Контрольная работа №1
Вариант 8 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника : . Требуется:
1) вычислить длину стороны ;
2) составить уравнение стороны ;
3) найти внутренний угол треугольника при вершине ;
4) составить уравнение высоты , проведенной из вершины ;
5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);
6) сделать чертеж в системе координат. Решение 1) Вычислим длину стороны по формуле :
![](41389_html_m645ec280.gif) 2) Составим уравнение стороны , использую формулу:
![](41389_html_40a83c9d.gif) ![](41389_html_13b24b7e.gif) ![](41389_html_m69e8b20c.gif) - уравнение ![](41389_html_37ba8be6.gif) 3) Внутренний угол треугольника при вершине найдем как угол между прямыми и . Для чего сначала вычислим угловой коэффициент по формуле:
![](41389_html_484408b9.gif)
и возьмем из уравнения угловой коэффициент прямой : ![](41389_html_689a9f03.gif)
Из расположения точек на координатной плоскости видно, что угол - острый, поэтому вычислим по формуле:
![](41389_html_70dabf1e.gif)
4) Для получения уравнения высоты , проведенной из вершины , используем уравнение пучка прямых и условие перпендикулярности прямых. Сначала вычислим угловой коэффициент прямой . Так как , то ![](41389_html_b725f2.gif)
Уравнение получим по формуле:
- уравнение ![](41389_html_749d8345.gif)
5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если - медиана треугольника и - точка пересечения медиан, то , делит в отношении 2:1, начиная от точки , т.е.
Основание медианы является серединой отрезка . Найдем координаты точки по формулам:
![](41389_html_m2a10d183.gif)
Теперь, когда координаты концов отрезка известны, найдем координаты точки , которая делит в отношении , начиная от точки , по формулам деления отрезка в заданном соотношении:
- центр тяжести треугольника .
6) Построим чертеж к задаче в системе координат . Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.
![](41389_html_m245d3b8c.png)
Ответы:
длина стороны ;
уравнение стороны : ;
угол при вершине : ;
уравнение высоты : ;
координаты центра тяжести треугольника: .
Задача 2. Даны координаты точки , уравнение прямой и число . Найти траекторию точки , которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояния до точки А и до прямой равно . Сделать чертеж в системе координат. Решение Пусть - произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е. , где - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Так как лежит на прямой , то .
Запишем условие в координатной форме, используя формулу для длины отрезка:
![](41389_html_3a8d28e2.gif)
Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки на этой траектории.
![](41389_html_337761f5.gif)
![](41389_html_m658cb29a.gif)
![](41389_html_427b36ba.gif)
![](41389_html_46e96b54.gif)
![](41389_html_16e3221d.gif)
- уравнение эллипса с полуосями . Центр эллипса – точка .
![](41389_html_5f203565.png)
Ответ: - уравнение траектории. Задача 3. Дано уравнение второго порядка . Привести данное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение исходной кривой относительно обеих систем координат. Решение Выделим в уравнении полные квадраты по переменным и .
![](41389_html_5715bdcd.gif)
![](41389_html_1ac48a4.gif)
![](41389_html_45e811fe.gif)
![](41389_html_744a60ec.gif)
Получили уравнение гиперболы с центром в точке .
Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат , где в системе .
Найдем характерные элементы гиперболы: ; ; .
Отсюда получаем: - вещественная полуось гиперболы; - мнимая полуось гиперболы; - фокусное расстояние. Координаты фокусов гиперболы в системе координат : , .
Эксцентриситет гиперболы - ![](41389_html_16c6cec.gif)
Ответ: - каноническое уравнение гиперболы, где . Характерные элементы:
- центр гиперболы;
- вещественная полуось гиперболы;
- мнимая полуось гиперболы;
- фокусное расстояние;
координаты фокусов гиперболы в системе координат : , .
![](41389_html_m2ecc04a8.png)
![](41389_html_m53d4ecad.gif) Задача 4. Даны уравнение кривой второго порядка и уравнение прямой . Требуется:
привести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду;
найти точки пересечения кривой и заданной прямой;
построить обе линии в исходной системе координат
Решение 1) Выделим в уравнении полный квадрат по переменной .
![](41389_html_m10c3d253.gif)
![](41389_html_169b4b7f.gif)
![](41389_html_m50552a2f.gif)
![](41389_html_m53cdcfba.gif)
Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке . Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам , получим каноническое уравнение гиперболы в системе координат . 2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат . Для этого решим систему уравнений:
![](41389_html_m4ae8723.gif)
![](41389_html_5d8fa371.gif) или ![](41389_html_77612ead.gif)
Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках ; . 3)
![](41389_html_m378cd9ec.png) Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК) .
Требуется:
построить область определения функции ;
построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках , , принадлежащих области определения функции ;
найти уравнение данной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом в ПСК, а положительная полуось - с полярной осью ;
определить тип кривой.
Решение
Область определения функции найдем из условия :
![](41389_html_m18ebb5a5.gif)
Последнее неравенство выполняется при любом . Следовательно, область определения ![](41389_html_41aeeaa9.gif)
Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках , , входящих в область определения.
-
![](41389_html_m5faf1d98.gif)
|
![](41389_html_m295f86d7.gif)
|
![](41389_html_78ed7a5f.gif)
|
![](41389_html_m5faf1d98.gif)
|
![](41389_html_m295f86d7.gif)
|
![](41389_html_78ed7a5f.gif)
| 0
| 0
| 2,67
| —
| —
| —
| 1
|
![](41389_html_m21a12ab6.gif)
| 3,06
| 9
|
![](41389_html_6087cbcd.gif)
| 2,36
| 2
|
![](41389_html_m10ec649e.gif)
| 3,49
| 10
|
![](41389_html_3c11aefd.gif)
| 2,16
| 3
|
![](41389_html_m26771f01.gif)
| 3,85
| 11
|
![](41389_html_6774c5c6.gif)
| 2,04
| 4
|
![](41389_html_m75fc6324.gif)
| 4,00
| 12
|
![](41389_html_4df48992.gif)
| 2,00
| 5
|
![](41389_html_14260202.gif)
| 3,85
| 13
|
![](41389_html_m41b34563.gif)
| 2,04
| 6
|
![](41389_html_60ea7b64.gif)
| 3,49
| 14
|
![](41389_html_maeafc25.gif)
| 2,16
| 7
|
![](41389_html_1672925.gif)
| 3,06
| 15
|
![](41389_html_m25a2cc0d.gif)
| 2,36
| 8
|
![](41389_html_1bfc1af9.gif)
| 2,67
| 16
|
![](41389_html_m1efba63a.gif)
| 2,67
|
![](41389_html_m3d1de7ff.png)
Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось совпадала с положительной полуосью , то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки
получим ![](41389_html_m20cdb6f6.gif) ![](41389_html_5cc78cc5.gif)
,
следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой второго порядка: ![](41389_html_c5f581d.gif)
4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полный квадрат по переменной :
![](41389_html_e8df29b.gif) ![](41389_html_m659ee426.gif)
Это уравнение задает эллипс с центром в точке , с полуосями . Найдем координаты точки в ПСК:
![](41389_html_m6d1dc86.gif) ![](41389_html_3fe2b7a9.gif) ![](41389_html_m297de465.gif)
Ответы:
область определения: ;
чертеж выполнен
уравнение кривой в ДСК: ;
тип кривой – эллипс с центром в точке , с полуосями .
|