Контрольная работа_Павлов.М.Д. Контрольная работа 1 Задача Заданы матрицы А, В, С. Найти а б вычислить определитель матрицы А

• Название: Контрольная работа 1 Задача Заданы матрицы А, В, С. Найти а б вычислить определитель матрицы А
• Дата: 22.02.2023
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: Контрольная работа_Павлов.М.Д.doc
• Тип: Контрольная работа; #949999
• страница: 2 из 4

Контрольная работа № 2
1.6.5. Даны вершины пирамиды , , , . Найти: а) угол между гранями и ; б) каноническое и параметрические уравнения прямой ; в) уравнение плоскости параллельной плоскости , проходящей через точку ; г) каноническое уравнение высоты пирамиды.
а) Косинус угла между двумя плоскостями и вычислим по формуле:

.

Составим уравнение плоскости . Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , найдем по формуле: .

Подставляя соответствующие координаты точек , , , получим:

; ;

;





Таким образом, уравнение грани : .

Составим уравнение плоскости , проходящей через три точки , и :

; ;

;





Таким образом, уравнение плоскости :

Тогда, подставляя в формулу для вычисления косинуса угла между плоскостями соответствующие значения, получим:

.

Следовательно, .

б) Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки пространства и , имеют вид:

.

Подставляя соответствующие координаты точек и , запишем канонические уравнения прямой :

.

Приравняв каждую часть из канонических уравнений прямой к параметру , получим параметрические уравнения:

.

в) Очевидно, вектор есть нормальный вектор плоскости : . Так как плоскость, уравнение которой мы ищем, параллельна плоскости , то ее нормальным вектором так же будет вектор . Уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор , имеет вид



Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно плоскости .

г) Так как высота, опущенная из вершины перпендикулярна плоскости : , то направляющим вектором искомой высоты возьмем нормальный вектор плоскости, т.е. . Тогда канонические уравнения прямой, которая проходит через точку и имеет направляющий вектор , будут иметь вид:

.

1.7.5. Даны три точки на плоскости: , , . Найти: а) уравнение стороны ; б) уравнение высоты, опущенной из вершины ; в) уравнение медианы, опущенной из вершины ; г) уравнение прямой, параллельной прямой , проходящей через точку ; д) угол при вершине . Сделать чертеж
а) Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости и , имеет вид:

.

Подставляя соответствующие координаты точек и , запишем каноническое уравнение стороны :



б) Запишем каноническое уравнение стороны : и представим его в виде с угловым коэффициентом: . Следовательно, угловой коэфф. прямой равен .

Поскольку искомая высота перпендикулярна , то ее угловой коэффициент будет равен . По условию, искомая высота проходит через точку , значит, ее уравнение будет иметь вид:

.

в) Поскольку медиана, то точка является серединой стороны . Найдем ее координаты:



Теперь запишем уравнение медианы как уравнение прямой, проходящей через две точки и :





г) Угловой коэфф. прямой равен . Поскольку искомая прямая параллельна , то ее угловой коэффициент также будет равен . По условию, искомая прямая проходит через точку , значит, ее уравнение будет иметь вид:



д) Косинус угла между двумя прямыми и найдем по формуле



Запишем общие уравнения прямых и :

;

.

Тогда по формуле косинуса угла между прямыми, находим:



По таблицам Брадиса находим:


2.1.5. Найти пределы
а)

б) предел не существует, так как не существует при .

Наверное в условии ошибка и должно быть так:





в)

г)



2.2.5. Найти производную :

а)




б)
Прологарифмируем обе части данного равенства:



Учитывая, что является функцией от , найдем производные обеих частей равенства по :









в)

Дифференцируем обе части равенства по , считая функцией от :



Теперь из полученного выражения выразим :





г)