|
|
Контрольная работа 1 Задача 1 Даны векторы и. Найти вектор, модуль вектора, скалярное произведение, где
Контрольная работа №1
Задача 1
Даны векторы  и  . Найти вектор  , модуль вектора  , скалярное произведение  , где  , 
Решение
Задача 2
Даны матрица  и вектор-строка  . Найти произведения  и  .
Решение
Транспортирование матрицы – переход от матрицы  к матрице  , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка:
 ; 
Задача 3
Даны матрицы  и  . Проверить, коммутативны ли матрицы и  , и найти определители матриц.
Решение
Так как  , то матрицы и не являются коммутативными.
Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы по первой строке:
  
Задача 4
Решить систему из трех уравнений, пользуясь формулой Крамера и методом Гаусса:
1) метод Крамера
Обозначим  ,  , 
Найдем определитель системы
∆  
Так как ∆  0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц  ,  ,  , полученных из матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
 
 
 
Теперь по формулам Крамера
 ;  ;  ,
т.е. решение системы 
2) метод Гаусса
Расширенная матрица системы имеет вид:
Умножая первую строку на 2 и прибавляя полученную строку ко второй, исключим переменную х1 из второй строки:
Умножая первую строку на (-1) и прибавляя полученную строку к третьей, исключим переменную х1 из третьей строки:
Так как теперь а22 ≠ 0, то умножая вторую строку на  и прибавляя полученную строку к третьей, исключим переменную х2 из третьей строки:
Получим систему уравнений
 
откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения  ; из второго уравнения  и из первого уравнения  , т.е. решение системы (3; 2; 1)
Задача 5
Найти ранг матрицы размерностью 4×4. Найти определитель матрицы:
Шаг 1
Так как  , то умножая первую строку матрицы соответственно на числа 1,5, -2,5, 0,5, и прибавим полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам
Шаг 2
Так как теперь  , то умножая вторую строку матрицы на числа 1,  , и прибавим полученные строки соответственно к третьей и четвертой строкам
Третья строка состоит сплошь из нулей, поэтому, вычеркнув ее, получим матрицу
 ,
ранг которой равен 3. Ранг исходной матрицы также равен 3.
Так как ранг квадратной матрицы меньше количества строк матрицы, то ее определитель равен нулю.
Задача 6
Составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными так, чтобы она:
а) имела единственное решение;
b) не имела решений;
с) имела бесконечно много решений.
Найти определители этих систем. Учитывая, что каждое из уравнений системы является уравнением прямой линии на плоскости, изобразить эти прямые и пояснить, что означает каждый из трех вариантов с точки зрения взаимного расположения прямых
Решение
а) 
 ; 
 - точка пересечения прямых  и 
Система имеет единственное решение 
b) 
Система не имеет решений 
Прямые и  не пересекаются, являются параллельными.
с) 
Система имеет множество решений 
Прямые и  совпадают.
Задача 7
Найти точку пересечения прямых  и  .
Решение
Для нахождения координат точки пересечения прямых необходимо решить систему уравнений
 
 - точка пересечения прямых и .
Задача 8
Найти уравнения прямой, проходящих через точку  параллельной и перпендикулярной к прямой  . Найти расстояние от точки до данной прямой.
Решение
Угловой коэффициент прямой  равен  .
Найдем угловой коэффициент  перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых:
Подставляя вместо  угловой коэффициент данной прямой, получим:    .
Так как перпендикуляр проходит через точку и имеет , то будем искать его уравнение в виде  .
Подставляя  ;  ; , получим:   - уравнение прямой перпендикулярной к .
Найдем угловой коэффициент параллельной прямой из условия:
 ,
тогда  .
Так как параллельная прямая проходит через точку и имеет , то будем искать его уравнение в виде .
Подставляя ; ; , получим:   - уравнение прямой параллельной .
Для нахождения длины расстояния воспользуемся формулой для определения расстояния  от точки  до прямой  :
Подставляя ; ;  ;  ;  , получим
Задача 9
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  , 
Уравнение плоскости найдем по формуле:
Таким образом,  - уравнение плоскости, проходящей через точки , , .
Задача 10
Какая кривая описывается уравнением  . Написать каноническое уравнение этой кривой.
Решение
 - уравнение эллипса с полуосями  . Центр эллипса – точка  . |
|
|
Скачать 268.88 Kb.