Главная страница
Навигация по странице:

  • 1) вычислить длину стороны ;

  • 3) найти внутренний угол треугольника при вершине ;

  • 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат. Решение 1)


  • . 6)

  • Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК) . Требуется

  • кр 1 вариант 8. Контрольная работа 1 Вариант 8 Задача Даны координаты вершин треугольника Требуется


    Скачать 408.5 Kb.
    НазваниеКонтрольная работа 1 Вариант 8 Задача Даны координаты вершин треугольника Требуется
    Дата17.04.2018
    Размер408.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлакр 1 вариант 8.doc
    ТипКонтрольная работа
    #41390

    Контрольная работа №1

    Вариант 8
    Задача 1. Даны координаты вершин треугольника : . Требуется:

    1) вычислить длину стороны ;

    2) составить уравнение стороны ;

    3) найти внутренний угол треугольника при вершине ;

    4) составить уравнение высоты , проведенной из вершины ;

    5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

    6) сделать чертеж в системе координат.
    Решение
    1) Вычислим длину стороны по формуле :


    2) Составим уравнение стороны , использую формулу:

    - уравнение
    3) Внутренний угол треугольника при вершине найдем как угол между прямыми и . Для чего сначала вычислим угловой коэффициент по формуле:



    и возьмем из уравнения угловой коэффициент прямой :

    Из расположения точек на координатной плоскости видно, что угол - острый, поэтому вычислим по формуле:



    4) Для получения уравнения высоты , проведенной из вершины , используем уравнение пучка прямых и условие перпендикулярности прямых. Сначала вычислим угловой коэффициент прямой . Так как , то

    Уравнение получим по формуле:

    - уравнение

    5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если - медиана треугольника и - точка пересечения медиан, то , делит в отношении 2:1, начиная от точки , т.е.

    Основание медианы является серединой отрезка . Найдем координаты точки по формулам:



    Теперь, когда координаты концов отрезка известны, найдем координаты точки , которая делит в отношении , начиная от точки , по формулам деления отрезка в заданном соотношении:

    - центр тяжести треугольника .

    6) Построим чертеж к задаче в системе координат . Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.



    Ответы:

    1. длина стороны ;

    2. уравнение стороны : ;

    3. угол при вершине : ;

    4. уравнение высоты : ;

    5. координаты центра тяжести треугольника: .


    Задача 2. Даны координаты точки , уравнение прямой и число . Найти траекторию точки , которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояния до точки А и до прямой равно . Сделать чертеж в системе координат.
    Решение
    Пусть - произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е. , где - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Так как лежит на прямой , то .

    Запишем условие в координатной форме, используя формулу для длины отрезка:



    Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки на этой траектории.













    - уравнение эллипса с полуосями . Центр эллипса – точка .



    Ответ: - уравнение траектории.
    Задача 3. Дано уравнение второго порядка . Привести данное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение исходной кривой относительно обеих систем координат.
    Решение
    Выделим в уравнении полные квадраты по переменным и .









    Получили уравнение гиперболы с центром в точке .

    Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат , где в системе .

    Найдем характерные элементы гиперболы: ; ; .

    Отсюда получаем: - вещественная полуось гиперболы; - мнимая полуось гиперболы; - фокусное расстояние. Координаты фокусов гиперболы в системе координат : , .

    Эксцентриситет гиперболы -

    Ответ: - каноническое уравнение гиперболы, где . Характерные элементы:

    - центр гиперболы;

    - вещественная полуось гиперболы;

    - мнимая полуось гиперболы;

    - фокусное расстояние;

    координаты фокусов гиперболы в системе координат : , .


    Задача 4. Даны уравнение кривой второго порядка и уравнение прямой . Требуется:

    1. привести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду;

    2. найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

    3. построить обе линии в исходной системе координат


    Решение
    1) Выделим в уравнении полный квадрат по переменной .









    Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке . Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат .
    2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат . Для этого решим систему уравнений:





    или

    Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках ; .
    3)


    Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК) .

    Требуется:

    1. построить область определения функции ;

    2. построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках , , принадлежащих области определения функции ;

    3. найти уравнение данной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом в ПСК, а положительная полуось - с полярной осью ;

    4. определить тип кривой.


    Решение


    1. Область определения функции найдем из условия :



    Последнее неравенство выполняется при любом . Следовательно, область определения

    1. Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках , , входящих в область определения.













    0

    0

    2,67







    1



    3,06

    9



    2,36

    2



    3,49

    10



    2,16

    3



    3,85

    11



    2,04

    4



    4,00

    12



    2,00

    5



    3,85

    13



    2,04

    6



    3,49

    14



    2,16

    7



    3,06

    15



    2,36

    8



    2,67

    16



    2,67





    1. Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

    Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось совпадала с положительной полуосью , то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки

    получим

    ,

    следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой второго порядка:

    4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полный квадрат по переменной :



    Это уравнение задает эллипс с центром в точке , с полуосями . Найдем координаты точки в ПСК:



    Ответы:

    1. область определения: ;

    2. чертеж выполнен

    3. уравнение кривой в ДСК: ;

    4. тип кривой – эллипс с центром в точке , с полуосями .


    написать администратору сайта