кр 1 вариант 8. Контрольная работа 1 Вариант 8 Задача Даны координаты вершин треугольника Требуется
 Скачать 408.5 Kb.
|
|
Контрольная работа №1 Вариант 8 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника  :  . Требуется: 1) вычислить длину стороны  ; 2) составить уравнение стороны  ; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине  ;4) составить уравнение высоты  , проведенной из вершины  ; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат. Решение 1) Вычислим длину стороны по формуле : 2) Составим уравнение стороны , использую формулу:    - уравнение 3) Внутренний угол треугольника при вершине найдем как угол между прямыми  и . Для чего сначала вычислим угловой коэффициент по формуле: и возьмем из уравнения угловой коэффициент прямой :  Из расположения точек  на координатной плоскости видно, что угол - острый, поэтому вычислим по формуле: 4) Для получения уравнения высоты , проведенной из вершины , используем уравнение пучка прямых и условие перпендикулярности прямых. Сначала вычислим угловой коэффициент прямой . Так как  , то  Уравнение получим по формуле:  - уравнение 5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если  - медиана треугольника и  - точка пересечения медиан, то , делит в отношении 2:1, начиная от точки , т.е.  Основание медианы является серединой отрезка . Найдем координаты точки  по формулам:  Теперь, когда координаты концов отрезка известны, найдем координаты точки , которая делит в отношении  , начиная от точки , по формулам деления отрезка в заданном соотношении:  - центр тяжести треугольника .6) Построим чертеж к задаче в системе координат  . Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу. Ответы:
Задача 2. Даны координаты точки  , уравнение прямой  и число  . Найти траекторию точки , которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояния до точки А и до прямой  равно  . Сделать чертеж в системе координат.Решение Пусть  - произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е.  , где  - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую  . Так как лежит на прямой  , то  .Запишем условие  в координатной форме, используя формулу для длины отрезка: Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки на этой траектории.      - уравнение эллипса с полуосями  . Центр эллипса – точка  . Ответ: - уравнение траектории.Задача 3. Дано уравнение второго порядка  . Привести данное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение исходной кривой относительно обеих систем координат.Решение Выделим в уравнении полные квадраты по переменным  и  .   Получили уравнение гиперболы с центром в точке  .Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам  , получим каноническое уравнение гиперболы  в системе координат  , где в системе . Найдем характерные элементы гиперболы:  ;  ;  .Отсюда получаем:  - вещественная полуось гиперболы;  - мнимая полуось гиперболы;  - фокусное расстояние. Координаты фокусов гиперболы в системе координат :  ,  .Эксцентриситет гиперболы -  Ответ: - каноническое уравнение гиперболы, где . Характерные элементы: - центр гиперболы; - вещественная полуось гиперболы; - мнимая полуось гиперболы; - фокусное расстояние;координаты фокусов гиперболы в системе координат : , .  Задача 4. Даны уравнение кривой второго порядка  и уравнение прямой  . Требуется:
Решение 1) Выделим в уравнении полный квадрат по переменной .   Получили уравнение параболы вида  с вершиной в точке  . Осуществив параллельный перенос осей координат в системе по формулам  , получим каноническое уравнение гиперболы  в системе координат .2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат . Для этого решим систему уравнений:      или  Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках  ;  .3)  Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК)  .Требуется:
Решение
 Последнее неравенство выполняется при любом  . Следовательно, область определения 
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось  совпадала с положительной полуосью  , то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим    ,следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой второго порядка:  4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полный квадрат по переменной :  Это уравнение задает эллипс с центром в точке  , с полуосями  . Найдем координаты точки в ПСК:   Ответы:
|
;
; 
;
;
.
;
, 
, принадлежащих области определения функции 
:
;