кр 1 вариант 8. Контрольная работа 1 Вариант 8 Задача Даны координаты вершин треугольника Требуется
Скачать 408.5 Kb.
|
Контрольная работа №1 Вариант 8 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника : . Требуется: 1) вычислить длину стороны ; 2) составить уравнение стороны ; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине ; 4) составить уравнение высоты , проведенной из вершины ; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат. Решение 1) Вычислим длину стороны по формуле : 2) Составим уравнение стороны , использую формулу: - уравнение 3) Внутренний угол треугольника при вершине найдем как угол между прямыми и . Для чего сначала вычислим угловой коэффициент по формуле: и возьмем из уравнения угловой коэффициент прямой : Из расположения точек на координатной плоскости видно, что угол - острый, поэтому вычислим по формуле: 4) Для получения уравнения высоты , проведенной из вершины , используем уравнение пучка прямых и условие перпендикулярности прямых. Сначала вычислим угловой коэффициент прямой . Так как , то Уравнение получим по формуле: - уравнение 5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если - медиана треугольника и - точка пересечения медиан, то , делит в отношении 2:1, начиная от точки , т.е. Основание медианы является серединой отрезка . Найдем координаты точки по формулам: Теперь, когда координаты концов отрезка известны, найдем координаты точки , которая делит в отношении , начиная от точки , по формулам деления отрезка в заданном соотношении: - центр тяжести треугольника . 6) Построим чертеж к задаче в системе координат . Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу. Ответы:
Задача 2. Даны координаты точки , уравнение прямой и число . Найти траекторию точки , которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояния до точки А и до прямой равно . Сделать чертеж в системе координат. Решение Пусть - произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е. , где - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Так как лежит на прямой , то . Запишем условие в координатной форме, используя формулу для длины отрезка: Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки на этой траектории. - уравнение эллипса с полуосями . Центр эллипса – точка . Ответ: - уравнение траектории. Задача 3. Дано уравнение второго порядка . Привести данное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение исходной кривой относительно обеих систем координат. Решение Выделим в уравнении полные квадраты по переменным и . Получили уравнение гиперболы с центром в точке . Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат , где в системе . Найдем характерные элементы гиперболы: ; ; . Отсюда получаем: - вещественная полуось гиперболы; - мнимая полуось гиперболы; - фокусное расстояние. Координаты фокусов гиперболы в системе координат : , . Эксцентриситет гиперболы - Ответ: - каноническое уравнение гиперболы, где . Характерные элементы: - центр гиперболы; - вещественная полуось гиперболы; - мнимая полуось гиперболы; - фокусное расстояние; координаты фокусов гиперболы в системе координат : , . Задача 4. Даны уравнение кривой второго порядка и уравнение прямой . Требуется:
Решение 1) Выделим в уравнении полный квадрат по переменной . Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке . Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат . 2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат . Для этого решим систему уравнений: или Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках ; . 3) Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК) . Требуется:
Решение
Последнее неравенство выполняется при любом . Следовательно, область определения
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось совпадала с положительной полуосью , то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим , следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой второго порядка: 4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полный квадрат по переменной : Это уравнение задает эллипс с центром в точке , с полуосями . Найдем координаты точки в ПСК: Ответы:
|