнение эллипса, если его большая ось равна 26, а фокусы находятся в точках  и  Решение: Каноническое уравнение эллипса имеет вид  Фокусы канонически расположенного эллипса имеют координаты и  значит расстояние от каждого из фокусов до начала координат равно По условию известно  Из соотношения  находим Тогда уравнение эллипса  Ответ: 33. Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется:1) построить линию по точкам, начиная от  до  придавая  значения через промежуток  2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, определить какая это линия. Решение: 1) построим линию по точкам, начиная от до придавая значения через промежуток  Составим таблицу значений функции 
2) найдем уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, определим какая это линия.   ,            Данная кривая представляет собой эллипс с центром в точке   Ответ:  эллипс |
